高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題課件 理.ppt

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第七章不等式 7 3二元一次不等式 組 與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 題型分類(lèi)深度剖析 易錯(cuò)警示系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 1 二元一次不等式表示的平面區(qū)域 1 一般地 二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax By C 0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的 我們把直線畫(huà)成虛線以表示區(qū)域邊界直線 當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫(huà)不等式Ax By C 0所表示的平面區(qū)域時(shí) 此區(qū)域應(yīng)邊界直線 則把邊界直線畫(huà)成 平面區(qū)域 不包括 包括 實(shí)線 知識(shí)梳理 1 答案 2 由于對(duì)直線Ax By C 0同一側(cè)的所有點(diǎn) x y 把它的坐標(biāo) x y 代入Ax By C 所得的符號(hào)都 所以只需在此直線的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn) x0 y0 作為測(cè)試點(diǎn) 由Ax0 By0 C的即可判斷Ax By C 0表示的直線是Ax By C 0哪一側(cè)的平面區(qū)域 相同 符號(hào) 答案 2 線性規(guī)劃相關(guān)概念 一次 最大值 最小值 一次 線性約束條件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 答案 3 重要結(jié)論 1 畫(huà)二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界 特殊點(diǎn)定域 直線定界 不等式中無(wú)等號(hào)時(shí)直線畫(huà)成虛線 有等號(hào)時(shí)直線畫(huà)成實(shí)線 特殊點(diǎn)定域 若直線不過(guò)原點(diǎn) 特殊點(diǎn)常選原點(diǎn) 若直線過(guò)原點(diǎn) 則特殊點(diǎn)常選取 0 1 或 1 0 來(lái)驗(yàn)證 2 利用 同號(hào)上 異號(hào)下 判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域 對(duì)于Ax By C 0或Ax By C0時(shí) 區(qū)域?yàn)橹本€Ax By C 0的上方 當(dāng)B Ax By C 0時(shí) 區(qū)域?yàn)橹本€Ax By C 0的下方 3 最優(yōu)解和可行解的關(guān)系 最優(yōu)解必定是可行解 但可行解不一定是最優(yōu)解 最優(yōu)解不一定唯一 有時(shí)唯一 有時(shí)有多個(gè) 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 不等式Ax By C 0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax By C 0的上方 2 線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的 3 目標(biāo)函數(shù)z ax by b 0 中 z的幾何意義是直線ax by z 0在y軸上的截距 4 不等式x2 y2 0表示的平面區(qū)域是一 三象限角的平分線和二 四象限角的平分線圍成的含有y軸的兩塊區(qū)域 思考辨析 答案 1 如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為 解析兩直線方程分別為x 2y 2 0與x y 1 0 由 0 0 點(diǎn)在直線x 2y 2 0右下方可知x 2y 2 0 又 0 0 點(diǎn)在直線x y 1 0左下方可知x y 1 0 考點(diǎn)自測(cè) 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析用特殊點(diǎn)代入 比如 0 0 容易判斷為 解析答案 1 2 3 4 5 解析因?yàn)橹本€x y 1與x y 1互相垂直 所以如圖所示的可行域?yàn)橹苯侨切?易得A 0 1 B 1 0 C 2 3 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 解析答案 1 2 3 4 5 5 投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí) 每生產(chǎn)100噸需要資金200萬(wàn)元 需場(chǎng)地200平方米 投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí) 每生產(chǎn)100噸需要資金300萬(wàn)元 需場(chǎng)地100平方米 現(xiàn)某單位可使用資金1400萬(wàn)元 場(chǎng)地900平方米 則上述要求可用不等式組表示為 用x y分別表示生產(chǎn)A B產(chǎn)品的噸數(shù) x和y的單位是百?lài)?解析答案 1 2 3 4 5 所以不難看出 x 0 y 0 200 x 300y 1400 200 x 100y 900 解析用表格列出各數(shù)據(jù) 1 2 3 4 5 返回 題型分類(lèi)深度剖析 命題點(diǎn)1不含參數(shù)的平面區(qū)域問(wèn)題 例1 1 不等式 x 2y 1 x y 3 0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域 用陰影部分表示 應(yīng)是下列圖形中的 題型一二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域 解析答案 答案 解析由題意得不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分 解析答案 命題點(diǎn)2含參數(shù)的平面區(qū)域問(wèn)題 解析答案 思維升華 解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示 思維升華 思維升華 1 求平面區(qū)域的面積 首先畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域 若不能直接畫(huà)出 應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問(wèn)題 從而再作出平面區(qū)域 對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析 若為三角形應(yīng)確定底與高 若為規(guī)則的四邊形 如平行四邊形或梯形 可利用面積公式直接求解 若為不規(guī)則四邊形 可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和即可 2 利用幾何意義求解的平面區(qū)域問(wèn)題 也應(yīng)作出平面圖形 利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解 解析直線y kx 1過(guò)定點(diǎn)M 0 1 由圖可知 當(dāng)直線y kx 1經(jīng)過(guò)直線y x 1與直線x y 3的交點(diǎn)C 1 2 時(shí) k最小 3 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解析由于x 1與x y 4 0不可能垂直 所以只有可能x y 4 0與kx y 0垂直或x 1與kx y 0垂直 當(dāng)x y 4 0與kx y 0垂直時(shí) k 1 檢驗(yàn)知三角形區(qū)域面積為1 即符合要求 當(dāng)x 1與kx y 0垂直時(shí) k 0 檢驗(yàn)不符合要求 1 解析答案 命題點(diǎn)1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值 題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題 解析答案 A 1 1 B 2 1 當(dāng)直線y 2x z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí) zmin 2 1 1 3 n 當(dāng)直線y 2x z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí) zmax 2 2 1 3 m 故m n 6 答案6 解析畫(huà)出可行域 如圖陰影部分所示 由z 2x y 得y 2x z 命題點(diǎn)2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 解析答案 z的取值范圍是 2 如圖中陰影部分所示 2 若z x2 y2 求z的最大值與最小值 并求z的取值范圍 解z x2 y2表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間距離的平方 因此x2 y2的值最小為OA2 取不到 最大值為OB2 z的取值范圍是 1 5 解析答案 z的取值范圍是 0 解析答案 引申探究 2 若z x2 y2 2x 2y 3 求z的最大值 最小值 解z x2 y2 2x 2y 3 x 1 2 y 1 2 1 而 x 1 2 y 1 2表示點(diǎn)P 1 1 與Q x y 的距離的平方 PQ2 max 0 1 2 2 1 2 2 解析答案 命題點(diǎn)3求線性規(guī)劃的參數(shù) 解析作出不等式組表示的可行域 如圖 陰影部分 易知直線z 2x y過(guò)交點(diǎn)A時(shí) z取最小值 解析答案 思維升華 思維升華 1 先準(zhǔn)確作出可行域 再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值 2 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時(shí) 常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來(lái)解題 常見(jiàn)代數(shù)式的幾何意義有 思維升華 3 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí) 要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿(mǎn)足條件 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 在y x 1中 令x 0得y 1 即直線y x 1與y軸的交點(diǎn)為C 0 1 得t2 2t 3 0 解得t 1或t 3 不合題意 舍去 答案1 所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示 解析如圖 由y ax z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距 故當(dāng)a 0時(shí) 要使z y ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一 則a 2 當(dāng)a 0時(shí) 要使z y ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一 則a 1 2或 1 解析答案 例6某客運(yùn)公司用A B兩種型號(hào)的車(chē)輛承擔(dān)甲 乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù) 每車(chē)每天往返一次 A B兩種車(chē)輛的載客量分別為36人和60人 從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本分別為1600元 輛和2400元 輛 公司擬組建一個(gè)不超過(guò)21輛車(chē)的客運(yùn)車(chē)隊(duì) 并要求B型車(chē)不多于A型車(chē)7輛 若每天運(yùn)送人數(shù)不少于900 且使公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小 那么應(yīng)配備A型車(chē) B型車(chē)各多少輛 題型三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 解析答案 思維升華 解設(shè)A型 B型車(chē)輛分別為x y輛 相應(yīng)營(yíng)運(yùn)成本為z元 則z 1600 x 2400y 由題意 得x y滿(mǎn)足約束條件 作可行域如圖所示 可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P 5 12 Q 7 14 R 15 6 解析答案 思維升華 由圖可知 當(dāng)直線z 1600 x 2400y經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)P時(shí) 直線z 1600 x 2400y在y軸上的截距最小 即z取得最小值 故應(yīng)配備A型車(chē)5輛 B型車(chē)12輛 可以滿(mǎn)足公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小 思維升華 思維升華 解線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟 1 分析題意 設(shè)出未知量 2 列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù) 3 作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解 4 作答 2015 陜西改編 某企業(yè)生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品均需用A B兩種原料 已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示 如果生產(chǎn)1噸甲 乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元 4萬(wàn)元 則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為 萬(wàn)元 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 解析設(shè)每天甲 乙的產(chǎn)量分別為x噸 y噸 目標(biāo)函數(shù)z 3x 4y 線性約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示 解析答案 可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取到最大值 則zmax 3 2 4 3 18 萬(wàn)元 答案18 返回 易錯(cuò)警示系列 易錯(cuò)分析題目給出的區(qū)域邊界 兩靜一動(dòng) 可先畫(huà)出已知邊界表示的區(qū)域 分析動(dòng)直線的位置時(shí)容易出錯(cuò) 沒(méi)有抓住直線x y m和直線y x平行這個(gè)特點(diǎn) 另外在尋找最優(yōu)點(diǎn)時(shí)也容易找錯(cuò)區(qū)域的頂點(diǎn) 易錯(cuò)警示系列 8 含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn) 溫馨提醒 解析答案 返回 易錯(cuò)分析 解析顯然 當(dāng)m 2時(shí) 不等式組表示的平面區(qū)域是空集 當(dāng)m 2時(shí) 不等式組表示的平面區(qū)域只包含一個(gè)點(diǎn)A 1 1 此時(shí)zmin 1 1 0 1 顯然都不符合題意 所表示的平面區(qū)域如圖所示 溫馨提醒 解析答案 平面區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)三角形區(qū)域 由圖可知 當(dāng)直線y x z經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí) z取得最小值 答案5 溫馨提醒 溫馨提醒 1 當(dāng)約束條件含有參數(shù)時(shí) 要注意根據(jù)題目條件 畫(huà)出符合條件的可行域 本題因含有變化的參數(shù) 可能導(dǎo)致可行域畫(huà)不出來(lái) 2 應(yīng)注意直線y x z經(jīng)過(guò)的特殊點(diǎn) 返回 思想方法感悟提高 1 平面區(qū)域的畫(huà)法 線定界 點(diǎn)定域 注意實(shí)虛線 方法與技巧 3 解線性規(guī)劃應(yīng)用題 可先找出各變量之間的關(guān)系 最好列成表格 然后用字母表示變量 列出線性約束條件 寫(xiě)出要研究的函數(shù) 轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問(wèn)題 4 利用線性規(guī)劃的思想結(jié)合代數(shù)式的幾何意義可以解決一些非線性規(guī)劃問(wèn)題 方法與技巧 1 畫(huà)出平面區(qū)域 避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 直線2x y 10 0恰過(guò)點(diǎn)A 5 0 即直線2x y 10 0與平面區(qū)域僅有一個(gè)公共點(diǎn)A 5 0 答案1 解析由不等式組畫(huà)出平面區(qū)域如圖 陰影部分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析畫(huà)出約束條件的可行域如圖陰影 作直線l x 6y 0 平移直線l可知 直線l過(guò)點(diǎn)A時(shí) 目標(biāo)函數(shù)z x 6y取得最大值 易得A 0 3 所以zmax 0 6 3 18 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 答案3 解析由線性約束條件畫(huà)出可行域 如圖所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 某公司生產(chǎn)甲 乙兩種桶裝產(chǎn)品 已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克 B原料2千克 生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克 B原料1千克 每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元 每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元 公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中 要求每天消耗A B原料都不超過(guò)12千克 通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃 從每天生產(chǎn)的甲 乙兩種產(chǎn)品中 公司共可獲得的最大利潤(rùn)是 元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶 乙種產(chǎn)品y桶 設(shè)獲利z元 則z 300 x 400y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 畫(huà)出可行域如圖 畫(huà)直線l 300 x 400y 0 即3x 4y 0 平移直線l 從圖中可知 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)M時(shí) 目標(biāo)函數(shù)取得最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 即M的坐標(biāo)為 4 4 zmax 300 4 400 4 2800 元 答案2800 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 由圖可知 當(dāng)m 1時(shí) 函數(shù)y 2x的圖象上存在點(diǎn) x y 滿(mǎn)足約束條件 故m的最大值為1 答案1 所表示的平面區(qū)域 如圖陰影部分所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 答案1 解析作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析畫(huà)出不等式組所表示的區(qū)域 如圖中陰影部分所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 鐵礦石A和B的含鐵率a 冶煉每萬(wàn)噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬(wàn)噸鐵礦石的價(jià)格c如表 某冶煉廠至少要生產(chǎn)1 9 萬(wàn)噸 鐵 若要求CO2的排放量不超過(guò)2 萬(wàn)噸 則購(gòu)買(mǎi)鐵礦石的最少費(fèi)用為 百萬(wàn)元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析設(shè)購(gòu)買(mǎi)鐵礦石A B分別為x萬(wàn)噸 y萬(wàn)噸 購(gòu)買(mǎi)鐵礦石的費(fèi)用為z 百萬(wàn)元 目標(biāo)函數(shù)z 3x 6y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 畫(huà)出可行域可知 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z 3x 6y過(guò)點(diǎn)P 1 2 時(shí) z取到最小值15 答案15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn) 4 6 時(shí)z取最大值 4a 6b 10 a2 b2的幾何意義是直線4a 6b 10上任意一點(diǎn)到點(diǎn) 0 0 的距離的平方 那么其最小值是點(diǎn) 0 0 到直線4a 6b 10距離的平方 解析因?yàn)閍 0 b 0 所以由可行域得 如圖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析作出可行域 如圖所示 則目標(biāo)函數(shù)z x 2y在點(diǎn) 1 0 處取得最大值1 在點(diǎn) 1 1 處取得最小值 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 a 1 b 3 從而可知方程x2 kx 1 0在區(qū)間 3 1 上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解 令f x x2 kx 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 其中P B分別為點(diǎn)P A在直線2x y 0上的投影 如圖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 表示的兩塊平面區(qū)域 而平面點(diǎn)集B表示的平面區(qū)域?yàn)橐渣c(diǎn) 1 1 為圓心 以1為半徑的圓及圓的內(nèi)部 作出它們表示的平面區(qū)域如圖所示 圖中的陰影部分就是A B所表示的平面圖形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 圓C與x軸相切 b 1 顯然當(dāng)圓心C位于直線y 1與x y 7 0的交點(diǎn) 6 1 處時(shí) amax 6 a2 b2的最大值為62 12 37 答案37 解析由已知得平面區(qū)域 為 MNP內(nèi)部及邊界 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 可行域如圖中陰影部分所示 答案1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 2015 浙江 若實(shí)數(shù)x y滿(mǎn)足x2 y2 1 則 2x y 2 6 x 3y 的最小值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析滿(mǎn)足x2 y2 1的實(shí)數(shù)x y表示的點(diǎn) x y 構(gòu)成的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部 f x y 2x y 2 6 x 3y 2x y 2 6 x 3y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 所以 2x y 2 6 x 3y 的最小值是3 答案3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回