2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 2.3.1 平面向量基本定理學(xué)案 新人教A版必修4.doc
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2.3.1 平面向量基本定理 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.了解基底的含義,理解并掌握平面向量基本定理,會(huì)用基底表示平面內(nèi)任一向量.(重點(diǎn))2.掌握兩個(gè)向量夾角的定義以及兩向量垂直的定義.(難點(diǎn))3.兩個(gè)向量的夾角與兩條直線所成的角.(易混點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1.平面向量基本定理 條件 e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量 結(jié)論 對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2 基底 不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 思考:(1)0能與另外一個(gè)向量a構(gòu)成基底嗎? (2)平面向量的基底是唯一的嗎? [提示] (1)不能.基向量是不共線的,而0與任意向量是共線的. (2)不是.平面內(nèi)任何不共線的兩個(gè)向量都可以作為基底,基底一旦確定,平面內(nèi)任何一向量都可以用這一基底唯一表示. 2.向量的夾角 條件 兩個(gè)非零向量a和b 產(chǎn)生 過(guò)程 作向量=a,=b,則∠AOB叫做向量a與b的夾角 范圍 [0,π] 特殊 情況 θ=0 a與b同向 θ=90 a與b垂直,記作a⊥b θ=180 a與b反向 [基礎(chǔ)自測(cè)] 1.思考辨析 (1)一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底.( ) (2)若e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量,則λ1e1+λ2e2(λ1,λ2為實(shí)數(shù))可以表示該平面內(nèi)所有向量.( ) (3)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),則a=c,b=d.( ) [解析] (1)錯(cuò)誤.根據(jù)基底的概念可知,平面內(nèi)不共線的向量都可以作為該平面內(nèi)向量的基底. (2)正確.根據(jù)平面向量基本定理知對(duì)平面內(nèi)任意向量都可以由向量e1,e2線性表示. (3)錯(cuò)誤.當(dāng)e1與e2共線時(shí),結(jié)論不一定成立. [答案] (1) (2)√ (3) 2.若△ABC是等邊三角形,則與的夾角的大小為_(kāi)_______. 120 [由向量夾角的定義知與的夾角與∠B互補(bǔ),大小為120.] 3.如圖231所示,向量可用向量e1,e2表示為_(kāi)_______. 圖231 4e1+3e2 [由圖可知,=4e1+3e2.] [合 作 探 究攻 重 難] 用基底表示向量 (1)D,E,F(xiàn)分別為△ABC的邊BC,CA,AB上的中點(diǎn),且=a,=b,給出下列結(jié)論: ①=-a-b;②=a+b; ③=-a+b;④=a. 其中正確的結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______. (2)如圖232,已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F(xiàn)分別是DC,AB的中點(diǎn),設(shè)=a,=b,試用a,b表示,,. 圖232 [思路探究] 用基底表示平面向量,要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平行四邊形法則. (1)①②③ [(1)如圖,=+=-b+=-b-a,①正確; =+=a+b,②正確; =+=-b-a,=+=b+(-b-a) =b-a,③正確; ④==-a,④不正確.] (2)因?yàn)镈C∥AB,AB=2DC,E,F(xiàn)分別是DC,AB的中點(diǎn), 所以==a,===b. =++ =--+ =-b-a+b=b-a. [規(guī)律方法] 用基底表示向量的三個(gè)依據(jù)和兩個(gè)“模型” (1)依據(jù):①向量加法的三角形法則和平行四邊形法則; ②向量減法的幾何意義; ③數(shù)乘向量的幾何意義. (2)模型: [跟蹤訓(xùn)練] 1.在△ABC中,=,EF∥BC,EF交AC于F,設(shè)=a,=b,則等于( ) 圖233 A.-a+b B.a(chǎn)-b C.a(chǎn)-b D.a(chǎn)+b A [∵=,∴=-. 又∵EF∥BC,∴==(-), ∴=+=-+(-) =-=-a+b.] 向量的夾角 (1)已知向量a,b,c滿足|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a,則a,b的夾角等于________. (2)若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,求a與a+b的夾角. [思路探究] 可作出平面圖形利用向量夾角定義及平面幾何知識(shí)來(lái)解決. (1)120 [作=a,=b,則c=a+b=(如圖所示), 則a,b夾角為180-∠C. ∵|a|=1,|b|=2,c⊥a, ∴∠C=60, ∴a,b的夾角為120.] (2)[解] 由向量運(yùn)算的幾何意義知a+b,a-b是以a,b為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線. 如圖,∵|a|=|b|=|a-b|, ∴∠BOA=60. 又∵=a+b,且在菱形OACB中,對(duì)角線OC平分∠BOA, ∴a與a+b的夾角是30. [規(guī)律方法] 兩向量夾角的實(shí)質(zhì)與求解方法: (1)兩向量夾角的實(shí)質(zhì):從同一起點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)非零向量構(gòu)成的不大于平角的角,結(jié)合平面幾何知識(shí)加以解決. (2)求解方法:利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合,作出兩個(gè)向量的夾角,按照“一作二證三算”的步驟求出. 提醒:尋找兩個(gè)向量的夾角時(shí)要緊扣定義中“共起點(diǎn)”這一特征,避免出現(xiàn)錯(cuò)誤. [跟蹤訓(xùn)練] 2.在△ABC中,若∠A=120,AB=AC,則與夾角的大小為_(kāi)_______. 150 [如圖所示,因?yàn)椤螦=120,AB=AC,所以∠B=30,所以與的夾角為180-∠B=150.] 平面向量基本定理的唯一 性及其應(yīng)用 [探究問(wèn)題] 若存在實(shí)數(shù)λ1,λ2,μ1,μ2及不共線的向量e1,e2,使向量a=λ1e1+λ2e2,a=μ1e1+μ2e2,則λ1,λ2,μ1,μ2有怎樣的大小關(guān)系? 提示:由題意λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,即(λ1-μ1)e1=(μ2-λ2)e2,由于e1,e2不共線,故λ1=μ1,λ2=μ2. 如圖234所示,在△OAB中,=a,=b,點(diǎn)M是AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn),點(diǎn)N是OA上靠近A的一個(gè)四等分點(diǎn).若OM與BN相交于點(diǎn)P,求. 圖234 [思路探究] 可利用=t及=+=+s兩種形式來(lái)表示,并都轉(zhuǎn)化為以a,b為基底的表達(dá)式.根據(jù)任一向量基底表示的唯一性求得s,t,進(jìn)而得. [解] =+A=+ =+(-)=a+b. 因?yàn)榕c共線, 故可設(shè)=t=a+b. 又與共線,可設(shè)=s,=+s=+s(-)=(1-s)a+sb, 所以解得 所以=a+b. 母題探究:1.將本例中“M是AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)”改為“M是AB上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)”,“點(diǎn)N是OA上靠近A的一個(gè)四分點(diǎn)”改為“N為OA的中點(diǎn)”,求BP∶PN的值. 圖235 [解]?。剑絘-b, =+=+=+(-)=+=a+b, 因?yàn)镺,P,M和B,P,N分別共線, 所以存在實(shí)數(shù)λ,μ使=λ=a-λb, =μ=a+b, 所以=+=-=a+b, 又=b,所以解得 所以=,即BP∶PN=4∶1. 2.將本例中點(diǎn)M,N的位置改為“=,N為OA中點(diǎn)”,其他條件不變,試用a,b表示. 圖236 [解] =-=-=b-a, =-=-=a-b, 因?yàn)锳,P,M三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)λ使得=λ=b-λa, 所以=+=(1-λ)a+b. 因?yàn)锽,P,N三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)μ使得=μ=a-μb, 所以=+=a+(1-μ)b. 即解得 所以=a+b. [規(guī)律方法] 1.任意一向量基底表示的唯一性的理解: 條件一 平面內(nèi)任一向量a和同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1,e2 條件二 a=λ1e1+μ1e2且a=λ2e1+μ2e2 結(jié)論 2.任意一向量基底表示的唯一性的應(yīng)用: 平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1,e2的線性組合λ1e1+λ2e2.在具體求λ1,λ2時(shí)有兩種方法: (1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理. (2)利用待定系數(shù)法,即利用定理中λ1,λ2的唯一性列方程組求解. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1.已知平行四邊形ABCD,則下列各組向量中,是該平面內(nèi)所有向量基底的是( ) A., B., C., D., D [由于,不共線,所以是一組基底.] 2.已知?ABCD中∠DAB=30,則與的夾角為( ) A.30 B.60 C.120 D.150 D [與的夾角與∠DAB互補(bǔ),其大小為180-30=150.] 3.設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),若=3,則( ) A.=-+ B.=- C.=+ D.=- A [因?yàn)椋?, 所以-=3(-)=3-3, 所以3=4-, 所以=-=-+.] 4.已知向量a,b是一組基底,實(shí)數(shù)x,y滿足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,則x-y的值為_(kāi)_______. 3 [因?yàn)閍,b是一組基底,所以a與b不共線, 因?yàn)?3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b, 所以解得 所以x-y=3.] 5.已知△ABC中,D為BC的中點(diǎn),E,F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn),若=a,=b,用a,b表示,,. 圖237 [解]?。剑剑? =a+(b-a)=a+b; =+=+=a+(b-a)=a+b; =+=+=a+(b-a)=a+b.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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