湖南省高中數(shù)學(xué)（第2輪）總復(fù)習(xí) 專題3第11講 數(shù)列模型、數(shù)列與不等式綜合問題課件 理 新人教版

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1、專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題三 不等式、數(shù)列、推理與證明 111111()(1. )1()1(112)nnnnnnnnnnnnaaaf nf naqapaq pqapqp apapaf npag np ag n求數(shù)列通項的常見方法：累加 乘 法：形如或構(gòu)造等差或等比數(shù)列法：如：， 為常數(shù) ，變形為；為常數(shù) ，為轉(zhuǎn)化；12212111,223nnnnnnnaaabapaqaaAaB aAaABn，轉(zhuǎn)化為，用待定系數(shù)法求 、 ，從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其有限子集， ，上的特殊函數(shù)，在解決數(shù)列問題時，可應(yīng)用函數(shù)的概念、性質(zhì)實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，利用動態(tài)的函數(shù)觀點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)等知識是解決數(shù)列問題

2、的有效方法以數(shù)列為載體，通過數(shù)列的和或項來考查不等式的證明或應(yīng)用是常見題型，應(yīng)注意不等式的證明方法、數(shù)列求和方法等知識的綜合應(yīng)用同時解題時應(yīng)善于運用基本數(shù)學(xué)方法，如觀察法、類比法、數(shù)形結(jié)合法等 4數(shù)列模型應(yīng)用問題國民經(jīng)濟發(fā)展中的大量問題，如人口增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計算等應(yīng)用問題，就是數(shù)列所要解決的問題實際問題中，若問題實質(zhì)反映的是前后相鄰兩次(或三次)之間的某種固定關(guān)系，適合應(yīng)用數(shù)列建模求解 11*12320092010121()()A.6 B.3 C.2 .1 D 1nnnnaaaaanaaaaaN一、周期數(shù)列與創(chuàng)已知數(shù)列滿足，則連乘積例1的值為 新型數(shù)列問題 *(2)

3、 1()_2_nnnnnknnaaap nnNpaaaaakNka定義：在數(shù)列中，若， 為常數(shù) 則稱數(shù)列為“等方差數(shù)列”下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列；是等方差數(shù)列；若是等方差數(shù)列，則， 為常數(shù) 也是等方差數(shù)列；若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列其中正確命題序號為 123412320092010200920101222212212A. 416111201nnnnnnnnnknaa aaaa aaaaaaa aaapaaaa 歸納出數(shù)列是以 為周期的數(shù)列，且，故，對于，由知是等差數(shù)列，命題正確對于，由于，則是等方差數(shù)列，命題正確對于，是等方差數(shù)列，由知是

4、等差數(shù)列，則數(shù)選列故解析：222(1)()knk naad是等差數(shù)列，即常數(shù) ，命題正確2211().22nnnnnaapaaddpad對于，根據(jù)條件知，解得常數(shù) ，命題故填正確 12本題可以訓(xùn)練學(xué)生的歸納推理能力，猜想數(shù)列可能是周期數(shù)列，然后探究數(shù)列的周期性有關(guān)數(shù)列的新定義型試題在高考命題中較常見，問題分析求解的關(guān)鍵是理解“新定義”的內(nèi)涵并準【點評】確應(yīng)用201150020600(1)500(1)()2nnn某企業(yè)年的純利潤為萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降若不能進行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少萬元今年初該企業(yè)一次性投入資金萬元進行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改

5、造資金的情況下，第二、數(shù)列模型應(yīng)年 今年為第一年 的例2利潤為萬元為正用問整數(shù)題 ()12nnnnnABAB設(shè)從今年起的前 年，若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為萬元，進行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元 須扣除技術(shù)改造資金 ，求、的表達式；依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤？ 22250020148020490102111500(1)500(1)500(1)600222111500500()600222111225500510005006001120100.2nnnnnnnAn nAnnnBnnn 依題意知，數(shù)列解是一個以為首項，

6、為公差的等差數(shù)析列：，所以， 222 5005001004901025050102210.50503324410816244nnnnnBAnnnnnf ng nnnnf ng nfgfgnN則時不等式成立依題意得，即，可化簡得，所以，即至少經(jīng)過 年進行技術(shù)改造可設(shè)，又因為，是后累計純利潤將超減函數(shù)，是增函數(shù)又，過不改造的累計純利潤數(shù)列模型實際應(yīng)用問題的顯著情境是一次一次的變化，且前后相鄰兩次或三次顯現(xiàn)固定的變化模式；求解時可依次探究，歸納出一般規(guī)律，也可找相鄰前后二次或三次的遞推關(guān)系式，然后化歸為特殊數(shù)列問【點評】題求解 12111(201320.93337811123)8nnnnnnnnnn

7、nnnnnaaanSnaSa SSaabbnaaTnT 例3已知數(shù)列中，其前 項和為，且當時，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；求數(shù)列的通項公式；令，記數(shù)列的前 項和為，證明對于任意的正整數(shù) ，都三、數(shù)列與成都不等式綜合問有模擬題成立 112111111112121112SS(2)104001141 4.1223 4 1 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSa SSSSSSSSSSSnSSnSSSnaSSaSSa 證明：當時，所以又由，可推知對一所以數(shù)列是等比數(shù)切正整數(shù)均有，由知等比數(shù)列的首項為 ，公比為 ，所以當時，列，又，所以解析：2 1.3 4 2nnn 212221211112

8、1122123 49339 3 43 4.3 43 3 4341 4193338318373 488241 413nnnnnnnnnnnnnnnnnaabaaabaanbTbn 證明：當時，此時又，所以，22121122 22 121113 411241 414141311()8414111717().4141841837880nnnnnnnnnnnnnnnnbTbbbnbTTTnT 當時，又因為對任意所以對于任意的正整數(shù)的正整數(shù) 都有，所以單調(diào)遞增，都有，即，成立 12本題第小題作為等差數(shù)列通項公式的逆用，體現(xiàn)了對等差數(shù)列的另一種刻畫第小題涉及構(gòu)造函數(shù)、運用函數(shù)單調(diào)性論證不等式，這種分析求解

9、方法在高考中頻【點評】繁出現(xiàn) 11*1121234*111*121213111()(2)2(2)11110(1)(1)(1)(23)31nnnnnnnnnnnnnbbbbaaabnnbbbbbbbabnnabnaaaNNN數(shù)列滿足，若數(shù)列滿足，且求 ， ，及 ；求證：且；求證：例4 2341111*12211211121111137152112111 22111()12(2)11111111121.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbabnnbbbaabbbbbbbbbaaaabbbbbb N，由，所以證明：因為且，所:以，以析所解，*111(2)nnnn

10、abnnabN且 1212123122111231341121111212121112(1)(1)(1)111111123211122()3111131()132111(1)(1nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabbaabaaaaaabbbababbbbbbbbaa 證明：由知，而，121111)(1)2()nnabbb111112123341112122121 212112(),21 21212111132111110(1)(1111111 2()()()212121212121111)(1).51 2()32313nkkkkkkkkknnnnaaak 當，所以時，所以 本

11、例涉及兩個數(shù)列，問題實質(zhì)是有關(guān)數(shù)列的通項、恒等式和不等式的證明，求解策略是應(yīng)用轉(zhuǎn)化化歸思想和推理證明方法其中不等式證明運用的放縮技巧【點評】是難點 12211*2*12()2463,23(2,3)1(1,2).21()3213()nnnnnnnnnnnfxxaxb abfxxxxabaaf anbnbnSaabSnanNN設(shè)函數(shù)、 為實數(shù) ，已知不等式對任意的實數(shù)均成立定義數(shù)列和：， ， ，數(shù)列的前 項和為求 、 的值；求備選題 證：求證： 22211111211121111 2462|31 |3010.232322 (2)1(2)22231.221222222.12nnnnnnnnnnnnn

12、nnnnnnnnnnf xxxxxxffabaf aaaaananaaaaaaabaaa aaaa aaf xxx R由，對均成立得，故，所以由，得，以解所析:11nna-，*1212231111211211112111111()()111111()1().322(2)220(2)(2)3003nnnnnnnnnnnnnnnnnnSnSbbbaaaaaaaaaaaanaaanaanaaaaaN所以因為，所以，所以從而，即，所以 1212121n122121112112122(2)12121 (2)142cc(2)1 log2log(2)log212(2)121 (2)121212(2)3nnn

13、nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaanaaanaccnccndcdddnddndddnn 由，得設(shè)，則，且，于是設(shè)，則，且，所以，所以，從而1111-111222*21221222121.13221()1 1nnnnnnnndnnndcacnaan N時，所以，所以當時以，所n本題集數(shù)列、函數(shù)、不等式于一體，主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的通項求法、數(shù)列前 項和的求法、構(gòu)造新數(shù)列法、裂項相消法等知識與方法，此題對學(xué)生分析問題與解決問題的能力，邏輯推理能力以及運算能力的要【點評】求較高1數(shù)列模型應(yīng)用題的求解策略與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用題大致有三類：一類是有關(guān)等差數(shù)列的應(yīng)用題；二是有關(guān)等比

14、數(shù)列的應(yīng)用題；三是有關(guān)遞推數(shù)列且可化成等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題當然，還包括上述三類問題的綜合其中第一類問題在內(nèi)容上比較簡單，建立等差數(shù)列模型后，問題常常轉(zhuǎn)化成整式或不等式處理，很容易計算對第二類問題，建立等比數(shù)列的模型后，弄清項數(shù)是關(guān)鍵，運算中往往要運用指數(shù)或?qū)?shù)知識，并依據(jù)題設(shè)中所給參考數(shù)據(jù)進行近似計算，對其結(jié)果要按要求保留一定的精確度對于第三類問題，要將線性遞推數(shù)列化歸為等比數(shù)列求解 2數(shù)列與不等式綜合問題求解思想解答數(shù)列與不等式的綜合問題時要善于運用函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，利用數(shù)列為特殊函數(shù)，用特例分析法、一般遞推法及數(shù)列的求和、求通項的基本方法、放縮法等方法綜合分析問題探究問題計算、推理、論證的途徑