高一數(shù)學(xué)人教B版必修4同步訓(xùn)練：第二章 平面向量 章末檢測(cè)B Word版含解析

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1、 第二章 平面向量（B） (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，則x的值是(　　) A．－6 B．6 C．9 D．12 2．下列命題正確的是(　　) A．單位向量都相等 B．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線 C．若|a＋b|＝|a－b|，則a·b＝0 D．若a與b都是單位向量，則a·b＝1． 3．設(shè)向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a與b的夾角大于90°，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

2、(　　) A．(－，2) B．(－∞，－)∪(2，＋∞) C．(－2，) D．(－∞，2)∪(，＋∞) 4．平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則·等于(　　) A．8 B．6 C．－8 D．－6 5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，則向量a與向量b的夾角是(　　) A． B． C． D． 6．關(guān)于平面向量a，b，c，有下列四個(gè)命題： ①若a∥b，a≠0，則存在λ∈R，使得b＝λa；

3、②若a·b＝0，則a＝0或b＝0； ③存在不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ使得c＝λa＋μb； ④若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)． 其中正確的命題是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，則向量a在向量b上的射影等于(　　) A．－4 B．4 C．－ D． 8．設(shè)O，A，M，B為平面上四點(diǎn)，＝λ＋(1－λ)，且λ∈(1,2)，則(　　) A．點(diǎn)M在線段AB上 B．點(diǎn)B在線段AM上 C．點(diǎn)A在線段BM上 D．O，A，B，M四點(diǎn)共線 9．P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，＝(＋)，則△ABC

4、的面積與△ABP的面積之比為(　　) A． B．2 C．3 D．6 10．在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，則m＋n等于(　　) A． B． C． D．1 11．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，則a·(b＋c)等于(　　) A．－ B．－ C．0 D． 12．定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np．下面說法錯(cuò)誤的是(　　) A．若a與b共線，則a⊙b＝0 B

5、．a(chǎn)⊙b＝b⊙a(bǔ) C．對(duì)任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．設(shè)向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，則λ＝________． 14．a(chǎn)，b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝3，則|5a－b|＝________． 15．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直線l過點(diǎn)A(3，－1)，且與向量a＋2b垂直，則直線l的方程為________． 16．已知向量＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，設(shè)M是直線OP上任意一

6、點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則·的最小值為________． 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)如圖所示，以向量＝a，＝b為邊作?AOBD，又＝，＝，用a，b表示、、． 18．(12分)已知a，b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2， 求：(1)(a－2b)·(a＋b)； (2)|a＋b|； (3)|3a－4b|． 19．(12分)已知a＝(，－1)，b＝，且存在實(shí)數(shù)k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求的最小值．

7、 20．(12分)設(shè)＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)．在線段OC上是否存在點(diǎn)M，使MA⊥MB？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 21．(12分)設(shè)兩個(gè)向量e1、e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 22．(12分)已知線段PQ過△OAB的重心G，且P、Q分別在OA、OB上，設(shè)＝a，＝b，＝

8、ma，＝nb． 求證：＋＝3． 第二章　平面向量(B) 答案 1．B　[∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6．] 2．C　[∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b |a－b|2＝a2＋b2－2a·b |a＋b|＝|a－b|． ∴a·b＝0．] 3．A　[∵a與b的夾角大于90°，∴a·b<0， ∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0， 即3m2－2m－8<0， ∴－

9、5)＝8．] 5．C　[∵a(b－a)＝a·b－|a|2＝2， ∴a·b＝3，∴cos〈a，b〉＝＝＝， ∴〈a，b〉＝．] 6．B　[由向量共線定理知①正確；若a·b＝0，則a＝0或b＝0或a⊥b，所以②錯(cuò)誤；在a，b能夠作為基底時(shí)，對(duì)平面上任意向量，存在實(shí)數(shù)λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③錯(cuò)誤；若a·b＝a·c，則a(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，所以④正確，即正確命題序號(hào)是①④．] 7．A　[向量a在向量b上的射影為|a|cos〈a，b〉＝|a|·＝＝－＝－4．] 8．B　[∵＝λ＋(1－λ) ＝＋λ(－) ∴＝λ，λ∈(1,2)， ∴點(diǎn)B在線段AM上，故選B．]

10、 9．C　[設(shè)△ABC邊BC的中點(diǎn)為D，則 ＝＝． ∵＝(＋)＝， ∴＝，∴||＝||． ∴＝3．] 10．B　[＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋ 故有m＋n＝＋＝．] 11．B　[由已知得4b＝－3a－5c，將等式兩邊平方得(4b)2＝(－3a－5c)2，化簡(jiǎn)得a·c＝－．同理由5c＝－3a－4b兩邊平方得a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－．] 12．B　[若a＝(m，n)與b＝(p，q)共線，則mq－np＝0，依運(yùn)算“⊙”知a⊙b＝0，故A正確．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a(bǔ)＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a(bǔ)，故B不正確．對(duì)于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λ

11、a)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正確．對(duì)于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正確．] 13．2 解析　∵a＝(1,2)，b＝(2,3)， ∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． ∵向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0． ∴λ＝2． 14．7 解析　∵|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b ＝25×12＋32

12、－10×1×3×(－)＝49． ∴|5a－b|＝7． 15．2x－3y－9＝0 解析　設(shè)P(x，y)是直線上任意一點(diǎn)，根據(jù)題意，有·(a＋2b)＝(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，整理化簡(jiǎn)得2x－3y－9＝0． 16．－8 解析　設(shè)＝t＝(2t，t)，故有·＝(1－2t,7－t)·(5－2t,1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，故當(dāng)t＝2時(shí)，·取得最小值－8． 17．解　＝－＝a－b． ∴＝＋＝＋ ＝＋＝a＋b． 又＝a＋b． ＝＋＝＋ ＝＝a＋b， ∴＝－ ＝a＋b－a－b ＝a－b． 18．解　a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×

13、＝－4． (1)(a－2b)·(a＋b) ＝a2－2a·b＋a·b－2b2 ＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22 ＝12． (2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝16＋2×(－4)＋4＝12． ∴|a＋b|＝2． (3)|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2 ＝9×42－24×(－4)＋16×22 ＝16×19， ∴|3a－4b|＝4． 19．解　由題意有|a|＝＝2， |b|＝＝1． ∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b． ∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝0． 化簡(jiǎn)得k＝． ∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋

14、2)2－． 即t＝－2時(shí)，有最小值為－． 20．解　設(shè)＝t，t∈[0,1]，則＝(6t,3t)， 即M(6t,3t)．＝－＝(2－6t,5－3t)， ＝－＝(3－6t,1－3t)． 若MA⊥MB， 則·＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0． 即45t2－48t＋11＝0，t＝或t＝． ∴存在點(diǎn)M，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)或． 21．解　由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角， 得<0， 即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0． 整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te<0．(*) ∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝

15、60°． ∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1 ∴(*)式化簡(jiǎn)得：2t2＋15t＋7<0． 解得：－7

16、不共線， ∴ 由①②消去λ得：＋＝3． 第三章　三角恒等變換(A) 答案 1．D　[(cos －sin )(cos ＋sin ) ＝cos2 －sin2＝cos ＝．] 2．C　[y＝sin＝sin ＝cos x，當(dāng)x＝π時(shí)，y＝－1．] 3．B　[sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·＝， ∴sin α＋cos α＝． 兩邊平方， ∴1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－．] 4．B　[y＝sin－sin 2x ＝sin 2xcos －cos 2xsin －sin 2x ＝－sin 2x－cos 2x ＝－sin 當(dāng)x

17、＝時(shí)，ymin＝－1；當(dāng)x＝π時(shí)，ymax＝1， 且T＝π．故B項(xiàng)合適．] 5．A　[∵0<θ<，∴θ＋∈， 又sin θ＋cos θ＝sin， 所以

18、0°＝．] 7．B　[∵π<2θ<2π，∴<θ<π， 則tan θ<0，tan 2θ＝＝－2， 化簡(jiǎn)得tan2θ－tan θ－＝0， 解得tan θ＝－或tan θ＝(舍去)， ∴tan θ＝－．] 8．C　[y＝sin x＋cos x＝sin ∴y＝sin x－cos x＝sin ＝sin．] 9．A　[a＝sin 62°，b＝cos 26°＝sin 64°，c＝sin 60°． ∵y＝sin x，x∈為遞增函數(shù)，∴c

19、 Acos B－sin Asin B ＝(－)×(－)－× ＝－＝． ∵

20、 ∴＝1． 14．－ 解析　∵sin α＝cos 2α＝1－2sin2α ∴2sin2α＋sin α－1＝0，∴sin α＝或－1． ∵<α<π，∴sin α＝， ∴α＝π，∴tan α＝－． 15．＋1 解析　y＝2sin2x＋2sin xcos x ＝1－cos 2x＋sin 2x ＝sin(2x－)＋1， ∴ymax＝＋1． 16．1 解析　∵cos(α＋β)＝sin(α－β) ∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β) ∵α、β均為銳

21、角， ∴sin β＋cos β≠0， ∴cos α＝sin α，∴tan α＝1． 17．解　∵tan α、tan β為方程6x2－5x＋1＝0的兩根， ∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝， tan(α＋β)＝＝＝1． ∵0<α<，π<β<， ∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝． 18．解　(1)f()＝2cos ＋sin2－4cos ＝－1＋－2＝－． (2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x ＝3cos2x－4cos x－1＝3(cos x－)2－，x∈R． 因?yàn)閏os x∈[－1,1]， 所以，當(dāng)cos x＝－1時(shí)，

22、f(x)取得最大值6； 當(dāng)cos x＝時(shí)，f(x)取得最小值－． 19．解　(1)∵a⊥b，∴a·b＝0． 而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0． 由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0． 解之，得tan α＝－，或tan α＝． ∵α∈，tan α<0，故tan α＝(舍去)． ∴tan α＝－． (2)∵α∈，∴∈． 由tan α＝－， 求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)． ∴sin ＝，cos ＝－， cos＝cos cos

23、－sin sin ＝－×－× ＝－． 20．解　(1)f(x)＝2sin2－cos 2x ＝1－cos－cos 2x ＝1＋sin 2x－cos 2x ＝2sin＋1， 周期T＝π；2kπ－≤2x－≤2kπ＋， 解得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)x∈，所以2x－∈， sin∈， 所以f(x)的值域?yàn)閇2,3]． 而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]． 21．解　(1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1，得 f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) ＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (

24、2x＋)， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π． 因?yàn)閒(x)＝2sin (2x＋)在區(qū)間[0，]上為增函數(shù)，在區(qū)間[，]上為減函數(shù)，又f(0)＝1，f()＝2，f()＝－1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，]上的最大值為2，最小值為－1． (2)由(1)可知f(x0)＝2sin (2x0＋)． 因?yàn)閒(x0)＝，所以sin (2x0＋)＝． 由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]， 從而cos(2x0＋)＝－＝－． 所以cos 2x0＝cos[(2x0＋)－] ＝cos(2x0＋)cos＋sin (2x0＋)sin＝． 22．解　(1)tan α＝＝， 所以＝．又因?yàn)閟in2α＋c

25、os2α＝1,0<α<， 所以sin α＝． (2)因?yàn)?<α<<β<π，所以0<β－α<π． 因?yàn)閏os(β－α)＝，所以sin(β－α)＝． 所以sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝×＋×＝． 因?yàn)棣隆剩? 所以β＝． 第三章　三角恒等變換(B) 答案 1．D　[原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1．] 2．D　[f(x)＝sin2x－＝(2sin2x－1) ＝－cos 2x， ∴T＝＝π，f(x)為偶函數(shù)．] 3．A　[∵α∈(，π)，si

26、n α＝， ∴cos α＝－， tan α＝＝－． ∴tan(α＋)＝＝＝．] 4．D　[f(x)＝sin x－cos x＝2sin(x－)． 令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 令k＝0得－≤x≤． 由此可得[－，0]符合題意．] 5．B　[原式＝＝ ＝sin 60°＝．] 6．C　[f(sin x)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x， ∴f(x)＝2x2＋2， ∴f(cos x)＝2cos2x＋2＝1＋cos 2x＋2＝3＋cos 2x．] 7．B　[f(x)＝sin(x＋)－asin(－x) ＝sin(x＋

27、)－acos(＋x) ＝sin(x＋－φ) ∴f()＝sin ＋asin ＝a＋＝． 解得a＝．] 8．B　[y＝sin 2x＋sin2x＝sin 2x＋ ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝sin(2x－)＋， ∵x∈R， ∴－1≤sin(2x－)≤1， ∴y∈[－＋，＋]．] 9．B　[∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝． cos 2θ＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sin θcos θ ＝ ＝＝＝．] 10．C　[3cos(2α＋β)＋5cos β ＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α

28、＋5sin(α＋β)sin α＝0， ∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α， ∴tan(α＋β)tan α＝－4．] 11．D　[cos ＝，sin ＝－，tan ＝－， ∴tan θ＝＝＝． ∴角θ的終邊在直線24x－7y＝0上．] 12．D　[∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝sin θ＋cos θ＝0． ∴tan θ＝－．∴θ＝kπ－，(k∈Z)． ∴f(x)＝2sin(2x＋θ＋)＝±2sin 2x． ∵f(x)在[－，0]上為減函數(shù)， ∴f(x)＝－2sin 2x，∴θ＝．] 13． 解析　∵f(x)＝[1－cos(4x－)] ＝－s

29、in 4x ∴T＝＝． 14．1 解析　∵sin αcos β＝1， ∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1， ∴cos α＝sin β＝0． ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1． 15． 解析　cos β＝－，sin β＝， sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－， 故cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝(－)×(－)＋×＝． 16．1 解析　令x＋10°＝α，則x＋40°＝α＋30°， ∴y＝sin α＋cos(α＋30°

30、) ＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30° ＝sin α＋cos α ＝sin(α＋60°)． ∴ymax＝1． 17．解　(1)sin(α＋)＝－，α∈(0，π) ?cos α＝－，α∈(0，π)?sin α＝． ＝＝－． (2)∵cos α＝－，sin α＝?sin 2α＝－，cos 2α＝－． cos(2α－)＝－cos 2α＋sin 2α＝－． 18．解　(1)原式＝sin 2x＋cos 2x ＝2(sin 2x＋cos 2x) ＝2(sin 2xcos ＋cos 2xsin ) ＝2sin(2x＋)． ∴函數(shù)f(x)的最小正周期

31、為π． (2)當(dāng)2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)時(shí)，f(x)有最大值為2． 當(dāng)2x＋＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)時(shí)，f(x)有最小值為－2． (3)要使f(x)遞增，必須使2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． ∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)． 19．解　(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x， |a＋b|＝ ＝＝2|cos x|， ∵x∈[－，]，∴cos x>0， ∴|a＋b|＝2cos x． (2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1

32、＝2(cos x－)2－． ∵x∈[－，]．∴≤cos x≤1， ∴當(dāng)cos x＝時(shí)，f(x)取得最小值－；當(dāng)cos x＝1時(shí)，f(x)取得最大值－1． 20．解　(1)2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0， 即4cos2B－8cos B＋3＝0，得cos B＝． 又B為△ABC的內(nèi)角， ∴B＝60°． (2)∵cos θ＝＝－， ∴sin θ＝． ∴sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝． 21．解　(1)由題意，得m·n＝0，所以 f(x)＝cos ωx·(cos ωx＋sin ωx)＝＋ ＝sin(2ωx＋)＋． 根據(jù)題意知，函數(shù)

33、f(x)的最小正周期為3π． 又ω>0，所以ω＝． (2)由(1)知f(x)＝sin(＋)＋，所以f(α＋) ＝sin(α＋)＋＝cos α＋＝． 解得cos α＝． 因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿牵蕇in α＝． 所以＝＝ ＝＝－． 22．解　(1)因?yàn)閒(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)， 所以f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ ＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ ＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ) ＝cos(2x－φ)． 又函數(shù)圖象過點(diǎn)(，)， 所以＝cos(2×－φ)， 即cos(－φ)＝1， 又0<φ<π，所以φ＝． (2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)，將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，可知g(x)＝f(2x)＝cos(4x－)， 因?yàn)閤∈[0，]，所以4x∈[0，π]， 因此4x－∈[－，]， 故－≤cos(4x－)≤1． 所以y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值分別為和－． 最新精品資料