高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八章 第7節(jié) 曲線與方程課件.ppt

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第八章平面解析幾何 第7節(jié)曲線與方程 1 了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系 2 了解解析幾何的基本思想和利用坐標法研究幾何問題的基本方法 3 能夠根據(jù)所給條件選擇適當?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程 要點梳理 1 曲線與方程在平面直角坐標系中 如果曲線C與方程F x y 0之間具有如下關(guān)系 1 曲線C上點的坐標都是 2 以方程F x y 0的解為坐標的點都 那么這個方程叫做 這條曲線叫做 方程F x y 0的解 在曲線C上 曲線的方程 方程的曲線 2 求動點的軌跡方程的一般步驟 1 建系 建立適當?shù)淖鴺讼?2 設(shè)點 設(shè)軌跡上的任一點P x y 3 列式 列出動點P所滿足的關(guān)系式 4 代換 依條件式的特點 選用距離公式 斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x y的方程式 并化簡 5 證明 證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程 3 兩曲線的交點 1 由曲線方程的定義可知 兩條曲線交點的坐標應(yīng)該是兩個曲線方程的公共解 即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解 反過來 方程組有幾組解 兩條曲線就有幾個交點 方程組無解 兩條曲線就沒有交點 2 兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數(shù)解 可見 求曲線的交點問題 就是求由它們的方程所組成的方程組的實數(shù)解問題 解析 由題意知 M為PQ中點 設(shè)Q x y 則P為 2 x 4 y 代入2x y 3 0得2x y 5 0 答案 D 解析 如圖所示 設(shè)三個切點分別為M N Q PF1 PF2 PF1 PM F2N F1N F2N F1F2 2 F2N 2a F2N a c N點是橢圓的右頂點 CN x軸 圓心C的軌跡為直線 答案 D 4 已知點A 2 0 B 3 0 動點P x y 滿足 x2 6 則點P的軌跡方程是 5 已知M 2 0 N 2 0 則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是 解析 設(shè)P x y 因為 MPN為直角三角形 MP 2 NP 2 MN 2 x 2 2 y2 x 2 2 y2 16 整理得 x2 y2 4 M N P不共線 x 2 軌跡方程為x2 y2 4 x 2 答案 x2 y2 4 x 2 拓展提高 1 用直接法求軌跡方程的步驟 建系 設(shè)點 列方程化簡 其關(guān)鍵是根據(jù)條件列出方程來 2 求軌跡方程時 最后要注意它的完備性與純粹性 多余的點要去掉 遺漏的點要補上 活學(xué)活用1如圖所示 過點P 2 4 作互相垂直的直線l1 l2 若l1交x軸于A l2交y軸于B 求線段AB中點M的軌跡方程 考向二定義法求軌跡方程例2已知兩個定圓O1和O2 它們的半徑分別是1和2 且 O1O2 4 動圓M與圓O1內(nèi)切 又與圓O2外切 建立適當?shù)淖鴺讼?求動圓圓心M的軌跡方程 并說明軌跡是何種曲線 思路點撥利用兩圓內(nèi) 外切的充要條件找出點M滿足的幾何條件 結(jié)合雙曲線的定義求解 解 如圖所示 以O(shè)1O2的中點O為原點 O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標系 由 O1O2 4 得O1 2 0 O2 2 0 設(shè)動圓M的半徑為r 則由動圓M與圓O1內(nèi)切 有 MO1 r 1 拓展提高求曲線的軌跡方程時 應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型 從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程 這樣可以減少運算量 提高解題速度與質(zhì)量 提醒 弄清各種常見曲線的定義是用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵 活學(xué)活用2如圖 點A為圓形紙片內(nèi)不同于圓心C的定點 動點M在圓周上 將紙片折起 使點M與點A重合 設(shè)折痕m交線段CM于點N 現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標系xOy中 設(shè)圓C x 1 2 y2 4a2 a 1 A 1 0 記點N的軌跡為曲線E 思想方法18利用參數(shù)法求軌跡方程典例已知拋物線y2 4px p 0 O為頂點 A B為拋物線上的兩動點 且滿足OA OB 如果OM AB于M點 則點M的軌跡為 審題視角 1 點M的運動是由A點的運動引起的 而A的變動又和OA的斜率有關(guān) 2 若OA的斜率確定 A的坐標確定 M的坐標也確定 所以可選OA的斜率為參數(shù) 解析 設(shè)點M的坐標為 x y 直線OA的方程為y kx 可知M點的坐標同時滿足 由 及 消去k得4px x2 y2 即 x 2p 2 y2 4p2 x 0 當k 1時 容易驗證M點的坐標仍適合上述方程 故點M的軌跡方程為 x 2p 2 y2 4p2 x 0 其軌跡是以點 2p 0 為圓心 以2p為半徑的圓 答案 以點 2p 0 為圓心 以2p為半徑的圓 方法點睛 1 本題通過引入?yún)?shù) 用參數(shù)法求解較為簡捷 但很多考生找不到破解問題的切入口 無從入手 2 個別考生由于參數(shù)選取不恰當 造成計算繁雜冗長 難以求出最終結(jié)論 3 應(yīng)用參數(shù)法求軌跡方程時 首先要選擇恰當?shù)膮?shù) 參數(shù)必須能刻畫動點的運動變化 而且與動點坐標有直接的內(nèi)在聯(lián)系 如果需要 還應(yīng)顧及消去參數(shù)的方便 選定參數(shù)之后 即可當作已知數(shù) 運用軌跡條件 求出動點的坐標 即得軌跡的參數(shù)方程 消去參數(shù)即得軌跡的普通方程 解析 直線l過點M 0 1 當斜率存在時 設(shè)其斜率為k 則l的方程為y kx 1 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 由題設(shè)可得點A B的坐標 x1 y1 x2 y2 是方程組 思維升華 方法與技巧 求軌跡的方法 1 直接法 如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量 如距離與角 的等量關(guān)系 或這些幾何條件簡單明了且易于表達 我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為x y的等式就得到曲線的軌跡方程 2 定義法 其動點的軌跡符合某一基本軌跡 如直線或圓錐曲線 的定義 則可根據(jù)定義采用設(shè)方程 求方程系數(shù)得到動點的軌跡方程 3 代入法 相關(guān)點法 當所求動點M是隨著另一動點P 稱之為相關(guān)點 而運動 如果相關(guān)點P所滿足某一曲線方程 這時我們可以用動點坐標表示相關(guān)點坐標 再把相關(guān)點代入曲線方程 就把相關(guān)點所滿足的方程轉(zhuǎn)化為動點的軌跡方程 這種求軌跡的方法叫做相關(guān)點法或代入法 失誤與防范 1 求軌跡方程時 要注意曲線上的點與方程的解是一一對應(yīng)關(guān)系 檢驗可從以下兩個方面進行 一是方程的化簡是否是同解變形 二是是否符合題目的實際意義 2 求點的軌跡與軌跡方程是不同的要求 求軌跡時 應(yīng)先求軌跡方程 然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀 位置 大小等