高考數(shù)學第一輪復(fù)習 各個知識點攻破63 不等式的證明課件 新人教B版

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1、第三節(jié)不等式的證明 考綱要考綱要求求掌握分析法、綜合法、比較法證掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式明簡單的不等式考試熱考試熱點點1.以一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函以一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等知識為背景考查數(shù)、對數(shù)函數(shù)等知識為背景考查證明不等式證明不等式2與數(shù)列等知識綜合考查放縮法與數(shù)列等知識綜合考查放縮法、求導法等不等式的證明方法、求導法等不等式的證明方法. 1比較法比較法 (1)作差比較法：作差比較法： 要證不等式要證不等式ab(或或a0(或或ab0，欲證，欲證ab，只需證，只需證1； 若若b0，欲證，欲證ab，只需證，只需證2a； a2b22(ab1)； (a2b2)(

2、c2d2)(acbd)2. 其中，恒成立的有其中，恒成立的有() A3個個 B2個個 C1個個 D0個個 解析：解析：(a22)2a(a1)210，a222a恒恒成立成立 (a2b2)2(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20，(當且僅當當且僅當a1，b1時等號時等號成立成立) a2b22(ab1)不恒成立不恒成立 (a2b2)(c2d2)(acbd)2 a2d2b2c22abcd(adbc)20， (a2b2)(c2d2)(acbd)2不恒成立不恒成立 答案：答案：C 答案：答案：C 5比較比較x61與與x4x2的大小，其中的大小，其中xR. 解：解：(x61)(x4x2

3、)x6x4x21 x4(x21)(x21)(x21)(x41) (x21)(x21)(x21)(x21)2(x21) 當當x1時，時，x61x4x2； 當當x1時，時，x61x4x2. 所以：所以：x61x4x2.比較法證明不等式比較法證明不等式 例例1設(shè)設(shè)c1，m. 求證：求證：m0，b0，m0，n0. 求證：求證：amnbmnambnanbm. 證明：證明：amnbmnambnanbmam(anbn)bm(bnan) (anbn)(ambm) a0，b0，m0，n0， 當當ab時，時，(anbn)(ambm)0， amnbmnambnanbm； 當當ab時，時，(anbn)(ambm)0，

4、 amnbmnambnanbm. 綜上可知：綜上可知：amnbmnambnanbm. 用分析法、綜合法證明不等式用分析法、綜合法證明不等式 例例2若若ab1，求證：，求證：2. 分析分析可采用綜合法或分析法證明，要注意應(yīng)用已知可采用綜合法或分析法證明，要注意應(yīng)用已知條件條件ab1. 拓展提升拓展提升本題用的兩種方法分別是綜合法與分析法，本題用的兩種方法分別是綜合法與分析法，用綜合法證明不等式時，應(yīng)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點，用綜合法證明不等式時，應(yīng)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當?shù)囊阎坏仁阶鳛橐罁?jù)，其中基本不等式是最選擇恰當?shù)囊阎坏仁阶鳛橐罁?jù)，其中基本不等式是最常用的當要證明的不等式比較復(fù)

5、雜時，兩端差異難以常用的當要證明的不等式比較復(fù)雜時，兩端差異難以消去或者已知條件信息太少，已知與待證之間的聯(lián)系不消去或者已知條件信息太少，已知與待證之間的聯(lián)系不明顯時，一般可以采用分析法，分析法是步步尋找不等明顯時，一般可以采用分析法，分析法是步步尋找不等式成立的充分條件，而實際操作時往往是從要證明的不式成立的充分條件，而實際操作時往往是從要證明的不等式出發(fā)，尋找使不等式成立的充分條件，直到找到一等式出發(fā)，尋找使不等式成立的充分條件，直到找到一個已知的或非常明顯成立的不等式個已知的或非常明顯成立的不等式 證明不等式，也不一定是一種方法到底，有時可以多種證明不等式，也不一定是一種方法到底，有時可

6、以多種方法交替使用，比如本題的證法二中在分析到即證方法交替使用，比如本題的證法二中在分析到即證ab時，接下來可以用綜合法證明時，接下來可以用綜合法證明ab，這種方法我們，這種方法我們常稱為綜合分析法常稱為綜合分析法 已知已知a，b，c都是正數(shù)，求證：都是正數(shù)，求證：abc. 用放縮法證明不等式用放縮法證明不等式 例例3(1)設(shè)設(shè)f(x)x2x13，|xa|1，求證：，求證： |f(x)f(a)|2(|a|1)； (2)求證：求證：(n2) 分析分析利用絕對值不等式進行放縮利用絕對值不等式進行放縮 拓展提升拓展提升本題體現(xiàn)放縮的兩個目的性：本題體現(xiàn)放縮的兩個目的性：(1)小題體現(xiàn)小題體現(xiàn)通過放縮

7、化繁為簡；通過放縮化繁為簡；(2)小題體現(xiàn)不易求和通過放縮轉(zhuǎn)化小題體現(xiàn)不易求和通過放縮轉(zhuǎn)化到易求和到易求和 用換元法證明不等式用換元法證明不等式 例例4若若x2y21，求證：，求證： (1)|xy|； (2)|x22xyy2|. 分析分析本題為條件不等式的證明，觀察條件可知，用本題為條件不等式的證明，觀察條件可知，用三角換元法較合適三角換元法較合適 拓展提升拓展提升(1)換元時注意要等價，如本題中換元時注意要等價，如本題中|r|1. (2)有些問題直接證明較困難，但若通過換元的思想去解有些問題直接證明較困難，但若通過換元的思想去解就很方便，換元法多用于條件不等式的證明，換元法中就很方便，換元法

8、多用于條件不等式的證明，換元法中常見的是三角換元當題目條件為：常見的是三角換元當題目條件為：a2b21，ab1，a2b21等時常用三角換元法等時常用三角換元法 設(shè)設(shè)1x2y22. 求證：求證：x2xyy23. 1在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時，常用分析的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時，常用分析法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程，以適應(yīng)學生習慣的思維規(guī)律有時問題證明難度較程，以適應(yīng)學生習慣的思維規(guī)律有時問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實現(xiàn)兩頭往中間靠以達到證題大，常使用分析綜合法，實現(xiàn)兩頭往中間靠以達到證題目的目的 2由于高考試題不會出現(xiàn)單一的不等式的證明題，常常由于高考試題不會出現(xiàn)單一的不等式的證明題，常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起，不等式的證明與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起，不等式的證明除常用的三種方法外，還需學會其他方法，如函數(shù)的單除常用的三種方法外，還需學會其他方法，如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法調(diào)性法、判別式法、換元法(特別是三角換元特別是三角換元)、放縮法、放縮法以及數(shù)學歸納法等，注意它們之間的知識交匯聯(lián)系以及數(shù)學歸納法等，注意它們之間的知識交匯聯(lián)系