2019年高考數學總復習 2.4.3 導數與函數的零點及參數范圍課件 理.ppt

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2 4 3導數與函數的零點及參數范圍 考向一 考向二 考向三 判斷 證明或討論函數零點個數解題策略一應用單調性 零點存在性定理 數形結合判斷例1設函數f x e2x alnx 1 討論f x 的導函數f x 零點的個數 難點突破 1 討論f x 零點的個數要依據f x 的單調性 應用零點存在性定理進行判斷 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 2 證明 由 1 可設f x 在 0 的唯一零點為x0 當x 0 x0 時 f x 0 故f x 在 0 x0 單調遞減 在 x0 單調遞增 所以當x x0時 f x 取得最小值 最小值為f x0 解題心得研究函數零點或方程根的情況 可以通過導數研究函數的單調性 最大值 最小值 變化趨勢等 并借助函數的大致圖象判斷函數零點或方程根的情況 考向一 考向二 考向三 對點訓練1已知函數f x x2 3x 3 ex 1 試確定t的取值范圍 使得函數f x 在 2 t t 2 上為單調函數 解 1 f x x2 3x 3 ex 2x 3 ex x x 1 ex 由f x 0 得x 1或x 0 由f x 0 得0 x 1 所以f x 在 0 和 1 內單調遞增 在 0 1 內單調遞減 若使f x 在 2 t 上為單調函數 則需 2 t 0 即t的取值范圍為 2 0 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解題策略二分類討論法例2已知函數f x x3 ax g x lnx 1 當a為何值時 x軸為曲線y f x 的切線 2 用min m n 表示m n中的最小值 設函數h x min f x g x x 0 討論h x 零點的個數 難點突破 1 設切點 x0 0 依題意f x0 0 f x0 0 得關于a x0的方程組解之 2 為確定出h x 對自變量x 0分類討論 確定出h x 后對參數a分類討論h x 零點的個數 h x 零點的個數的確定要依據h x 的單調性和零點存在性定理 考向一 考向二 考向三 解 1 設曲線y f x 與x軸相切于點 x0 0 則f x0 0 f x0 0 2 當x 1 時 g x lnx 0 從而h x min f x g x g x 0 故h x 在 1 無零點 當x 0 1 時 g x lnx 0 所以只需考慮f x 在 0 1 的零點個數 考向一 考向二 考向三 若a 3或a 0 則f x 3x2 a在 0 1 無零點 故f x 在 0 1 單調 考向一 考向二 考向三 解題心得1 如果函數中沒有參數 一階導數求出函數的極值點 判斷極值點大于0小于0的情況 進而判斷函數零點的個數 2 如果函數中含有參數 往往一階導數的正負不好判斷 這時先對參數進行分類 再判斷導數的符號 如果分類也不好判斷 那么需要對一階導函數進行求導 在判斷二階導數的正負時 也可能需要分類 考向一 考向二 考向三 1 當a 1時 求函數f x 的最小值 2 當a 1時 討論函數f x 的零點個數 解 1 函數f x 的定義域為 x x 0 考向一 考向二 考向三 當a 0時 若x 0 1 則f x 0 f x 為增函數 由于x 0 從右側趨近0 時 f x x 時 f x 所以f x 有兩個零點 考向一 考向二 考向三 當00 f x 為增函數 x a 1 時 f x 0 f x 為增函數 所以f x 在x a處取極大值 f x 在x 1處取極小值 當0 a 1時 f a 0 即在x 0 1 時 f x 0 而f x 在x 1 時為增函數 且x 時 f x 所以此時f x 有一個零點 所以f x 為增函數 且x 0 從右側趨近于0 時 f x x 時 f x 所以f x 有一個零點 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 已知零點個數求參數范圍解題策略一最小值法 1 討論f x 的增減性 2 若g x f x mx在 1 上沒有零點 求實數m的取值范圍 難點突破g x 在 1 上沒有零點 g x 0在 1 上恒成立 分離出參數m h x m h x max 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解題心得在已知函數y f x 有幾個零點求f x 中參數t的值或范圍問題 經常從f x 中分離出參數t g x 然后用求導的方法求出g x 的最值 再根據題意求出參數t的值或范圍 考向一 考向二 考向三 對點訓練3已知函數f x 2lnx x2 ax a R 1 當a 2時 求f x 的圖象在x 1處的切線方程 2 若函數g x f x ax m在上有兩個零點 求實數m的取值范圍 切線的斜率k f 1 2 則切線方程為y 1 2 x 1 即y 2x 1 當1 x e時 g x 0 故g x 在x 1處取得極大值g 1 m 1 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解題策略二分類討論法例4已知函數f x ae2x a 2 ex x 1 討論f x 的單調性 2 若f x 有兩個零點 求a的取值范圍 難點突破 2 由 1 得a 0及a 0時f x 的單調性 依據f x 的單調性研究其零點 由a 0 f x 在 單調遞減 f x 至多有一個零點 由a 0時f x 的單調性 易求f x 的最小值 當f x min 0才會有兩個零點 考向一 考向二 考向三 解 1 f x 的定義域為 f x 2ae2x a 2 ex 1 aex 1 2ex 1 若a 0 則f x 0 則由f x 0得x lna 當x lna 時 f x 0 所以f x 在 lna 單調遞減 在 lna 單調遞增 2 若a 0 由 1 知 f x 至多有一個零點 若a 0 由 1 知 當x lna時 f x 取得最小值 即f lna 0 故f x 沒有零點 考向一 考向二 考向三 又f 2 ae 4 a 2 e 2 2 2e 2 2 0 故f x 在 lna 有一個零點 綜上 a的取值范圍為 0 1 解題心得在已知函數零點個數的情況下 求參數的范圍問題 通常采用分類討論法 依據題目中的函數解析式的構成 將參數分類 在參數的小范圍內研究函數零點的個數是否符合題意 將滿足題意的參數的各個小范圍并在一起 即為所求參數范圍 考向一 考向二 考向三 對點訓練4 2018全國 理21 已知函數f x ex ax2 1 若a 1 證明 當x 0時 f x 1 2 若f x 在 0 只有一個零點 求a 解 1 當a 1時 f x 1等價于 x2 1 e x 1 0 設函數g x x2 1 e x 1 則g x x2 2x 1 e x x 1 2e x 當x 1時 g x 0 所以g x 在 0 單調遞減 而g 0 0 故當x 0時 g x 0 即f x 1 考向一 考向二 考向三 2 設函數h x 1 ax2e x f x 在 0 只有一個零點當且僅當h x 在 0 只有一個零點 i 當a 0時 h x 0 h x 沒有零點 ii 當a 0時 h x ax x 2 e x 當x 0 2 時 h x 0 所以h x 在 0 2 單調遞減 在 2 單調遞增 考向一 考向二 考向三 故h x 在 2 4a 有一個零點 因此h x 在 0 有兩個零點 考向一 考向二 考向三 與函數零點有關的證明問題解題策略等價轉換后構造函數證明例5設函數f x x2 alnx g x a 2 x 1 求函數f x 的單調區(qū)間 2 若函數F x f x g x 有兩個零點x1 x2 求滿足條件的最小正整數a的值 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 當a 0時 f x 0在 0 上恒成立 所以f x 單調遞增區(qū)間為 0 此時f x 無單調減區(qū)間 考向一 考向二 考向三 所以存在a0 2 3 h a0 0 當a a0時 h a 0 所以滿足條件的最小正整數a 3 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解題心得證明與零點有關的不等式 函數的零點本身就是一個條件 即零點對應的函數值為0 證明的思路一般對條件等價轉化 構造合適的新函數 利用導數知識探討該函數的性質 如單調性 極值情況等 再結合函數圖象來解決 因為t 0 所以m t 0 當且僅當t 1時 m t 0 所以m t 在 0 上是增函數 又m 1 0 所以當t 0 1 m t 0總成立 所以原題得證 考向一 考向二 考向三 對點訓練5已知函數f x x 2 ex a x 1 2有兩個零點 1 求a的取值范圍 2 設x1 x2是f x 的兩個零點 證明 x1 x2 2 1 解 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 若a 0 則f x x 2 ex f x 只有一個零點 若a 0 則當x 1 時 f x 0 所以f x 在 1 內單調遞減 在 1 內單調遞增 考向一 考向二 考向三 若a 0 由f x 0得x 1或x ln 2a 故當x 1 時 f x 0 因此f x 在 1 內單調遞增 又當x 1時 f x 0 所以f x 不存在兩個零點 故當x 1 ln 2a 時 f x 0 因此f x 在 1 ln 2a 內單調遞減 在 ln 2a 內單調遞增 又當x 1時f x 0 所以f x 不存在兩個零點 綜上 a的取值范圍為 0 考向一 考向二 考向三 2 證明 不妨設x1f 2 x2 即f 2 x2 1時 g x 1時 g x 0 從而g x2 f 2 x2 0 故x1 x2 2