高中數(shù)學 2.6平面向量數(shù)量積的坐標表示課件 北師大版必修4.ppt

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6平面向量數(shù)量積的坐標表示 1 平面向量的數(shù)量積 模 夾角 垂直的坐標表示 1 數(shù)量積的坐標表示 設(shè)向量a x1 y1 b x2 y2 則a b 2 模 夾角 垂直的坐標表示 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 2 直線的方向向量 1 定義 與直線l 的非零向量m稱為直線l的方向向量 2 性質(zhì) 給定斜率為k的直線l的一個方向向量為m 共線 1 k 1 判一判 正確的打 錯誤的打 1 兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和 2 兩個向量a與b的夾角公式適用于任何向量a b 3 兩個向量的數(shù)量積小于零 兩個向量的夾角一定為鈍角 4 斜率為2的直線l的一個方向向量為 2 1 解析 1 1 正確 兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和 2 錯誤 該公式適用于非零向量a與b 3 錯誤 兩個向量的夾角為180 時 兩個向量的數(shù)量積也小于零 4 錯誤 一個方向向量為 1 2 答案 1 2 3 4 2 做一做 請把正確的答案寫在橫線上 1 已知a 則 a 2 已知a 2 1 b 1 2 則向量a與b的關(guān)系為 3 已知a 1 3 b 2 5 則a b 4 已知a 3 0 b 5 5 則a與b的夾角為 解析 1 a 答案 2 2 a b 2 1 2 0 所以a b 答案 a b 3 a b 1 2 3 5 17 答案 17 4 設(shè)兩向量a與b的夾角為 則cos 又 0 所以 答案 要點探究 知識點1數(shù)量積 模 夾角 垂直的坐標表示1 數(shù)量積的坐標表示的實質(zhì)與特點 1 實質(zhì) 是將向量運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算 它使得數(shù)量積的計算更為方便 簡單 2 特點 等于兩個向量相應坐標乘積的和 2 向量模的坐標運算的實質(zhì)a x y 則在平面直角坐標系中 一定存在點A x y 使得 a x y 所以 a 即 a 為點A到原點的距離 3 向量的夾角的坐標表示 1 來源 數(shù)量積公式的一個變形 2 適用范圍 由向量坐標計算夾角的一個公式 僅適用于兩個非零向量 3 夾角的取值范圍的確定 x1x2 y1y2的取值符號確定 角的取值范圍 其中當x1x2 y1y2 0時 0 當x1x2 y1y2 0時 當x1x2 y1y2 0時 知識拓展 1 投影的坐標表示設(shè)a x1 y1 b x2 y2 夾角為 則向量a在非零向量b方向上的投影的坐標表示為 a cos 2 兩點間的距離公式若A x1 y1 B x2 y2 則AB x2 x1 y2 y1 所以即平面直角坐標系中任意兩點間的距離公式 由此可知向量模的運算實質(zhì)即為平面直角坐標系中兩點間距離的運算 微思考 1 利用數(shù)量積的坐標運算?？山鉀Q哪些問題 提示 利用數(shù)量積的坐標運算?？山鉀Q以下問題 求距離 求向量的模 求向量的夾角 證明兩向量垂直 或判斷圖形形狀等 求點的坐標及求參數(shù)的值等問題 2 兩個非零向量a x1 y1 b x2 y2 a b與a b的坐標表示有何區(qū)別 提示 若a b x1y2 x2y1 即x1y2 x2y1 0 若a b x1x2 y1y2 0 前者為兩坐標交叉積的差等于0 而后者為相應坐標的積的和等于0 兩個結(jié)論不能混淆 可以對比學習 分別記憶 即時練 已知向量a 1 2 b 3 2 則a b a b a b a與b的夾角的余弦值是 解析 a b 1 3 2 2 1 因為a b 2 4 a b 4 0 所以 a b a b cos a b 答案 知識點2直線的方向向量對直線的方向向量的兩點說明 1 個數(shù) 一條直線的方向向量有無數(shù)個 2 長度 方向向量的長度沒有限制 微思考 1 直線y kx b的方向向量是什么 提示 a 1 k 2 直線Ax By C 0 A B 0 的一個方向向量是否是提示 是 即時練 已知直線l1 3x y 2 0和l2 x 2y 1 0 求l1與l2的夾角 解析 不妨取直線l1和l2的方向向量分別為m 1 3 n 設(shè)向量m與n的夾角為 從而cos 所以 45 即直線l1和l2的夾角為45 題型示范 類型一數(shù)量積的坐標運算 典例1 1 已知向量a 1 1 b 2 x 若a b 1 則x 2 2014 渭南高一檢測 已知向量a與b同向 b 1 2 a b 10 求向量a的坐標 求a a b a b a b 若c 2 1 求 b c a 解題探究 1 已知向量的數(shù)量積如何用坐標法求未知向量的坐標 2 計算 a b a b 的方法有哪些 探究提示 1 利用向量數(shù)量積的坐標表示構(gòu)造方程求得未知向量的坐標即可 2 直接展開或先分別求a b與a b的坐標 再計算 自主解答 1 a b 1 1 2 x 2 x 1 x 1 答案 1 2 因為a與b同向 又因為b 1 2 所以a b 2 0 又因為a b 10 所以1 2 2 10 解得 2 0 所以a 2 4 方法一 因為a b 2 4 1 2 3 6 a b 2 4 1 2 1 2 所以a a b 2 3 4 6 30 a b a b 3 1 6 2 15 方法二 因為a2 22 42 20 a b 10 b2 12 22 5 所以a a b a2 a b 20 10 30 a b a b a2 b2 20 5 15 因為b c 1 2 2 1 0 所以 b c a 0 a 0 延伸探究 在本題 2 的條件下求 3a b a 2b 解析 方法一 因為a 2 4 b 1 2 所以3a b 6 12 1 2 5 10 a 2b 2 4 2 4 4 8 所以 3a b a 2b 5 4 10 8 100 方法二 因為a b 10 a2 20 b2 5 所以 3a b a 2b 3a2 5a b 2b2 3 20 5 10 2 5 100 方法技巧 數(shù)量積坐標運算的符號 1 進行數(shù)量積運算時 要正確使用公式a b x1x2 y1y2 并能靈活運用以下幾個關(guān)系 a 2 a a a b a b a 2 b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 2 利用數(shù)量積的條件求平面向量的坐標 一般來說應當先設(shè)出向量的坐標 然后根據(jù)題目中已知的條件找出向量坐標滿足的等量關(guān)系 利用數(shù)量積的坐標運算列出方程組來進行求解 3 形如 ma nb ka eb m n k e R 的坐標運算 有兩條途徑 其一 展開轉(zhuǎn)化為a2 a b b2的坐標運算 其二 先求ma nb與ka eb的坐標 再運算 變式訓練 1 已知a 4 3 b 5 6 則3 a 2 4a b 解析 3 a 2 4a b 75 8 83 答案 83 2 a 4 7 b 5 2 則a b a 2a 3b a 2b 解析 a b 20 14 6 a 2a 3b a 2b 2 4 7 3 5 2 4 7 2 5 2 23 8 6 11 138 88 50 答案 補償訓練 已知2a b 4 3 a 2b 3 4 求a b的值 解析 由已知可得 4a 2b 8 6 所以 4a 2b a 2b 8 6 3 4 5 10 即5a 5 10 所以a 1 2 從而b 2a b 2a 4 3 2 4 2 1 所以a b 1 2 2 1 0 類型二向量的夾角與垂直問題 典例2 1 2013 山東高考 在平面直角坐標系xOy中 已知 1 t 2 2 若 ABO 90 則實數(shù)t的值為 2 已知c ma nb a與c垂直 b與c的夾角為120 且b c 4 a 求實數(shù)m n的值及a與b的夾角 解題探究 1 兩向量垂直如何用坐標表示 2 求向量的夾角的關(guān)鍵是什么 探究提示 1 x1x2 y1y2 0 2 求兩個向量的夾角的關(guān)鍵是確定兩個向量的數(shù)量積和兩個向量的模 再利用公式求得夾角的余弦值 進而確定角的大小 自主解答 1 2 2 1 t 3 2 t 因為 ABO 90 所以所以 0 3 2 2 2 t 0 所以t 5 答案 5 2 因為a與c垂直 所以a c 0 又因為c ma nb 所以c c ma c nb c 所以12 4 4n 所以n 4 因為b c b c cos120 所以 4 b 4 所以 b 2 所以a c ma2 4a b 0 a 所以a b 2m 又b c m a b 4b2 4 所以 4 2m2 16 所以m2 6 所以m 當m 時 a b cos 又 0 所以 當m 時 a b 所以cos 又 0 所以 綜上所述 當m n 4時 當m n 4時 方法技巧 利用數(shù)量積求兩向量夾角的步驟 變式訓練 1 2014 湖北高考 設(shè)向量a 3 3 b 1 1 若 a b a b 則實數(shù) 解析 因為a b 3 3 a b 3 3 因為 a b a b 所以 3 3 3 3 0 解得 3 答案 3 誤區(qū)警示 解題時要明確知道 a b a b 的充要條件是 a b a b 0 不要與向量平行的充要條件弄混 2 設(shè)a 4 3 b 2 1 若a tb與b的夾角為45 求實數(shù)t的值 解題指南 由條件求出 a tb b及 a tb b 代入兩向量的夾角公式求解 解析 a tb 4 3 t 2 1 4 2t t 3 a tb b 4 2t t 3 2 1 5t 5 a tb 由 a tb b a tb b cos45 得5t 5 即t2 2t 3 0 所以t 3或t 1 經(jīng)檢驗t 3不合題意 舍去 所以t 1 補償訓練 已知點A 2 2 B 4 1 O為坐標原點 P為x軸上一動點 當取最小值時 求向量與的夾角的余弦值 解析 設(shè)點P x 0 則所以 x 2 x 4 2 1 x2 6x 10 x 3 2 1 所以當x 3時 取最小值1 此時 2 2 3 0 1 2 4 1 3 0 1 1 所以所以cos APB 類型三數(shù)量積的坐標表示的綜合應用 典例3 1 2013 福建高考 在四邊形ABCD中 若 1 2 4 2 則該四邊形的面積為 2 2014 淮南高一檢測 已知 ABC頂點的直角坐標分別為A 3 4 B 0 0 C c 0 若c 5 求sinA的值 若A是鈍角 求c的取值范圍 解題探究 1 向量與垂直嗎 2 A是哪兩個向量的夾角 探究提示 1 因為所以2 向量與的夾角 自主解答 1 選C 因為所以AC BD是互相垂直的對角線 所以 2 3 4 c 3 4 當c 5時 2 4 所以cosA 所以sinA 若A為鈍角 則 3 c 3 16 0且與不共線 解得c 顯然此時和不共線 故當A為鈍角時 c的取值范圍為 方法技巧 三角形或四邊形形狀的判定 1 可先求各邊對應的向量及模 看各邊長度關(guān)系 2 再求它們兩兩的數(shù)量積 從而判定其內(nèi)角是否為銳角 直角 鈍角 四邊形還可以從對角線對應的向量入手 變式訓練 直角坐標系xOy中 2 1 3 k 若 ABC是直角三角形 則k的可能值個數(shù)是 A 1B 2C 3D 4 解題指南 根據(jù) ABC是直角三角形求k時 應分AB AC AB BC和AC BC三種情況討論 解析 選B 若 A 90 則 6 k 0 k 6 若 B 90 則k 1 若 C 90 則 k2 k 3 0無解 所以綜上 k可能取 6 1兩個數(shù) 補償訓練 在四邊形ABCD中 6 1 x y 2 3 1 求x與y的關(guān)系式 2 若有求x y的值及四邊形ABCD的面積 解析 1 因為 6 1 x y 2 3 x 4 y 2 所以 x 4 2 y 又 x y 所以x 2 y y x 4 0 即x 2y 0 2 因為 6 1 x y x 6 y 1 x y 2 3 x 2 y 3 且所以即 x 6 x 2 y 1 y 3 0 又由 1 的結(jié)論x 2y 0 所以 6 2y 2y 2 y 1 y 3 0 化簡得y2 2y 3 0 所以y 3或y 1 當y 3時 x 6 于是有所以所以S四邊形ABCD 同理y 1時 x 2 于是有所以所以S四邊形ABCD 即或S四邊形ABCD 16 規(guī)范解答 平面向量數(shù)量積坐標表示的綜合應用 典例 12分 2014 蕪湖高一檢測 已知O為坐標原點 A 3 0 B 0 3 C cos sin 1 若求cos2 sin2 2 若且 0 求夾角的大小 審題 抓信息 找思路 解題 明步驟 得高分 點題 警誤區(qū) 促提升失分點1 若在 處將平面向量數(shù)量積 模 夾角的坐標表示錯誤 實際考試中至多得6分 失分點2 若在 處忽視 1 的代換 則無法進一步將 弦 化為 切 實際考試中至多得10分 失分點3 若在 處由三角函數(shù)值求角 忽視了角的范圍 則導致求角出錯或過程不嚴謹 實際考試中扣1至2分 悟題 提措施 導方向1 記準平面向量數(shù)量積 模 夾角的坐標表示解答向量問題 必須要記清 用準常用公式 如本例中數(shù)量積 向量的模和向量夾角公式的應用要準確 2 幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標運算解答向量問題要注意認真審題 恰當?shù)貙⑾蛄康淖鴺诉\算與向量加 減 數(shù)乘 數(shù)量積的定義和幾何意義結(jié)合起來分析問題 如本例中根據(jù)轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系 類題試解 2013 江蘇高考 已知a cos sin b cos sin 0 1 若 a b 求證 a b 2 設(shè)c 0 1 若a b c 求 的值 解析 1 由題意得 a b 2 2 即 a b 2 a2 2a b b2 2 又因為a2 b2 a 2 b 2 1 所以2 2a b 2 即a b 0 故a b 2 因為a b cos cos sin sin 0 1 所以由此得 cos cos 由0 得0 又0 故 代入sin sin 1得 sin sin 而 所以