高考數(shù)學一輪復習 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題課件 理.ppt

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第七章不等式 7 3二元一次不等式 組 與簡單的線性規(guī)劃問題 內(nèi)容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 易錯警示系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 二元一次不等式表示的平面區(qū)域 1 一般地 二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐標系中表示直線Ax By C 0某一側(cè)所有點組成的 我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域邊界直線 當我們在坐標系中畫不等式Ax By C 0所表示的平面區(qū)域時 此區(qū)域應邊界直線 則把邊界直線畫成 平面區(qū)域 不包括 包括 實線 知識梳理 1 答案 2 由于對直線Ax By C 0同一側(cè)的所有點 x y 把它的坐標 x y 代入Ax By C 所得的符號都 所以只需在此直線的同一側(cè)取一個特殊點 x0 y0 作為測試點 由Ax0 By0 C的即可判斷Ax By C 0表示的直線是Ax By C 0哪一側(cè)的平面區(qū)域 相同 符號 答案 2 線性規(guī)劃相關(guān)概念 一次 最大值 最小值 一次 線性約束條件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 答案 3 重要結(jié)論 1 畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界 特殊點定域 直線定界 不等式中無等號時直線畫成虛線 有等號時直線畫成實線 特殊點定域 若直線不過原點 特殊點常選原點 若直線過原點 則特殊點常選取 0 1 或 1 0 來驗證 2 利用 同號上 異號下 判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域 對于Ax By C 0或Ax By C0時 區(qū)域為直線Ax By C 0的上方 當B Ax By C 0時 區(qū)域為直線Ax By C 0的下方 3 最優(yōu)解和可行解的關(guān)系 最優(yōu)解必定是可行解 但可行解不一定是最優(yōu)解 最優(yōu)解不一定唯一 有時唯一 有時有多個 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 不等式Ax By C 0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax By C 0的上方 2 線性目標函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的 3 目標函數(shù)z ax by b 0 中 z的幾何意義是直線ax by z 0在y軸上的截距 4 不等式x2 y2 0表示的平面區(qū)域是一 三象限角的平分線和二 四象限角的平分線圍成的含有y軸的兩塊區(qū)域 思考辨析 答案 1 如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為 解析兩直線方程分別為x 2y 2 0與x y 1 0 由 0 0 點在直線x 2y 2 0右下方可知x 2y 2 0 又 0 0 點在直線x y 1 0左下方可知x y 1 0 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析用特殊點代入 比如 0 0 容易判斷為 解析答案 1 2 3 4 5 解析因為直線x y 1與x y 1互相垂直 所以如圖所示的可行域為直角三角形 易得A 0 1 B 1 0 C 2 3 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 解析答案 1 2 3 4 5 5 投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時 每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元 需場地200平方米 投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時 每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元 需場地100平方米 現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元 場地900平方米 則上述要求可用不等式組表示為 用x y分別表示生產(chǎn)A B產(chǎn)品的噸數(shù) x和y的單位是百噸 解析答案 1 2 3 4 5 所以不難看出 x 0 y 0 200 x 300y 1400 200 x 100y 900 解析用表格列出各數(shù)據(jù) 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 命題點1不含參數(shù)的平面區(qū)域問題 例1 1 不等式 x 2y 1 x y 3 0在坐標平面內(nèi)表示的區(qū)域 用陰影部分表示 應是下列圖形中的 題型一二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域 解析答案 答案 解析由題意得不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分 解析答案 命題點2含參數(shù)的平面區(qū)域問題 解析答案 思維升華 解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示 思維升華 思維升華 1 求平面區(qū)域的面積 首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域 若不能直接畫出 應利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題 從而再作出平面區(qū)域 對平面區(qū)域進行分析 若為三角形應確定底與高 若為規(guī)則的四邊形 如平行四邊形或梯形 可利用面積公式直接求解 若為不規(guī)則四邊形 可分割成幾個三角形分別求解再求和即可 2 利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題 也應作出平面圖形 利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解 解析直線y kx 1過定點M 0 1 由圖可知 當直線y kx 1經(jīng)過直線y x 1與直線x y 3的交點C 1 2 時 k最小 3 跟蹤訓練1 解析答案 解析由于x 1與x y 4 0不可能垂直 所以只有可能x y 4 0與kx y 0垂直或x 1與kx y 0垂直 當x y 4 0與kx y 0垂直時 k 1 檢驗知三角形區(qū)域面積為1 即符合要求 當x 1與kx y 0垂直時 k 0 檢驗不符合要求 1 解析答案 命題點1求線性目標函數(shù)的最值 題型二求目標函數(shù)的最值問題 解析答案 A 1 1 B 2 1 當直線y 2x z經(jīng)過點A時 zmin 2 1 1 3 n 當直線y 2x z經(jīng)過點B時 zmax 2 2 1 3 m 故m n 6 答案6 解析畫出可行域 如圖陰影部分所示 由z 2x y 得y 2x z 命題點2求非線性目標函數(shù)的最值 解析答案 z的取值范圍是 2 如圖中陰影部分所示 2 若z x2 y2 求z的最大值與最小值 并求z的取值范圍 解z x2 y2表示可行域內(nèi)的任意一點與坐標原點之間距離的平方 因此x2 y2的值最小為OA2 取不到 最大值為OB2 z的取值范圍是 1 5 解析答案 z的取值范圍是 0 解析答案 引申探究 2 若z x2 y2 2x 2y 3 求z的最大值 最小值 解z x2 y2 2x 2y 3 x 1 2 y 1 2 1 而 x 1 2 y 1 2表示點P 1 1 與Q x y 的距離的平方 PQ2 max 0 1 2 2 1 2 2 解析答案 命題點3求線性規(guī)劃的參數(shù) 解析作出不等式組表示的可行域 如圖 陰影部分 易知直線z 2x y過交點A時 z取最小值 解析答案 思維升華 思維升華 1 先準確作出可行域 再借助目標函數(shù)的幾何意義求目標函數(shù)的最值 2 當目標函數(shù)是非線性的函數(shù)時 常利用目標函數(shù)的幾何意義來解題 常見代數(shù)式的幾何意義有 思維升華 3 當目標函數(shù)中含有參數(shù)時 要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足條件 跟蹤訓練2 解析答案 在y x 1中 令x 0得y 1 即直線y x 1與y軸的交點為C 0 1 得t2 2t 3 0 解得t 1或t 3 不合題意 舍去 答案1 所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示 解析如圖 由y ax z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距 故當a 0時 要使z y ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一 則a 2 當a 0時 要使z y ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一 則a 1 2或 1 解析答案 例6某客運公司用A B兩種型號的車輛承擔甲 乙兩地間的長途客運業(yè)務 每車每天往返一次 A B兩種車輛的載客量分別為36人和60人 從甲地去乙地的營運成本分別為1600元 輛和2400元 輛 公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊 并要求B型車不多于A型車7輛 若每天運送人數(shù)不少于900 且使公司從甲地去乙地的營運成本最小 那么應配備A型車 B型車各多少輛 題型三線性規(guī)劃的實際應用 解析答案 思維升華 解設A型 B型車輛分別為x y輛 相應營運成本為z元 則z 1600 x 2400y 由題意 得x y滿足約束條件 作可行域如圖所示 可行域的三個頂點坐標分別為P 5 12 Q 7 14 R 15 6 解析答案 思維升華 由圖可知 當直線z 1600 x 2400y經(jīng)過可行域的點P時 直線z 1600 x 2400y在y軸上的截距最小 即z取得最小值 故應配備A型車5輛 B型車12輛 可以滿足公司從甲地去乙地的營運成本最小 思維升華 思維升華 解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟 1 分析題意 設出未知量 2 列出線性約束條件和目標函數(shù) 3 作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解 4 作答 2015 陜西改編 某企業(yè)生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品均需用A B兩種原料 已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示 如果生產(chǎn)1噸甲 乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元 4萬元 則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為 萬元 跟蹤訓練3 解析答案 解析設每天甲 乙的產(chǎn)量分別為x噸 y噸 目標函數(shù)z 3x 4y 線性約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示 解析答案 可得目標函數(shù)在點A處取到最大值 則zmax 3 2 4 3 18 萬元 答案18 返回 易錯警示系列 易錯分析題目給出的區(qū)域邊界 兩靜一動 可先畫出已知邊界表示的區(qū)域 分析動直線的位置時容易出錯 沒有抓住直線x y m和直線y x平行這個特點 另外在尋找最優(yōu)點時也容易找錯區(qū)域的頂點 易錯警示系列 8 含參數(shù)的線性規(guī)劃問題的易錯點 溫馨提醒 解析答案 返回 易錯分析 解析顯然 當m 2時 不等式組表示的平面區(qū)域是空集 當m 2時 不等式組表示的平面區(qū)域只包含一個點A 1 1 此時zmin 1 1 0 1 顯然都不符合題意 所表示的平面區(qū)域如圖所示 溫馨提醒 解析答案 平面區(qū)域為一個三角形區(qū)域 由圖可知 當直線y x z經(jīng)過點C時 z取得最小值 答案5 溫馨提醒 溫馨提醒 1 當約束條件含有參數(shù)時 要注意根據(jù)題目條件 畫出符合條件的可行域 本題因含有變化的參數(shù) 可能導致可行域畫不出來 2 應注意直線y x z經(jīng)過的特殊點 返回 思想方法感悟提高 1 平面區(qū)域的畫法 線定界 點定域 注意實虛線 方法與技巧 3 解線性規(guī)劃應用題 可先找出各變量之間的關(guān)系 最好列成表格 然后用字母表示變量 列出線性約束條件 寫出要研究的函數(shù) 轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題 4 利用線性規(guī)劃的思想結(jié)合代數(shù)式的幾何意義可以解決一些非線性規(guī)劃問題 方法與技巧 1 畫出平面區(qū)域 避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標準化 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 直線2x y 10 0恰過點A 5 0 即直線2x y 10 0與平面區(qū)域僅有一個公共點A 5 0 答案1 解析由不等式組畫出平面區(qū)域如圖 陰影部分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析畫出約束條件的可行域如圖陰影 作直線l x 6y 0 平移直線l可知 直線l過點A時 目標函數(shù)z x 6y取得最大值 易得A 0 3 所以zmax 0 6 3 18 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 答案3 解析由線性約束條件畫出可行域 如圖所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 某公司生產(chǎn)甲 乙兩種桶裝產(chǎn)品 已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克 B原料2千克 生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克 B原料1千克 每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元 每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元 公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中 要求每天消耗A B原料都不超過12千克 通過合理安排生產(chǎn)計劃 從每天生產(chǎn)的甲 乙兩種產(chǎn)品中 公司共可獲得的最大利潤是 元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析設每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶 乙種產(chǎn)品y桶 設獲利z元 則z 300 x 400y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 畫出可行域如圖 畫直線l 300 x 400y 0 即3x 4y 0 平移直線l 從圖中可知 當直線過點M時 目標函數(shù)取得最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 即M的坐標為 4 4 zmax 300 4 400 4 2800 元 答案2800 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 由圖可知 當m 1時 函數(shù)y 2x的圖象上存在點 x y 滿足約束條件 故m的最大值為1 答案1 所表示的平面區(qū)域 如圖陰影部分所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 答案1 解析作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析畫出不等式組所表示的區(qū)域 如圖中陰影部分所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 鐵礦石A和B的含鐵率a 冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如表 某冶煉廠至少要生產(chǎn)1 9 萬噸 鐵 若要求CO2的排放量不超過2 萬噸 則購買鐵礦石的最少費用為 百萬元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析設購買鐵礦石A B分別為x萬噸 y萬噸 購買鐵礦石的費用為z 百萬元 目標函數(shù)z 3x 6y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 畫出可行域可知 當目標函數(shù)z 3x 6y過點P 1 2 時 z取到最小值15 答案15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 當目標函數(shù)過點 4 6 時z取最大值 4a 6b 10 a2 b2的幾何意義是直線4a 6b 10上任意一點到點 0 0 的距離的平方 那么其最小值是點 0 0 到直線4a 6b 10距離的平方 解析因為a 0 b 0 所以由可行域得 如圖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析作出可行域 如圖所示 則目標函數(shù)z x 2y在點 1 0 處取得最大值1 在點 1 1 處取得最小值 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 a 1 b 3 從而可知方程x2 kx 1 0在區(qū)間 3 1 上有兩個不同實數(shù)解 令f x x2 kx 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 其中P B分別為點P A在直線2x y 0上的投影 如圖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 表示的兩塊平面區(qū)域 而平面點集B表示的平面區(qū)域為以點 1 1 為圓心 以1為半徑的圓及圓的內(nèi)部 作出它們表示的平面區(qū)域如圖所示 圖中的陰影部分就是A B所表示的平面圖形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 圓C與x軸相切 b 1 顯然當圓心C位于直線y 1與x y 7 0的交點 6 1 處時 amax 6 a2 b2的最大值為62 12 37 答案37 解析由已知得平面區(qū)域 為 MNP內(nèi)部及邊界 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 可行域如圖中陰影部分所示 答案1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 2015 浙江 若實數(shù)x y滿足x2 y2 1 則 2x y 2 6 x 3y 的最小值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 解析滿足x2 y2 1的實數(shù)x y表示的點 x y 構(gòu)成的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部 f x y 2x y 2 6 x 3y 2x y 2 6 x 3y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析答案 所以 2x y 2 6 x 3y 的最小值是3 答案3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回