2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.2 演繹推理講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc

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2．1.2　演繹推理 看下面兩個(gè)問(wèn)題： (1)?是任意非空集合的真子集，A是非空集合，所以?是集合A的真子集； (2)循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，0.33是循環(huán)小數(shù)，所以0.33是有理數(shù)． 問(wèn)題1：這兩個(gè)問(wèn)題中的第一句都說(shuō)明什么？ 提示：都說(shuō)的一般原理． 問(wèn)題2：第二句又說(shuō)什么？ 提示：都說(shuō)的特殊示例． 問(wèn)題3：第三句呢？ 提示：由一般原理對(duì)特殊示例作出判斷． 1．演繹推理 含義 由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法． 特點(diǎn) (1)演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的個(gè)別、特殊事實(shí)，結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中． (2)在演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系． (3)演繹推理是一種收斂性的思維方法，它缺少創(chuàng)造性，但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用，有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化. 2．三段論 一般模式 常用格式 大前提 提供了一個(gè)一般性的原理 M是P 小前提 指出了一個(gè)特殊對(duì)象 S是M 結(jié)論 揭示了一般原理與特殊對(duì)象的內(nèi)在聯(lián)系 S是P 1．演繹推理是由一般到特殊的推理，一種必然性的推理，這決定了演繹推理的結(jié)論不會(huì)超出前提所界定的范圍，所以其前提與結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的． 2．三段論中大前提是一個(gè)一般性結(jié)論，是共性，小前提是指其中的一個(gè)，結(jié)論為這一個(gè)也具有大前提中的結(jié)論．要得到一個(gè)正確的結(jié)論，大前提和小前提都必須正確，二者中有一個(gè)錯(cuò)誤，結(jié)論就不正確． 把演繹推理寫成三段論 [例1]　將下面的演繹推理寫成三段論的形式： (1)所有橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1)，曲線C：＋y2＝1是橢圓，所以曲線C的離心率e的取值范圍為(0,1)． (2)等比數(shù)列的公比都不為零，數(shù)列{2n}(n∈N*)是等比數(shù)列，所以數(shù)列{2n}的公比不為零． [思路點(diǎn)撥]　這種類型的題目只要明確各推理案例中的大前提、小前提與結(jié)論即可． [精解詳析]　(1)大前提：所有橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1)． 小前提：曲線C：＋y2＝1是橢圓． 結(jié)論：曲線C的離心率e的取值范圍為(0,1)． (2)大前提：等比數(shù)列的公比都不為零． 小前提：數(shù)列{2n}(n∈N*)是等比數(shù)列． 結(jié)論：數(shù)列{2n}的公比不為零． [一點(diǎn)通]　演繹推理的重要形式是三段論，分清大前提、小前提和結(jié)論是解題的關(guān)鍵．大前提是給出一般性的原理，小前提是指出特殊對(duì)象，結(jié)論是體現(xiàn)一般性原理與特殊對(duì)象的內(nèi)在聯(lián)系的必然結(jié)果． 1．用三段論的形式寫出下列演繹推理． (1)菱形的對(duì)角線相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的對(duì)角線相互垂直． (2)若兩角是對(duì)頂角，則此兩角相等，所以若兩角不是對(duì)頂角，則此兩角不相等． (3)0.332是有理數(shù)． (4)y＝sin x(x∈R)是周期函數(shù)． 解：(1)因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線相互垂直，(大前提) 正方形是菱形，(小前提) 所以正方形的對(duì)角線相互垂直．(結(jié)論) (2)如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等，(大前提) ∠1和∠2不是對(duì)頂角，(小前提) 所以∠1和∠2不相等．(結(jié)論) (3)因?yàn)樗械挠邢扌?shù)是有理數(shù)，(大前提) 0．332是有限小數(shù)，(小前提) 所以0.332是有理數(shù)．(結(jié)論) (4)因?yàn)槿呛瘮?shù)是周期函數(shù)，(大前提) y＝sin x(x∈R)是三角函數(shù)，(小前提) 所以y＝sin x是周期函數(shù)．(結(jié)論) 2．指出下列各演繹推理中的大前提、小前提，并判斷結(jié)論是否正確． (1)a∥b一定有a＝λb(λ∈R)，向量c與向量d平行，所以c＝λd. (2)指數(shù)函數(shù)y＝ax(01)是增函數(shù)，y＝xα(α>1)是指函數(shù)，所以y＝xα(α>1)是增函數(shù)”，在以上演繹推理中，下列說(shuō)法正確的命題序號(hào)是________． ①推理完全正確　②大前提不正確?、坌∏疤岵徽_?、芡评硇问讲徽_ 解析：∵y＝xα(α>1)是冪函數(shù)，而不是指數(shù)函數(shù)，∴小前提錯(cuò)誤． 答案：③ 3．“公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為關(guān)于n的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，{bn}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋3n.所以{bn}為等差數(shù)列”．上述推理中，下列說(shuō)法正確的序號(hào)是________． ①大前提錯(cuò)誤?、谛∏疤徨e(cuò)誤　③結(jié)論錯(cuò)誤?、苷_ 解析：該推理過(guò)程中，大前提、小前提、結(jié)論都正確． 答案：④ 4．三段論“①只有船準(zhǔn)時(shí)起航，才能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港，②這艘船是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港的，③這艘船是準(zhǔn)時(shí)起航的．”中的小前提是序號(hào)________． 解析：該推理的大前提是①，小前提是③，結(jié)論是②. 答案：③ 5．α<0，冪函數(shù)y＝xα的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，y＝x－2是冪函數(shù)，由“三段論”可得結(jié)論________． 解析：“三段論”的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的特殊事實(shí)，結(jié)合大前提，小前提可得答案． 答案：y＝x－2的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù) 二、解答題 6．將下面的演繹推理寫成三段論的形式： (1)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100℃，所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃時(shí)，水會(huì)沸騰． (2)兩直線平行，同位角相等，如果∠A與∠B是兩平行直線被第三條直線所截而成的同位角，則∠A＝∠B. 解：(1)大前提：在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100℃， 小前提：在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃， 結(jié)論：水會(huì)沸騰． (2)大前提：兩條直線平行，同位角相等． 小前提：∠A與∠B是兩平行直線被第三條直線所截而成的同位角． 結(jié)論：∠A＝∠B. 7．已知函數(shù)f(x)＝(ax－a－x)，其中a＞0，且a≠1. (1)判斷函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上的單調(diào)性，并加以證明； (2)判斷f(2)－2與f(1)－1，f(3)－3與f(2)－2的大小關(guān)系，由此歸納出一個(gè)更一般的結(jié)論，并加以證明． 解：(1)由已知得f′(x)＝(ax＋a－x)＞0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)． (2)f(2)－2＞f(1)－1，f(3)－3＞f(2)－2. 一般的結(jié)論：f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(n∈N*)． 證明如下： 上述不等式等價(jià)于f(n＋1)－f(n)＞1，即＞1， 化簡(jiǎn)得(an＋1－1)(an－1)＞0， 在a＞0且a≠1的條件下，(an＋1－1)(an－1)＞0顯然成立， 故f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(n∈N*)成立． 8．已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列．lg a1、lg a2、lg a4成等差數(shù)列，又bn＝(n＝1,2,3，…)．證明：{bn}為等比數(shù)列． 證明：∵lg a1、lg a2、lg a4成等差數(shù)列， ∴2lg a2＝lg a1＋lg a4，即a＝a1a4. 若{an}的公差為d， 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2， 從而d(d－a1)＝0. ①若d＝0，{an}為常數(shù)列，相應(yīng){bn}也是常數(shù)列，此時(shí){bn}是首項(xiàng)為正數(shù)，公比為1的等比數(shù)列． ②若d＝a1≠0， 則a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，bn＝＝. 這時(shí){bn}是首項(xiàng)b1＝，公比為的等比數(shù)列． 綜上，{bn}為等比數(shù)列．