2018-2019學年高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.1（第一課時）歸納推理講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc

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2．1.1　合情推理 第一課時　歸納推理 問題1：我們知道銅、鐵、鋁、金、銀都是金屬，它們有何物理性質(zhì)？ 提示：都能導電． 問題2：由問題1你能得出什么結論？ 提示：一切金屬都能導電． 問題3：最近中國健康報報道了人的血壓和年齡一組數(shù)據(jù)，先觀察表中數(shù)據(jù)的特點，用適當?shù)臄?shù)填入表中. 年齡(歲) 30 35 40 45 50 55 60 65 收縮壓(水銀柱/毫米) 110 115 120 125 130 135 145 舒張壓(水銀柱/毫米) 70 73 75 78 80 83 88 提示：140　85 問題4：由問題3中的數(shù)據(jù)你還能得出什么結論？ 提示：隨著人的年齡增長，人的血壓在增高． 問題5：數(shù)列{an}的前五項為1,3,5,7,9試寫出an. 提示：an＝2n－1(n∈N*)． 1．推理 (1)推理的定義 從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理． (2)推理的組成 任何推理都包含前提和結論兩個部分，前提是推理所依據(jù)的命題，它告訴我們已知的知識是什么；結論是根據(jù)前提推得的命題，它告訴我們推出的知識是什么． 2．歸納推理 (1)歸納推理的定義 從個別事實中推演出一般性的結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理． (2)歸納推理的思維過程如圖 →→ (3)歸納推理的特點 ①歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結論超越了前提所包容的范圍． ②由歸納推理得到的結論具有猜測的性質(zhì)，結論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗，因此，它不能作為數(shù)學證明的工具． ③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題． 1．歸納推理是從特殊到一般，具體到抽象的推理形式．因此，由歸納得到的結論超越了前提所包容的范圍． 2．歸納是根據(jù)若干已知的條件(現(xiàn)象)推斷未知結論(現(xiàn)象)，因而，結論(現(xiàn)象)具有猜測的性質(zhì)． 3．歸納的前提是特殊現(xiàn)象，歸納是立足于觀察、經(jīng)驗或實驗的基礎上的． 4．觀察和實驗是進行歸納推理的最基本條件，是歸納推理的基礎，通過觀察和實驗，為知識的總結和歸納提供依據(jù)． 5．由歸納推理所得到的結論未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具體到抽象的認識功能，對于科學的發(fā)現(xiàn)卻是十分有用的，是進行科學研究的最基本的方法之一． 歸納推理在數(shù)列中的應用 [例1]　已知數(shù)列{an}的第1項a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2，…)，求出a2，a3，a4，并推測an. [思路點撥]　數(shù)列的通項公式表示的是數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的對應關系，根據(jù)已知的遞推公式，求出數(shù)列的前幾項，觀察出n與an的關系即可解決． [精解詳析]　當n＝1時，a1＝1； 當n＝2時，a2＝＝； 當n＝3時，a3＝＝； 當n＝4時，a4＝＝. 觀察可得，數(shù)列的前4項等于相應序號的倒數(shù)．由此猜想，這個數(shù)列的通項公式為 an＝. [一點通]　在求數(shù)列的通項與前n項和時，經(jīng)常用歸納推理得出結論．這就需要在進行歸納推理時要先轉化為一個統(tǒng)一的形式，分出變化部分和不變部分，重點分析變化規(guī)律與n的關系，往往會較簡捷地獲得結論． 1．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝.求出a1，a2，a3，a4，并推測an. 解：∵Sn＝，∴a1＝，∴a＝1. 又∵an>0，∴a1＝1； a1＋a2＝，即1＋a2＝，∴a2＝－1； a1＋a2＋a3＝， 即＋a3＝，∴a3＝－； a1＋a2＋a3＋a4＝， ∴＋a4＝，∴a4＝2－； 觀察可得，an＝－. 2．已知數(shù)列{an}中，a2＝6，＝n. (1)求a1，a3，a4； (2)猜想數(shù)列{an}的通項公式． 解：(1)由a2＝6，＝1，得a1＝1. 由＝2，得a3＝15. 由＝3，得a4＝28. 故a1＝1，a3＝15，a4＝28. (2)由a1＝1＝1(21－1)； a2＝6＝2(22－1)； a3＝15＝3(23－1)； a4＝28＝4(24－1)， … 猜想an＝n(2n－1)． 歸納推理在不等式中的應用 [例2]　對任意正整數(shù)n，試歸納猜想2n與n2的大小關系． [思路點撥]　→→→ [精解詳析]　當n＝1時，21>12； 當n＝2時，22＝22； 當n＝3時，23<32； 當n＝4時，24＝42； 當n＝5時，25>52； 當n＝6時，26>62. 歸納猜想，當n＝3時，2n43； n＝4時，45>54，n＝5時；56>65. 據(jù)此猜想，當n<3時，nn＋1<(n＋1)n， n≥3時，nn＋1>(n＋1)n. 歸納推理在圖形推理中的應用 [例3]　古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，如圖： 由于圖中1,3,6,10這些數(shù)能夠表示成三角形，故被稱為三角形數(shù)，試結合組成三角形的數(shù)的特點，歸納第n個三角形數(shù)． [思路點撥]　將1,3,6,10分別寫成，，，，據(jù)此可完成本題的求解． [精解詳析]　觀察項與項數(shù)的關系特點如下： 項 1 2 3 4 項數(shù) 分析：項的各分母均為2，分子分別為相應項數(shù)與相應項數(shù)與1和的積． 歸納：第n個三角形數(shù)應為(n∈N*)． [一點通]　此類圖形推理問題涉及的圖形構成的元素一般為點．題目類型為已知幾個圖形，圖形中元素的數(shù)量呈現(xiàn)一定的變化，這種數(shù)量變化存在著簡單的規(guī)律性，如點的數(shù)目的遞增關系或遞減關系，依據(jù)此規(guī)律求解問題，一般需轉化為求數(shù)列的通項公式或前n項和等． 5．下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖： 設第n個圖有an個樹枝，則an＋1與an(n≥1)之間的關系是________________． 解析：由圖可得，第一個圖形有1根樹枝，a1＝1， 第2個圖形有3根樹枝，即a2＝3，同理可知： a3＝7, a4＝15，a5＝31. 歸納可知：a2＝3＝21＋1＝2a1＋1， a3＝7＝23＋1＝2a2＋1， a4＝15＝27＋1＝2a3＋1， a5＝31＝215＋1＝2a4＋1， 由歸納推理可猜測：an＋1＝2an＋1. 答案：an＋1＝2an＋1 6．根據(jù)下圖中5個圖形及相應點的個數(shù)的變化規(guī)律，試猜想第n個圖中點的個數(shù). 解析：圖中點的個數(shù)依次為：1,3,7,13,21. 又1＝1＋01；3＝1＋12；7＝1＋23,13＝1＋34,21＝1＋45. 結合項數(shù)與項的關系猜想第n個圖中點的個數(shù)為：1＋(n－1)n，即為n2－n＋1(n∈N*)． 答案：n2－n＋1(n∈N*) 歸納推理在數(shù)陣中的應用 [例4]　如圖是楊輝三角的前5行，請試寫出第8行，并歸納、猜想一般規(guī)律． [思路點撥]　由楊輝三角的前5行總結各行數(shù)字的規(guī)律，由此尋找第8行的數(shù)字，整體觀察楊輝三角可得到多個有趣的規(guī)律． [精解詳析]　第8行：1 7 21 35 35 21 7 1. 一般規(guī)律： (1)每行左、右的數(shù)字具有對稱性； (2)兩斜邊的數(shù)字都是1，其余數(shù)字等于它肩上兩數(shù)字之和； (3)奇數(shù)行中間一項最大，偶數(shù)行中間兩項相等且最大． [一點通]　解決此類數(shù)陣問題時，通常利用歸納推理，其步驟如下： (1)明確各行、各列數(shù)的大??； (2)分別歸納各行、各列中相鄰兩個數(shù)的大小關系； (3)按歸納出的規(guī)律寫出一個一般性的結論． 7.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣，如圖所示，則數(shù)陣中第n(n≥3)行的從左至右的第3個數(shù)是________． 解析：第1行，第2行，第3行，…分別有1,2,3，…個數(shù)字，且每個數(shù)字前后差1，則第n－1行的最后一個數(shù)字加3即為第n(n≥3)行的從左至右的第3個數(shù)，前n－1行共有數(shù)字1＋2＋3＋…＋(n－1)＝，則第n(n≥3)行的從左至右的第3個數(shù)為＋3＝. 1 2　 4 3　 5　 7 6　 8　 10　12 9　 11　13　15　17 14 16 18 20 2224 … … … … ……… 答案： 8.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了右邊所示的三角形數(shù)表，設aij(i，j∈N*)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j行．如a42＝8，若aij＝2 009.則i和j的和為________． 解析：由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列，2 009＝21 005－1，所以2 009為第1 005個奇數(shù)，又前31個奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個數(shù)的和為961，前32個奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個數(shù)的和為1 024，故2 009在第32 個奇數(shù)行內(nèi)，所以i＝63，因為第63行的第一個數(shù)為2962－1＝1 923,2 009＝1 923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107. 答案：107 1．歸納推理的一般步驟 (1)通過觀察某類事物個別情況，發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)． (2)對這些性質(zhì)進行歸納整理，得到一個合理的結論． (3)猜想這個結論對該類事物都成立． 2．歸納推理應注意的問題 歸納推理可從具體事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但應注意，僅根據(jù)一系列有限的特殊事例，所得出的一般結論不一定可靠，其結論的正確與否，還要經(jīng)過嚴格的理論證明． 一、填空題 1．(陜西高考)觀察下列等式 (1＋1)＝21 (2＋1)(2＋2)＝2213 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23135 … 照此規(guī)律， 第n個等式可為________________． 解析：觀察規(guī)律可知，左邊為n項的積，最小項和最大項依次為(n＋1)，(n＋n)，右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n，則第n個等式為：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n135… (2n－1)． 答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n135…(2n－1) 2．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，則f2 014(x)＝________. 解析：f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x， f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x， f5(x)＝f4′(x)＝cos x，…再繼續(xù)下去會重復出現(xiàn)，周期為4， ∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x. 答案：－sin x 3．根據(jù)三角恒等變換，可得到如下等式： cos θ＝cos θ； cos 2θ＝2cos2 θ－1； cos 3θ＝4cos3 θ－3cos θ； cos 4θ＝8cos4 θ－8cos2 θ＋1； cos 5θ＝16cos5 θ－20cos3 θ＋5cos θ 依照規(guī)律猜想cos 6θ＝32cos6 θ＋mcos4 θ＋ncos2 θ－1. 則m＋n＝________. 解析：根據(jù)三角恒等變換等式可知，各項系數(shù)與常數(shù)項的和是1， 即32＋m＋n－1＝1. ∴m＋n＝－30. 答案：－30 4．已知an＝n，把數(shù)列{an}的各項排成如下的三角形： a1 a2　a3　a4 a5　a6　a7　a8　a9 …… 記A(s，t)表示第s行的第t個數(shù)，則A(11,12)＝________.　 解析：每行對應的元素個數(shù)分別為1,3,5 …，那么第10行最后一個數(shù)為a100，則第11行的第12個數(shù)為a112，即A(11,12)＝a112＝112. 答案：112 5．經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)下列不等式：＋<2，＋<2， ＋<2，…，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個對正實數(shù)a，b都成立的條件不等式：________. 解析：2＋18＝20,4.5＋15.5＝20,3＋＋17－＝20，…，即各不等式左邊兩根號內(nèi)的數(shù)之和等于20，右側均為2. 答案：當a＋b＝20，a，b∈(0，＋∞)時，有＋≤2 二、解答題 6．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…，若 ＝6(a，b均為實數(shù))，請推測a，b的值． 解：由前面三個等式，推測歸納被開方數(shù)的整數(shù)部分與分數(shù)部分的關系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律． 由三個等式，知整數(shù)部分和分數(shù)部分的分子相同， 而分母是這個分子的平方減1， 由此推測 中，a＝6，b＝62－1＝35， 即a＝6，b＝35. 7．在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線……由此猜出凸n邊形有幾條對角線？ 解：凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，比凸四邊形多3條；凸六邊形有9條對角線，比凸五邊形多4條；… 于是猜想凸n邊形的對角線條數(shù)比凸n－1邊形多n－2條對角線，由此凸n邊形對角線條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝n(n－3)(n≥4，n∈N*)． 8．觀察：①tan 10tan 20＋tan 20tan 60＋tan 60tan 10＝1； ②tan 5tan 10＋tan 10tan 75＋tan 75tan 5＝1. 由以上兩式成立且有一個從特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推廣． 解：觀察到10＋20＋60＝90，5＋10＋75＝90， 因此猜測此推廣為α＋β＋γ＝， 且α、β、γ都不為kπ＋，k∈Z， 則tan αtan β＋tan β tan γ＋tan αtan γ＝1. 證明如下：由α＋β＋γ＝得α＋β＝－γ， ∴tan(α＋β)＝tan＝cot γ. 又∵tan(α＋β)＝， ∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) ＝cot γ(1－tan αtan β)． ∴tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α ＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β ＝tan γ(1－tan αtan β)cot γ＋tan αtan β ＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.