新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第8章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓學案 文 北師大版

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1、 1

2、 1 第五節(jié)　橢　圓 [考綱傳真]　1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解橢圓的簡單應用． (對應學生用書第120頁) [基礎知識填充] 1．橢圓的定義 (1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)

3、的點的集合叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距． (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0. ①若a＞c，則集合P為橢圓； ②若a＝c，則集合P為線段； ③若a＜c，則集合P為空集． 2．橢圓的標準方程和幾何性質(zhì) 標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 性 質(zhì) 范圍 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(

4、0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 軸 長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b 焦距 |F1F2|＝2c 離心率 e＝∈(0,1) a，b，c的關(guān)系 a2＝b2＋c2 [知識拓展] 1．點P(x0，y0)和橢圓的關(guān)系 (1)點P(x0，y0)在橢圓內(nèi)?＋＜1. (2)點P(x0，y0)在橢圓上?＋＝1. (3)點P(x0，y0)在橢圓外?＋＞1. 2．焦點三角形 橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的焦點三角形F1PF2中，若∠F1PF2＝θ，則S△F1PF2＝|PF1||PF2

5、|·sin θ＝·b2＝b2tan 3．過焦點垂直于長軸的弦長 橢圓過焦點垂直于長軸的半弦長為. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的集合是橢圓．(　　) (2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)．(　　) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　) (4)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)已知中

6、心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A．＋＝1　　　　　　　 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 D　[橢圓的焦點在x軸上，c＝1. 又離心率為＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3， 故橢圓的方程為＋＝1.] 3．(20xx·廣東高考)已知橢圓＋＝1(m>0)的左焦點為F1(－4,0)，則m＝ (　　) A．2 B．3 C．4　　　　　 D．9 B　[由左焦點為F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.] 4．(20xx·全國卷Ⅰ)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和

7、一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　) A．　　　　　 B． C．　　　　　 D． B　[如圖，|OB|為橢圓中心到l的距離，則|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝.] 5．橢圓＋＝1的左焦點為F，直線x＝m與橢圓相交于點A，B，當△FAB的周長最大時，△FAB的面積是__________． 3　[直線x＝m過右焦點(1,0)時，△FAB的周長最大，由橢圓定義知，其周長為4a＝8，即a＝2， 此時，|AB|＝2×＝＝3， ∴S△FAB＝×2×3＝3.] (對應學生用書第121頁) 橢圓的定

8、義與標準方程 (1)如圖8-5-1所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于點P，則點P的軌跡是(　　) 圖8-5-1 A．橢圓　 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓 (2)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(，1)，P2(－，－)，則橢圓的方程為________. 【導學號：00090290】 (3)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0

9、_____． (1)A　(2)＋＝1　(3)x2＋y2＝1　[(1)由條件知|PM|＝|PF|. ∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|. ∴P點的軌跡是以O，F(xiàn)為焦點的橢圓． (2)設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)． ∵橢圓經(jīng)過點P1，P2，∴點P1，P2的坐標適合橢圓方程． 則 ①②兩式聯(lián)立，解得 ∴所求橢圓方程為＋＝1. (3)不妨設點A在第一象限，設半焦距為c， 則F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)． ∵AF2⊥x軸，則A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0

10、|F1B|，得＝3， 設B(x0，y0)，則(－2c，－b2)＝3(x0＋c，y0)， ∴x0＝－且y0＝－， 代入橢圓x2＋＝1，得25c2＋b2＝9， ① 又c2＝1－b2， ② 聯(lián)立①②，得b2＝. 故橢圓E的方程為x2＋y2＝1.] [規(guī)律方法]　1.(1)利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件． (2)當涉及到焦點三角形有關(guān)的計算或證明時，常利用勾股定理、正(余)弦定理、橢圓定義，但一定要注意|PF1|＋|PF2|與|PF1|·|PF2|的整體代換． 2．求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定位，再定量，即

11、首先確定焦點所在的位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，若焦點位置不確定，可把橢圓方程設為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式． [變式訓練1]　(1)與圓C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且與圓C2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切的動圓圓心P的軌跡方程為________． (2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝3，則b＝________. (3)已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且|AB|＝3，則C的方程為______

12、____. 【導學號：00090291】 (1)＋＝1　(2)3　(3)＋＝1　[(1)設動圓的半徑為r，圓心為P(x，y)，則有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r. 所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|， 即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)為焦點，長軸長為10的橢圓上，得點P的軌跡方程為＋＝1. (2)由題意得|PF1|＋|PF2|＝2a， 又∠F1PF2＝60°， 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝|F1F2|2， 所以(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2， 所以3|PF1||P

13、F2|＝4a2－4c2＝4b2， 所以|PF1||PF2|＝b2， 所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝×b2×＝b2＝3，所以b＝3. (3)依題意，設橢圓C：＋＝1(a>b>0)． 過點F2(1,0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長|AB|＝3， ∴點A必在橢圓上，∴＋＝1. ① 又由c＝1，得1＋b2＝a2. ② 由①②聯(lián)立，得b2＝3，a2＝4. 故所求橢圓C的方程為＋＝1.] 橢圓的幾何性質(zhì) 　(1)(20xx·泉州質(zhì)檢)已知橢圓＋＝1的長軸在x軸上，焦距為4，則m等于(　　) A．8 B．7 C．6 D．5

14、 (2)(20xx·江蘇高考)如圖8-5-2，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點，直線y＝與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是 ________. 圖8-5-2 (1)A　(2)　[(1)∵橢圓＋＝1的長軸在x軸上， ∴解得6＜m＜10. ∵焦距為4，∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8. (2)將y＝代入橢圓的標準方程，得＋＝1， 所以x＝±a，故B，C. 又因為F(c,0)，所以＝，＝. 因為∠BFC＝90°，所以·＝0， 所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，將b2＝a2－c2代入并化簡，得a2

15、＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(負值舍去)．] [規(guī)律方法]　1.與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進行分析． 2．求橢圓離心率的主要方法有：(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解．(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解． [變式訓練2]　(1)已知橢圓＋＝1的離心率為，則k的值為(　　) A．－21 B．21 C．－或21 D．或－21 (2)過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，若∠F1PF2＝60°，則橢圓的離心率為(　　) 【導學號

16、：00090292】 A． B． C． D． (3)(20xx·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A． B． C． D． (1)D　(2)B　(3)A　[(1)當9＞4－k＞0，即－5＜k＜4時， a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k， ∴＝，解得k＝. 當9＜4－k，即k＜－5時，a＝，c2＝－k－5， ∴＝，解得k＝－21，所以k的值為或－21. (2)由題意，可設P. 因為在Rt△PF1F2中，|PF1|＝，|

17、F1F2|＝2c，∠F1PF2＝60°，所以＝.又因為b2＝a2－c2，所以c2＋2ac－a2＝0，即e2＋2e－＝0，解得e＝或e＝－，又因為e∈(0,1)，所以e＝. (3)由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心坐標為(0,0)，半徑為A． 又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， ∴圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b， ∴＝， ∴e＝＝＝＝＝. 故選A．] 直線與橢圓的位置關(guān)系 角度1　由位置關(guān)系研究橢圓的方程與性質(zhì) 　已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的半焦距為c，原點O到經(jīng)過兩點(c,0)，(0，b)的直線的距離為. 圖8-5-3 (1)求橢圓

18、E的離心率； (2)如圖8-5-3，AB是圓M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點，求橢圓E的方程． [解]　(1)過點(c,0)，(0，b)的直線方程為bx＋cy－bc＝0，則原點O到該直線的距離d＝＝， 3分 由d＝c，得a＝2b＝2 ，解得離心率＝. 5分 (2)由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2.① 依題意，圓心M(－2,1)是線段AB的中點，且|AB|＝. 易知，AB與x軸不垂直，設其方程為y＝k(x＋2)＋1， 代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0. 8分 設A(x1，

19、y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝. 從而x1x2＝8－2b2. 10分 于是|AB|＝|x1－x2| ＝＝. 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3. 故橢圓E的方程為＋＝1. 12分 角度2　由位置關(guān)系研究直線的性質(zhì) 　(20xx·全國卷Ⅱ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點(2，)在C上． (1)求C的方程． (2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值． [解]　(1)由題意有＝，

20、＋＝1， 解得a2＝8，b2＝4. 3分 所以C的方程為＋＝1. 5分 (2)證明：設直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM). 7分 將y＝kx＋b代入＋＝1，得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 9分 故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝. 于是直線OM的斜率kOM＝＝－， 即kOM·k＝－. 所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值. 12分 [規(guī)律方法]　1.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單． 2．設直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝ ＝(k為直線斜率)．