《集合的含義與表示》PPT課件.ppt

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第一章集合與函數(shù)概念 李世明 函數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一 函數(shù)的基礎知識在現(xiàn)實生活 社會 經(jīng)濟及其他學科中有著廣泛的應用 函數(shù)與代數(shù)式 方程 不等式等內(nèi)容聯(lián)系非常密切 函數(shù)概念及其反映出的數(shù)學思想方法已廣泛滲透到數(shù)學的各個領域 是進一步學習數(shù)學的重要基礎 函數(shù)的概念是運動變化和對立統(tǒng)一等觀點在數(shù)學中的具體表現(xiàn) 現(xiàn)實世界中的許多運動變化現(xiàn)象都表現(xiàn)出變量之間的依賴關系 數(shù)學上 我們用函數(shù)模型描述這種依賴關系 并通過研究函數(shù)的性質(zhì)了解它們的變化規(guī)律 集合是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言 可以簡潔 準確地表達數(shù)學內(nèi)容 在本章 我們將學習集合的一些基本知識 用集合語言表示有關數(shù)學對象 并運用集合和對應的語言進一步描述函數(shù)概念 感受建立函數(shù)模型的過程和方法 初步運用函數(shù)思想理解和處理生活 社會中的簡單問題 1 1 1集合的含義與表示 一 引言 物以類聚 人以群分 數(shù)學中也有類似的分類 1 在初中我們學過 代數(shù) 自然數(shù)的集合 有理數(shù)的集合 不等式的解集等 2 在初中 我們用集合描述過 圓的概念 線段的垂直平分線是用集合描述的 幾何 點的集合等 補充示例 1 1 20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù) 2 我國從1991 2005年的15年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星 3 金星汽車廠2003年生產(chǎn)的所有汽車 4 2004年1月1日之前與我國建立立外交關系的所有國家 5 所有的正方形 6 到直線l的距離等于定長3cm的所有點 7 方程x2 3x 2 0的所有實數(shù)解 8 華僑中學2005年9月入學的所有高一學生 歸納總結這些例子 你能說出它們的特征嗎 說明 1 集合是一個原始的 不加定義的概念 我們不能用其他的概念下定義 只能作描述性說明 如同點 直線 平面等也都是不加定義的原始概念 構成了整個數(shù)學大廈的基石 要形象地理解 而不必記憶 二 集合的描述性定義 把研究對象統(tǒng)稱為元素 把一些元素組成的總體叫做集合 簡稱為集 3 集合理論是由德國數(shù)學家康托爾發(fā)現(xiàn)的 他創(chuàng)造的集合論是近代許多數(shù)學分支的基礎 2 集合是一個整體 已暗含 所有 全部 全體 的含義 因此一些對象一旦組成了集合 那么這個集合就是這些對象的全體 而非個別對象 1 確定性 對于一個給定的集合 任何一個元素是不是這個集合的元素就確定了 三 集合的特征 思考 我國的小河流 比較大的數(shù) 好心的人 等能組成集合嗎 如 應把集合 1 2 2 改寫成 2 互異性 對于一個給定的集合中 任何兩個元素都是不同的對象 相同的對象歸入一個集合時 僅算一個元素 3 無序性 集合中的元素是平等的 沒有先后順序 因此判定兩個集合是否一樣 僅需比較它們的元素是否一樣 不需考查排列順序是否一樣 如 集合 1 2 3 和 1 3 2 表示同一集合 1 2 說明 1 確定性是判定元素能否構成集合的唯一標準 2 元素中含參數(shù)的集合運算題 最終結果務必檢驗元素的互異性 利用互異性將不適合題意的參數(shù)值舍掉 3 在利用兩集合相等進行有關計算時 常常根據(jù)集合中元素的無序性進行分類討論 最終仍然莫忘對元素互異性的檢驗 四 元素與集合之間的關系 若a是集合A的元素 若a不是集合A的元素 例如 A 1 2 3 4 5 則3 A 就說a屬于集合A 記作a A 則a不屬于集合A 記作a A 集合常用大寫字母A B C D 標記 元素常用小寫字母a b c d 標記 集合的相等 構成兩個集合的元素完全一樣 五 常用數(shù)集及其記法 數(shù)的集合簡稱數(shù)集 注意 自然數(shù)集包括0 一些常用數(shù)集及其記法 非負整數(shù)集 即自然數(shù)集 記作 正整數(shù)集記作 整數(shù)集記作 有理數(shù)集記作 實數(shù)集記作 N N 或N Z Q R 六 集合的常用表示方法 方法一 列舉法 把集合中的元素一一列舉出來 寫在花括號 內(nèi)表示集合的方法 地球上的四大洋 組成的集合可以表示為 太平洋 大西洋 印度洋 北冰洋 方程x2 x 0的所有實數(shù)解組成的集合可以表示為 0 1 用列舉法表示集合應注意以下五點 1 元素間用分隔號 2 元素不重復 3 元素無順序 4 元素不能遺漏 5 列舉法可表示有限集 也可以表示無限集 若元素個數(shù)比較少用列舉法比較簡單 若集合中元素個數(shù)較多或無限 但出現(xiàn)一定的規(guī)律性 在不發(fā)生誤解的情況下 也可以用列舉法表示 如正整數(shù)集合可表示為 1 2 3 4 例1 用列舉法表示下列集合 1 小于10的所有質(zhì)數(shù)組成的集合 2 由大于3小于10的整數(shù)組成的集合 3 方程x2 16 0的實數(shù)解組成的集合 2 3 5 7 4 5 6 7 8 9 4 4 思考 1 你能用自然語言描述集合 2 4 6 8 嗎 2 你能用列舉法表示不等式x 7 3的解集嗎 不能 方法二 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 語言描述法 例 x x是正方形 x x是地球上的四大洋 不等式x 7 3的解集不能用列舉法表示 想想它的元素有怎樣的特征 x R且x 10 我們把這個集合表示為 A x R x 10 再如 所有奇數(shù)組成的集合可以表示為 B x Z x 2k 1 k Z 數(shù)學式子描述法 具體方法 在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值 或變化 范圍 再畫一條豎線 在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征 描述法的一般形式是 x A P x 其中 x 是集合中元素的代表形式 A是x的范圍 P x 是集合中元素x的共同特征 豎線不可省略 用描述法表示集合應注意以下六點 1 寫清楚該集合中元素的代號 字母或用字母表達的元素符號 2 說明該集合中元素的性質(zhì) 3 不能出現(xiàn)未被說明的字母 4 多層描述時 應當準確使用 且 或 5 所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號內(nèi) 6 用于描述條件的語句力求簡明 準確 例2 用描述法表示下列集合 1 小于10的所有有理數(shù)組成的集合 2 所有偶數(shù)組成的集合 3 直角坐標系內(nèi) 第二象限內(nèi)的點組成的集合 x Q x 10 x x 2n n Z x y x0 說明 如果從上下文的關系來看 x R x Z等是明確的 那么x R x Z可以省略 只寫其元素x 如 不等式x 7 3的解集可以表示為A x x 10 所有奇數(shù)組成的集合可以表示為 B x x 2k 1 k Z 0 1 說明 列舉法和描述法是集合的常用表示方法 兩種方法各有優(yōu)點 用什么方法表示集合 要具體問題具體分析 要注意 一般集合中元素較多或有無限個元素時 不宜采用列舉法 強調(diào) 如集合 x y y x2 3x 2 與 y y x2 3x 2 相同嗎 2 只要不引起誤解 集合的代表元素也可省略 不同 例如 整數(shù) 即代表整數(shù)集Z 1 描述法表示集合應注意集合的代表元素 辨析 下面寫法正確嗎 全體整數(shù) 實數(shù)集 R 高一級全體學生 這里的 已包含 所有 的意思 所以不能寫成上面的形式 3 在集合的書寫形式上 要注意規(guī)范性 4 在沒有指定集合的表示方法時 能明確表示集合的要明確表示出來 如關于x的方程x a 0的解集應寫成 a 而不是a 如所有小于20的既是奇數(shù)又是素數(shù)的數(shù)組成的集合表示為 3 5 7 11 13 17 19 更為明確 又如非負奇數(shù)組成的集合表示為 x x 2n 1 n N 更為恰當 這一點需要注意 5 集合的分類 含有無限個元素的集合叫做無限集 含有有限個元素的集合叫做有限集 解集合題時 一定要弄清集合是由哪些元素所構成的 尤其在集合這一部分有兩類集合極易混淆 即數(shù)集與點集 用描述法表示數(shù)集時 其格式為 x P x 在豎線前面是一個字母 而表示點集時 其格式為 x y P x y 在豎線前面是一個有序數(shù)對 用列舉法表示數(shù)集時 集合中的元素是單個的數(shù)字 表示點集時 集合中的元素是有序數(shù)對 在處理與數(shù)集或點集有關的集合問題時 一定要先看集合中元素的格式是數(shù)還是有序數(shù)對 一些常見集合的表示 1 方程的解集 x f x 0 f x 是關于x的代數(shù)式 2 不等式的解集 例如不等式x 3 0的解集為 x x 3 3 函數(shù)自變量構成的集合 例如函數(shù)y x2 1的自變量構成的集合為 x y x2 1 4 函數(shù)因變量構成的集合 例如函數(shù)y x2 1的因變量構成的集合為 y y x2 1 一些常見集合的表示 5 函數(shù)圖象上的點構成的集合 例如函數(shù)y x2 1圖象上的點的集合可表示為 x y y x2 1 6 多元方程 組 的解集 例如二元方程組的解集可表示為 三元一次方程x y z 2的解集可表示為 x y z x y z 2 補充例題 題型一 集合中元素的互異性與無序性 檢驗 題型二 利用集合中元素個數(shù)求參數(shù)取值范圍 例1 用列舉法表示下列集合 1 A x y x2 y 1 x 2 x Z A 2 3 1 0 0 1 1 0 2 3 題型三 集合的表示方法 2 B x y x y 4 x N y N B 1 3 2 2 3 1 C 2 1 0 1 2 D 1 2 例3 用描述法表示圖中陰影部分 含邊界 的點的坐標的集合 例4 集合M的元素為自然數(shù) 且滿足 如果x M 則8 x M 1 寫出只有一個元素的集合M 2 寫出只含有兩個元素的所有集合M 3 滿足題設條件的集合M共有多少個 解 1 當M中只有一個元素時 根據(jù)已知必須滿足x 8 x x 4 含一個元素的集合M 4 2 當M中只含有兩個元素時 其元素只能是x和8 x M中的元素為自然數(shù) 含兩個元素的集合M應為 0 8 1 7 2 6 3 5 3 滿足條件的M是由集合 4 0 8 1 7 2 6 3 5 中的一個或幾個構成的 共有5 10 10 5 1 31個 補充作業(yè)