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1、
1
2、 1
第七節(jié) 拋物線
A組 基礎(chǔ)題組
1.拋物線y=4ax2(a≠0)的焦點坐標(biāo)是( )
A.(0,a) B.(a,0)
C.0,116a D.116a,0
2.(20xx課標(biāo)全國Ⅱ,5,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,曲線y=kx(k>0)與C交于點P,PF⊥x軸,則k=( )
A.12 B.1 C.32 D.2
3、
3.(20xx山西高三考前質(zhì)檢)已知拋物線C1:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線與拋物線C2:x2=-2py(p>0)交于A,B兩點,C1的焦點為F,若△FAB的面積等于1,則C1的方程是( )
A.x2=2y B.x2=2y
C.x2=y D.x2=22y
4.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為-1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的橫坐標(biāo)為3,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
A.x=1 B.x=2
C.x=-1 D.x=-2
5.已知P為拋物線y=12x2上的動點,點P在x軸上的射影為點M,點A的坐標(biāo)為6,172,
4、則|PM|+|PA|的最小值是( )
A.8 B.192 C.10 D.212
6.(20xx陜西,14,5分)若拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個焦點,則p= .?
7.已知點P在拋物線y2=4x上,且點P到y(tǒng)軸的距離與其到焦點的距離之比為12,則點P到x軸的距離為 .?
8.如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時,拱頂離水面2米,水面寬4米.水位下降1米后,水面寬 米.?
9.如圖所示,已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A、B兩點.
(1)若線段AB的中點在直線y=2上,求直線l的方程;
5、(2)若線段|AB|=20,求直線l的方程.
10.(20xx陜西商洛月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點A(4,m)在拋物線上,且|AF|=5.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在直線l,使l過點(0,1),并與拋物線交于B,C兩點,且滿足·=0?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
B組 提升題組
11.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點,Q是直線PF與C的一個交點.若=4,則|QF|=( )
6、
A.72 B.3 C.52 D.2
12.過拋物線x2=4y的焦點F作直線AB,CD與拋物線交于A,B,C,D四點,且AB⊥CD,則·+·的最大值等于( )
A.-4 B.-16 C.4 D.-8
13.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|,則l的方程為( )
A.y=x-1或y=-x+1
B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)
C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)
D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)
14.(20xx天津,14,5分)設(shè)拋物線x=2pt2,y=2pt(t為參數(shù),p>0)的
7、焦點為F,準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點A作l的垂線,垂足為B.設(shè)C72p,0,AF與BC相交于點E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面積為32,則p的值為 .?
15.(20xx廣東深圳一模)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,且傾斜角為的直線與拋物線交于A,B兩點,若弦AB的垂直平分線經(jīng)過點(0,2),則p等于 .?
16.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1
8、
答案全解全析
A組 基礎(chǔ)題組
1.C 將y=4ax2(a≠0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=14ay(a≠0),所以焦點坐標(biāo)為0,116a,所以選C.
2.D 由題意得點P的坐標(biāo)為(1,2).把點P的坐標(biāo)代入y=kx(k>0)得k=1×2=2,故選D.
3.A 由題意得F0,p2,不妨設(shè)Ap,-p2,B-p,-p2,∴S△FAB=12·2p·p=1,則p=1,即拋物線C1的方程是x2=2y,故選A.
4.C 由題可知焦點為p2,0,∴直線AB的方程為y=-x-p2,與拋物線方程聯(lián)立得y=-x-p2,y2=2px消去y,得4x2-12px+p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2
9、,y2),則x1+x2=3p.∵線段AB的中點的橫坐標(biāo)為3,∴3p2=3,∴p=2,∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.
5.B 依題意可知焦點為F0,12,準(zhǔn)線方程為y=-12,延長PM交準(zhǔn)線于點H(圖略).
則|PF|=|PH|,|PM|=|PF|-12,|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-12.
因為|PF|+|PA|≥|FA|,
又|FA|=62+172-122=10.
所以|PM|+|PA|≥10-12=192,故選B.
6.答案 22
解析 拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-p2(p>0),故直線x=-p2過雙曲線x2-y2=1的左焦點(-2,0),從而-p
10、2=-2,解得p=22.
7.答案 2
解析 設(shè)點P的坐標(biāo)為(xP,yP).
拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,根據(jù)已知條件及拋物線的定義,可知xPxP-(-1)=12?xP=1,∴yP2=4,∴|yP|=2.
則點P到x軸的距離為2.
8.答案 26
解析 建立坐標(biāo)系如圖所示.
則可設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0).
∵點(2,-2)在拋物線上,∴p=1,即拋物線方程為x2=-2y.
當(dāng)y=-3時,x=±6.
∴水位下降1米后,水面寬26米.
9.解析 (1)由已知得拋物線的焦點為F(1,0).
因為線段AB的中點在直線y=2上,所以直線l的斜率存在,設(shè)
11、直線l的斜率為k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x0,y0),則x0=x1+x22,y0=y1+y22.
由y12=4x1,y22=4x2,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
所以2y0k=4.
又y0=2,所以k=1,
故直線l的方程是y=x-1.
(2)設(shè)直線l的方程為x=my+1,與拋物線方程聯(lián)立得x=my+1,y2=4x,消去x,整理得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16(m2+1)>0.
|AB|=m2+1|y1-y2|
=m2+1·(y1+y2)2-4y1y2
=m2+1·
=4(m2+1).
12、
所以4(m2+1)=20,解得m=±2,所以直線l的方程是x=±2y+1,即x±2y-1=0.
10.解析 (1)∵點A(4,m)在拋物線上,
且|AF|=5,
∴4+p2=5,∴p=2,
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.
(2)存在.
理由:由題意可設(shè)直線l的方程為x=k(y-1)(k≠0),
代入拋物線方程,整理得y2-4ky+4k=0,
則Δ=16k2-16k>0?k<0或k>1,
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),
則y1+y2=4k,y1y2=4k,
由·=0,即x1x2+y1y2=0,得(k2+1)y1y2-k2(y1+y2)+k2=0,
則有(k2+
13、1)·4k-k2·4k+k2=0,
解得k=-4或k=0(舍去),
∴直線l存在,其方程為x+4y-4=0.
B組 提升題組
11.B ∵=4,∴點Q在線段PF上,且在兩端點之間,過Q作QM⊥l,垂足為M,由拋物線定義知|QF|=|QM|,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線l與x軸的交點為N,則|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,則|QM||FN|=|PQ||PF|,即|QM|4=34.∴|QM|=3,即|QF|=3.故選B.
12.B 依題意可得,·=-(||·||).
因為||=yA+1,||=yB+1,
所以·=-(yAyB+yA+yB+1).
設(shè)直線AB的方程為y=kx+1(k≠0
14、),
聯(lián)立x2=4y,可得x2-4kx-4=0,
所以xA+xB=4k,xAxB=-4.
所以yAyB=1,yA+yB=4k2+2.
所以·=-(4k2+4).
同理,·=-4k2+4.
所以·+·=-4k2+4k2+8≤-16.
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時等號成立.
13.C 由題意知直線l不垂直于x軸.
當(dāng)直線l的傾斜角α<時,如圖,
過A作AA1垂直準(zhǔn)線于A1,過B作BB1垂直準(zhǔn)線于B1.設(shè)直線AB與拋物線的準(zhǔn)線x=-1交于點C.由拋物線的定義可設(shè)|BF|=|BB1|=t,則|AF|=|AA1|=3t.作BB2垂直AA1于B2,易知△AB2B∽△BB1C,∴|BC||AB
15、|=|BB1||AB2|,則有|BC|4t=12,∴|BC|=2t,∴∠B1CB=,∴直線l的傾斜角α=.
當(dāng)傾斜角α>時,由對稱性可知α=23π.
∴直線l的傾斜角α=或23π.
又F(1,0),∴直線l的方程為y=3(x-1)或y=-3(x-1).故選C.
14.答案 6
解析 由已知得拋物線的方程為y2=2px(p>0),則|FC|=3p,∴|AF|=|AB|=32p,A(p,2p)(不妨設(shè)A在第一象限).易證△EFC∽△EAB,所以|EF||AE|=|FC||AB|=|FC||AF|=2,所以|AE||AF|=13,所以S△ACE=13S△AFC=13×32p×2p=22p2
16、=32,所以p=6.
15.答案 45
解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點M(x0,y0),則y12=2px1,y22=2px2,
兩式相減,整理得(y1+y2)·y1-y2x1-x2=2p,即2y0×1=2p,所以y0=p,
又AB的方程為y=x-p2,
所以x0=32p,即M32p,p,
代入AB的中垂線y=-x+2,可得p=45.
16.解析 (1)直線AB的方程是y=22x-p2,
與y2=2px聯(lián)立,整理得4x2-5px+p2=0,
所以x1+x2=5p4.
由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=9,
所以p=4,從而拋物線的方程是y2=8x.
(2)將p=4代入4x2-5px+p2=0得x2-5x+4=0,
從而x1=1,x2=4,y1=-22,y2=42,
從而A(1,-22),B(4,42).
設(shè)=(x3,y3),則(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ-22),又y32=8x3,所以22(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
新版高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)作業(yè)：第九章 平面解析幾何 第七節(jié) 拋物線 Word版含解析
