2019高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.5 二項(xiàng)式定理課件 北師大版選修2-3.ppt

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5二項(xiàng)式定理 一 二 一 二 名師點(diǎn)撥1 一個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式的某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與這一項(xiàng)的系數(shù) 二項(xiàng)式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積 是兩個(gè)不同的概念 二項(xiàng)式系數(shù)一定為正值 而項(xiàng)的系數(shù)既可以是正值也可以是負(fù)值 還可以是0 一 二 答案 2 一 二 二 二項(xiàng)式系數(shù)表當(dāng)n依次取1 2 3 時(shí) a b n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)如圖所示 上圖所示的表叫作二項(xiàng)式系數(shù)表 在二項(xiàng)式系數(shù)表中 有如下兩個(gè)結(jié)論 一 二 一 二 名師點(diǎn)撥1 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù) 中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù) 中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大 一 二 一 二 思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確 正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打 錯(cuò)誤的打 1 二項(xiàng)式定理中字母a b的順序是可以任意變換的 2 二項(xiàng)式系數(shù) 與 二項(xiàng)式的展開(kāi)式系數(shù) 可以相等 3 a b n的展開(kāi)式第5項(xiàng)是 4 1 x n中 令x 1可得展開(kāi)式的所有項(xiàng)系數(shù)和為2n 5 a b n的展開(kāi)式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a b無(wú)關(guān) 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例1 1 求的展開(kāi)式 2 化簡(jiǎn) x 1 5 5 x 1 4 10 x 1 3 10 x 1 2 5 x 1 分析 1 可直接用二項(xiàng)式定理展開(kāi)或先對(duì)括號(hào)內(nèi)式子化簡(jiǎn)再展開(kāi) 2 分析式子的結(jié)構(gòu)形式 逆用二項(xiàng)式定理求解 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 形式簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式展開(kāi)時(shí)可直接利用二項(xiàng)式定理展開(kāi) 對(duì)于形式較復(fù)雜的二項(xiàng)式 在展開(kāi)之前可以根據(jù)二項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行必要的變形 然后再展開(kāi) 以使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化 記準(zhǔn) 記熟二項(xiàng)式 a b n的展開(kāi)式是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)的問(wèn)題的前提 2 逆用二項(xiàng)式定理更要注意二項(xiàng)展開(kāi)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn) 如果項(xiàng)的系數(shù)是正負(fù)相間 則是 a b n的形式 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例2 已知在的展開(kāi)式中 第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng) 求 1 n的值 2 展開(kāi)式中x5的系數(shù) 3 含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)的個(gè)數(shù) 分析先根據(jù)通項(xiàng)確定n的值 再根據(jù)特定項(xiàng)的特征逐一求解 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 在通項(xiàng)公式五個(gè)元素 只要知道其中四個(gè)就可以求出第五個(gè) 同時(shí)注意冪指數(shù)n是正整數(shù) r是自然數(shù) 且r n 在未知r n的情況下 用通項(xiàng)公式解題 一般都需要先將通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為方程 組 求出r n 再代入通項(xiàng)公式求解 2 利用通項(xiàng)公式可以解決以下問(wèn)題 1 求指定項(xiàng) 2 求特征項(xiàng) 如常數(shù)項(xiàng) 即字母的次數(shù)為零 有理項(xiàng) 即字母的次數(shù)為整數(shù)等 3 求指定項(xiàng) 特征項(xiàng)的系數(shù) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 答案 1 B 2 D 3 15 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例3 設(shè) 求下列各式的值 1 a0 2 a1 a2 a3 a4 a100 3 a1 a3 a5 a99 4 a0 a2 a100 2 a1 a3 a99 2 5 a0 a1 a100 探究一 探究二 探究三 思維辨析 分析要求常數(shù)項(xiàng)a0只需令x 0即可 而要求除了常數(shù)項(xiàng)a0之外的其他項(xiàng)的系數(shù)和 則令x 1求得所有項(xiàng)的系數(shù)和 由a1 a3 a5 a7對(duì)應(yīng)的x的指數(shù)冪都是奇數(shù) 剩下各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的x的指數(shù)冪都是偶數(shù) 分別令x 1 x 1 可區(qū)別指數(shù)冪為奇數(shù)或偶數(shù)的項(xiàng) a0 a1 a100 只要根據(jù)a0 a1 a2 a100的正負(fù)去絕對(duì)值號(hào) 再進(jìn)行求解 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式 對(duì)于a b的一切值都成立 因此 可將a b設(shè)定為一些特殊的值 在使用賦值法時(shí) 令a b等于多少 應(yīng)就具體情況而定 有時(shí)取 1 有時(shí)取 1 也有時(shí)要取其他值 一般地 若f x a0 a1x a2x2 anxn 則f x 展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練3已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a1 a2 a7 解 1 令x 0可得 1 0 7 a0 則a0 1 令x 1可得 1 2 1 7 a0 a1 a2 a7 即a0 a1 a2 a7 1 7 1 所以a1 a2 a7 1 a0 2 2 由 1 得x 1時(shí) a0 a1 a2 a7 1 7 1 令x 1得a0 a1 a2 a7 1 2 7 37 得2 a1 a3 a5 a7 1 37 3 a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 37 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)混淆而致誤 典例 設(shè) x n展開(kāi)式中 第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的系數(shù)之比為1 2 試求含x2的項(xiàng) 易錯(cuò)分析二項(xiàng)式中二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)及某一項(xiàng)這些不同的概念容易混淆而致誤 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 1 2 3 4 1 化簡(jiǎn) x 1 4 4 x 1 3 6 x 1 2 4 x 1 1得 A x4B x 1 4C x 1 4D x5解析原式 x 1 1 4 x4 故選A 答案A 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 3 在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中 各項(xiàng)系數(shù)之和為A 各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為B 且A B 72 則n 解析 賦值法 由題意可知 B 2n 令x 1 得A 4n 由A B 72 得4n 2n 72 即2n 8 n 3 答案3 5 1 2 3 4 答案 40 5 1 2 3 4 5 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a1 a2 a7 5 解 1 令x 0可得 1 0 7 a0 則a0 1 令x 1可得 1 2 1 7 a0 a1 a2 a7 即a0 a1 a2 a7 1 7 1 所以a1 a2 a7 1 a0 2 2 由 1 得x 1時(shí) a0 a1 a2 a7 1 7 1 令x 1得a0 a1 a2 a7 1 2 7 37 得2 a1 a3 a5 a7 1 37 3 a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 37 1 2 3 4 5