2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 第1課時(shí) 公式二、公式三和公式四學(xué)案 新人教A版必修4.doc

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第1課時(shí)　公式二、公式三和公式四 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解公式二、公式三和公式四的推導(dǎo)方法.2.能夠準(zhǔn)確記憶公式二、公式三和公式四．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))3.掌握公式二、公式三和公式四，并能靈活應(yīng)用．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．公式二 (1)角π＋α與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．如圖131所示． 圖131 (2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α， cos(π＋α)＝－cos_α， tan(π＋α)＝tan_α. 2．公式三 (1)角－α與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱．如圖132所示． 圖132 (2)公式：sin(－α)＝－sin_α， cos(－α)＝cos_α， tan(－α)＝－tan_α. 3．公式四 (1)角π－α與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．如圖133所示． 圖133 (2)公式：sin(π－α)＝sin_α， cos(π－α)＝－cos_α， tan(π－α)＝－tan_α. 思考：(1)誘導(dǎo)公式中角α只能是銳角嗎？ (2)誘導(dǎo)公式一～四改變函數(shù)的名稱嗎？ [提示]　(1)誘導(dǎo)公式中角α可以是任意角，要注意正切函數(shù)中要求α≠kπ＋，k∈Z. (2)誘導(dǎo)公式一～四都不改變函數(shù)名稱． [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)公式二～四對(duì)任意角α都成立．(　　) (2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．(　　) (3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　) [解析]　(1)錯(cuò)誤，關(guān)于正切的三個(gè)公式中α≠kπ＋，k∈Z. (2)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)， 故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正確的． (3)因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C， 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C. [答案]　(1)　(2)　(3)√ 2．已知tan α＝3，則tan(π＋α)＝________. 3　[tan(π＋α)＝tan α＝3.] 3．求值：(1)sin＝________. (2)cos＝________. (1)　(2)－　[(1)sin＝sin＝sin＝. (2)cos＝cos＝cos＝－cos＝－.] [合 作 探 究攻 重 難] 給角求值問題 　求下列各三角函數(shù)值： (1)sin 1 320；(2)cos；(3)tan(－945). [解]　(1)法一：sin 1 320＝sin(3360＋240)＝sin 240＝sin(180＋60)＝－sin 60＝－. 法二：sin 1 320＝sin(4360－120)＝sin(－120) ＝－sin(180－60)＝－sin 60＝－. (2)法一：cos＝cos ＝cos＝cos＝－cos＝－. 法二：cos＝cos ＝cos＝－cos＝－. (3)tan(－945)＝－tan 945＝－tan(225＋2360) ＝－tan 225＝－tan(180＋45)＝－tan 45＝－1. [規(guī)律方法]　利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟 (1)“負(fù)化正”——用公式一或三來轉(zhuǎn)化； (2)“大化小”——用公式一將角化為0到360間的角； (3)“小化銳”——用公式二或四將大于90的角轉(zhuǎn)化為銳角； (4)“銳求值”——得到銳角的三角函數(shù)后求值. [跟蹤訓(xùn)練] 1．計(jì)算：(1)cos＋cos＋cos＋cos； (2)tan 10＋tan 170＋sin 1 866－sin(－606)． [解]　(1)原式＝＋ ＝＋ ＝＋＝0. (2)原式＝tan 10＋tan(180－10)＋sin(5360＋66)－sin[(－2)360＋114] ＝tan 10－tan 10＋sin 66－sin(180－66) ＝sin 66－sin 66＝0. 給值(式)求值問題 　(1)已知sin(α－360)－cos(180－α)＝m，則sin(180＋α)cos(180－α)等于(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D．－ (2)已知cos(α－75)＝－，且α為第四象限角，求sin(105＋α)的值. [思路探究]　(1) → (2)→ → (1)A　[(1)sin(α－360)－cos(180－α) ＝sin α＋cos α＝m， sin(180＋α)cos(180－α)＝sin αcos α ＝＝.] (2)∵cos(α－75)＝－＜0，且α為第四象限角， ∴sin(α－75)＝－ ＝－＝－， ∴sin(105＋α)＝sin[180＋(α－75)] ＝－sin(α－75)＝. 母題探究：1.例2(2)條件不變，求cos(255－α)的值． [解]　cos(255－α)＝cos[180－(α－75)] ＝－cos(α－75)＝. 2．將例2(2)的條件“cos(α－75)＝－”改為“tan(α－75)＝－5”，其他條件不變，結(jié)果又如何？ [解]　因?yàn)閠an(α－75)＝－5＜0，且α為第四象限角， 所以α－75是第四象限角． 由 解得或 (舍) 所以sin(105＋α)＝sin[180＋(α－75)] ＝－sin(α－75)＝. [規(guī)律方法]　解決條件求值問題的兩技巧 (1)尋找差異：解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系. (2)轉(zhuǎn)化：可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化. 提醒：設(shè)法消除已知式與所求式之間的種種差異是解決問題的關(guān)鍵. 利用誘導(dǎo)公式化簡問題 [探究問題] 1．利用誘導(dǎo)公式化簡sin(kπ＋α)(其中k∈Z)時(shí)，化簡結(jié)果與k是否有關(guān)？ 提示：有關(guān)．因?yàn)閗是奇數(shù)還是偶數(shù)不確定． 當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α； 當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α. 2．利用誘導(dǎo)公式化簡tan(kπ＋α)(其中k∈Z)時(shí)，化簡結(jié)果與k是否有關(guān)？ 提示：無關(guān)．根據(jù)公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(kπ＋α)＝tan α.(其中k∈Z) 　設(shè)k為整數(shù)，化簡： . [思路探究]　本題常用的解決方法有兩種： ①為了便于運(yùn)用誘導(dǎo)公式，必須把k分成偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論；②觀察式子結(jié)構(gòu)，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法． [解]　法一：(分類討論)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2m(m∈Z)，則原式＝＝＝＝－1； 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1. 法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)， sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)． 所以原式＝＝－1. [規(guī)律方法]　三角函數(shù)式化簡的常用方法 (1)合理轉(zhuǎn)化：①將角化成2kπα，kπα，k∈Z的形式. ②依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù). (2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù). 提醒：注意分類討論思想的應(yīng)用. [跟蹤訓(xùn)練] 2．化簡：(1)； (2). [解]　(1)原式＝＝＝－tan α. (2)原式 ＝ ＝ ＝＝－1. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．tan等于(　　) A．－　　　　　　　 B． C．－ D． C　[tan＝tan＝tan ＝tan＝－tan＝－.] 2．如果α，β滿足α＋β＝π，那么下列式子中正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；④cos α＝cos β；⑤tan α＝－tan β. A．1　　　　 B．2 C．3　　　　 D．4 C　[因?yàn)棣粒拢溅?，所以sin α＝sin(π－β)＝sin β， 故①正確，②錯(cuò)誤； cos α＝cos(π－β)＝－cos β， 故③正確，④錯(cuò)誤； tan α＝tan(π－β)＝－tan β，⑤正確．故選C.] 3．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是(　　) A． B．－ C． D． B　[因?yàn)閟in(π＋α)＝－sin α＝，所以sin α＝－. 又α是第四象限角，所以cos α＝， 所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.] 4．的值等于________． －2　[原式＝ ＝ ＝＝＝－2.] 5．化簡(1)； (2). [解]　(1) ＝ ＝＝－cos2α. (2) ＝＝－cos α.