中考數學總復習 第一篇 知識 方法 固基 第五單元 四邊形 考點強化練21 矩形、菱形、正方形試題.doc
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考點強化練21 矩形、菱形、正方形 夯實基礎 1. (xx山東臨沂)在△ABC中,點D是邊BC上的點(與B,C兩點不重合),過點D作DE∥AC,DF∥AB,分別交AB,AC于E,F兩點,下列說法正確的是( ) A.若AD⊥BC,則四邊形AEDF是矩形 B.若AD垂直平分BC,則四邊形AEDF是矩形 C.若BD=CD,則四邊形AEDF是菱形 D.若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是菱形 答案D 解析若AD⊥BC,無法判定四邊形AEDF是矩形,所以A錯誤;若AD垂直平分BC,可以判定四邊形AEDF是菱形,所以B錯誤;若BD=CD,無法判定四邊形AEDF是菱形,所以C錯誤;若AD平分∠BAC,則∠EAD=∠FAD=∠ADF,所以AF=DF,又因為四邊形AEDF是平行四邊形,所以四邊形AEDF是菱形,故D正確. 2.(xx合肥四十五中模擬)在?ABCD中,AB=10,BC=14,E、F分別為邊BC、AD上的點.若四邊形AECF為正方形,則AE的長為( ) A.7 B.4或10 C.5或9 D.6或8 答案D 解析 據題意畫圖,設AE的長為x,根據正方形的性質可得BE=14-x,在△ABE中,根據勾股定理可得x2+(14-x)2=102,解得x1=6,x2=8.故AE的長為6或8.故選D. 3. (xx浙江衢州)如圖,矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=6,將△ABC沿AC折疊,使點B落在點E處,CE交AD于點F,則DF的長等于( ) A.35 B.53 C.73 D.54 答案B 解析設DF=x,則CF=AF=6-x,由勾股定理有x2+42=(6-x)2,解得x=53. 4. (xx陜西)如圖,在菱形ABCD中,點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA的中點,連接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,則下列結論正確的是( ) A.AB=2EF B.AB=2EF C.AB=3EF D.AB=5EF 答案D 解析 連接AC,BD,交于點O.∵E,F分別為AB,BC的中點,∴EF=12AC.∵四邊形ABCD為菱形,∴AO=12AC,AC⊥BD.∴EF=AO.同理:EH=BO.∵EH=2EF.∴BO=2AO.在Rt△ABO中,設AO=x,則BO=2x.∴AB=x2+(2x)2=5x=5AO.∴AB=5EF,故選D. 5. (xx合肥廬陽區(qū)一模)如圖,已知菱形ABCD的周長為16,面積為83,E為AB的中點,若P為對角線BD上一動點,則EP+AP的最小值為( ) A.2 B.23 C.4 D.43 ?導學號16734128? 答案B 解析 如圖作CE⊥AB于E,交BD于P,連接AC、AP.∵菱形ABCD的周長為16,面積為83,∴AB=BC=4,ABCE=83,∴CE=23.在Rt△BCE中,BE=42-(23)2=2,∵BE=EA=2,∴E與E重合,∵四邊形ABCD是菱形,∴BD垂直平分AC,∴A、C關于BD對稱,∴當P與P重合時,PA+PE的值最小,最小值為CE的長,即為23,故選B. 6. (xx合肥瑤海區(qū)模擬)如圖,在平面直角坐標系中,四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60,且點A的坐標為(4,0),若E是AD的中點,則點E的坐標為 . 答案(2,-23) 解析過E作EF∥AC,交BD于F,EG∥BD,交AC于G, ∵E是AD的中點, ∴G是AO的中點,F是OD的中點. ∵點A的坐標為(4,0), ∴點G(2,0).由菱形的性質,知AC⊥BD,∠ADB=∠CDB. ∵∠ABC=60, ∴∠ADB=30. ∴OD=3OA=43. ∴OF=12OD=23. ∴E(2,-23). 7. (xx貴州銅仁)如圖,Rt△ABC中,∠C=90,AC=3,BC=4,D是AB上一點,DE⊥AC于點E,DF⊥BC于點F,邊接EF,則EF的最小值為 . 答案2.4 解析 如圖,連接CD. ∵∠C=90,AC=3,BC=4, ∴AB=32+42=5, ∵DE⊥AC,DF⊥BC,∠C=90, ∴四邊形CFDE是矩形,∴EF=CD. 由垂線段最短可得CD⊥AB時,線段EF的值最小,此時,S△ABC=12BCAC=12ABCD, 即1243=125CD,解得CD=2.4, ∴EF=2.4. 8. (xx山東青島)已知:如圖,在菱形ABCD中,點E,O,F分別是邊AB,AC,AD的中點,連接CE,CF,OF,OE. (1)求證:△BCE≌△DCF; (2)當AB與BC滿足什么條件時,四邊形AEOF是正方形?請說明理由. (1)證明∵四邊形ABCD為菱形, ∴AB=BC=CD=DA,∠B=∠D. 又E,F分別是AB,AD中點, ∴BE=DF. ∴△BCE≌△DCF(SAS). (2)解若AB⊥BC,則AEOF為正方形,理由如下: ∵E,O分別是AB,AC中點,∴EO∥BC, 又BC∥AD,∴OE∥AD,即OE∥AF. 同理可證OF∥AE,∴四邊形AEOF為平行四邊形,由(1)可得AE=AF, ∴平行四邊形AEOF為菱形. ∵BC⊥AB,∴∠BAD=90, ∴菱形AEOF為正方形. 提升能力 9. (xx山東濱州)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點E,F分別在BC,CD上,若AE=5,∠EAF=45,則AF的長為 . 答案4103 解析取AD、BC中點M、N, 由AD=4,AB=2,易得ABNM是正方形,連接MN,EH,由∠HAE=45,四邊形ABNM是正方形,可知此處有典型的正方形內“半角模型”,故有EH=MH+BE.由AB=2,AE=5,易知BE=1,所以EN=BN-BE=2-1=1.設MH=x,由M是AD中點,△AMH∽△ADF可知,DF=2MH=2x,HN=2-x,EH=MH+BE=x+1,在Rt△EHN中有EN2+HN2=EH2,故12+(2-x)2=(x+1)2,解得x=23,故DF=43,故AF=AD2+DF2=4103. 10. (xx江蘇揚州)如圖,在平行四邊形ABCD中,DB=DA,點F是AB的中點,連接DF并延長,交CB的延長線于點E,連接AE. (1)求證:四邊形AEBD是菱形; (2)若DC=10,tan∠DCB=3,求菱形AEBD的面積. (1)證明∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AD∥CE,∴∠DAF=∠EBF. ∵∠AFD=∠BFE,AF=FB, ∴△AFD≌△BFE,∴AD=EB. ∵AD∥EB,∴四邊形AEBD是平行四邊形. ∵BD=AD,∴四邊形AEBD是菱形. (2)解∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴CD=AB=10,AB∥CD, ∴∠ABE=∠DCB. ∴tan∠ABE=tan∠DCB=3. ∵四邊形AEBD是菱形, ∴AB⊥DE,AF=FB,EF=DF, ∴tan∠ABE=EFBF=3. ∵BF=102,∴EF=3102,∴DE=310. ∴S菱形AEBD=12ABDE=1210310 =15.?導學號16734129? 11.(xx安徽)如圖,正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線l1、l2、l3、l4上,這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0). (1)求證:h1=h3; (2)設正方形ABCD的面積為S,求證:S=(h2+h1)2+h12; (3)若32h1+h2=1,當h1變化時,說明正方形ABCD的面積為S隨h1的變化情況. (1)證明過A點作AF⊥l3分別交l2、l3于點E、F,過C點作CH⊥l2分別交l2、l3于點H、G, ∵四邊形ABCD是正方形,l1∥l2∥l3∥l4, ∴AB=CD,∠ABE+∠HBC=90, ∵CH⊥l2,∴∠BCH+∠HBC=90, ∴∠BCH=∠ABE, ∵∠BCH=∠CDG,∴∠ABE=∠CDG, ∵∠AEB=∠CGD=90, 在△ABE和△CDG中,∠ABE=∠CDG,∠AEB=∠CGD,AB=CD, ∴△ABE≌△CDG(AAS), ∴AE=CG,即h1=h3. (2)證明∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=DA, ∵∠AEB=∠DFA=∠BHC=∠CGD=90,∠ABE=∠FAD=∠BCH=∠CDG, ∴△AEB≌△DAF≌△BHC≌△CGD,且兩直角邊長分別為h1、h1+h2, ∴四邊形EFGH是邊長為h2的正方形, ∴S=412h1(h1+h2)+h22=2h12+2h1h2+h22=(h1+h2)2+h12. (3)解由題意,得h2=1-32h1, 所以S=h1+1-32h12+h12=54h12-h1+1=54h1-252+45, 又h1>0,1-32h1>0,解得0
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