新編高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六：第1講統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例案文

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第第 1 1 講講統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例高考定位1.抽樣方法、樣本的數(shù)字特征、統(tǒng)計(jì)圖表、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)主要以選擇題、填空題形式命題，難度較小；2.注重知識的交匯滲透，統(tǒng)計(jì)與概率，回歸分析與概率是近年命題的熱點(diǎn)，2015 年，2016 年和 2017 年在解答題中均有考查.真 題 感 悟1.(2017全國卷)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A.x1，x2，xn的平均數(shù)B.x1，x2，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1，x2，xn的最大值D.x1，x2

2、，xn的中位數(shù)解析刻畫評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差.答案B2.(2016全國卷)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為 15 ，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為 5 .下面敘述不正確的是()A.各月的平均最低氣溫都在 0 以上B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D.平均最高氣溫高于 20 的月份有 5 個(gè)解析根據(jù)雷達(dá)圖可知全年最低氣溫都在 0 以上，故 A 正確；一月平均最高氣溫是 6左右，平均最低氣溫 2左右，七月平均最高氣溫 22左右，平均最低氣溫 13

3、左右，所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大，B 正確；三月和十一月的平均最高氣溫都是 10 ，三月和十一月的平均最高氣溫基本相同，C 正確；平均最高氣溫高于 20 的有七月和八月，D 項(xiàng)不正確.答案D3.(2017山東卷)為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取 10 名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為ybxa.已知 10i1xi225，10i1yi1 600，b4.該班某學(xué)生的腳長為 24，據(jù)此估計(jì)其身高為()A.160B.163C.166D.170解析由已知得x22.5，y160，回歸直線方程過樣本點(diǎn)中

4、心(x，y)，且b4，160422.5a，解得a70.回歸直線方程為y4x70，當(dāng)x24 時(shí)，y166.答案C4.(2017全國卷)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了 100 個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于 50 kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有 99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.

5、8416.63510.828K2n（adbc）2（ab） （cd） （ac） （bd）解(1)由頻率分布直方圖知，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于 50 kg 的頻率為(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62，則事件A的概率估計(jì)值為 0.62.(2)列聯(lián)表如下：箱產(chǎn)量6.635，有 99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)由箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖可知，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))約在 4550 kg 之間，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))約在 5055 kg 之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法分布集中程度高，可知新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)

6、殖法.考 點(diǎn) 整 合1.抽樣方法抽樣方法包括簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣，三種抽樣方法都是等概率抽樣，體現(xiàn)了抽樣的公平性，但又各有其特點(diǎn)和適用范圍.2.統(tǒng)計(jì)中的四個(gè)數(shù)據(jù)特征(1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù).(2)中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即x1n(x1x2xn).(4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差.s21n(x1x)2(x2x)2(xnx)2，s1n（x1x）2（x2x）2（xnx）2.3.直方圖的兩個(gè)結(jié)論(1)小長方形的面積組距頻率組距頻率.(2)各小長方形的面積之

7、和等于 1.4.回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)回歸直線y bxa 經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心點(diǎn)(x，y)，若x取某一個(gè)值代入回歸直線方程y bxa 中，可求出y的估計(jì)值.(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)對于取值分別是x1，x2和y1，y2的分類變量X和Y，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表是：y1y2總計(jì)x1ababx2cdcd總計(jì)acbdn則K2n（adbc）2（ab） （cd） （ac） （bd）(其中nabcd為樣本容量).熱點(diǎn)一抽樣方法【例 1】(1)(2015北京卷)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有 320 人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為()類別人數(shù)老年教師90

8、0中年教師1 800青年教師1 600總計(jì)4 300A.90B.100C.180D.300(2)(2017長沙雅禮中學(xué)質(zhì)檢)在一次馬拉松比賽中，35 名運(yùn)動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示若將運(yùn)動員按成績由好到差編為 135 號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取 7 人，則其中成績在區(qū)間139，151上的運(yùn)動員人數(shù)是_.解析(1)設(shè)該樣本中的老年教師人數(shù)為x，由題意及分層抽樣的特點(diǎn)得x9003201 600，故x180.(2)依題意，可將編號為 135 號的 35 個(gè)數(shù)據(jù)分成 7 組，每組有 5 個(gè)數(shù)據(jù).在區(qū)間139，151上共有 20 個(gè)數(shù)據(jù)，分在 4 個(gè)小組內(nèi)，每組抽取 1 人，共抽取 4

9、人.答案(1)C(2)4探究提高1.解決此類題目的關(guān)鍵是深刻理解各種抽樣方法的特點(diǎn)和適用范圍.但無論哪種抽樣方法，每一個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是相等的，都等于樣本容量與總體容量的比值.2.在系統(tǒng)抽樣的過程中，要注意分段間隔，需要抽取n個(gè)個(gè)體，樣本就需要分成n個(gè)組，則分段間隔即為Nn(N為樣本容量)，首先確定在第一組中抽取的個(gè)體的號碼數(shù)，再從后面的每組中按規(guī)則抽取每個(gè)個(gè)體.【訓(xùn)練 1】 (1)(2017鄭州模擬)為規(guī)范學(xué)校辦學(xué)，某省教育廳督察組對某所高中進(jìn)行了抽樣調(diào)查.抽到的班級一共有 52 名學(xué)生，現(xiàn)將該班學(xué)生隨機(jī)編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為 4 的樣本，已知 7 號、33 號、46 號同

10、學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一位同學(xué)的編號應(yīng)是()A.13B.19C.20D.51(2)(2017江蘇卷)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為 200，400，300，100 件，為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取 60 件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取_件.解析(1)由系統(tǒng)抽樣的原理知，抽樣的間隔為 52413，故抽取的樣本的編號分別為 7，713， 7132，7133，即 7 號，20 號，33 號，46 號.樣本中還有一位同學(xué)的編號為 20 號.(2)因?yàn)闃颖救萘縩60，樣本總體N2004003001001 000，所以抽取比例為nN6010

11、00350.因此應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取 30035018(件).答案(1)C(2)18熱點(diǎn)二用樣本估計(jì)總體命題角度 1數(shù)字特征與莖葉圖的應(yīng)用【例21】 (2017北京東城質(zhì)檢)某班男女生各10名同學(xué)最近一周平均每天的鍛煉時(shí)間(單位：分鐘)用莖葉圖記錄如下：假設(shè)每名同學(xué)最近一周平均每天的鍛煉時(shí)間是互相獨(dú)立的.男生每天鍛煉的時(shí)間差別小，女生每天鍛煉的時(shí)間差別大；從平均值分析，男生每天鍛煉的時(shí)間比女生多；男生平均每天鍛煉時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差大于女生平均每天鍛煉時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差；從 10 個(gè)男生中任選一人，平均每天的鍛煉時(shí)間超過 65 分鐘的概率比同樣條件下女生鍛煉時(shí)間超過 65 分鐘的概率大.其中符合莖葉圖所

12、給數(shù)據(jù)的結(jié)論是()A.B.C.D.解析由莖葉圖知，男生每天鍛煉時(shí)間差別小，女生差別大，正確.男生平均每天鍛煉時(shí)間超過 65 分鐘的概率P151012，女生平均每天鍛煉時(shí)間超過 65 分鐘的概率P241025，P1P2，因此正確.設(shè)男生、女生兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為x甲，x乙，標(biāo)準(zhǔn)差分別為s甲，s乙.易求x甲65.2，x乙61.8，知x甲x乙，正確.又根據(jù)莖葉圖，男生鍛煉時(shí)間較集中，女生鍛煉時(shí)間較分散，s甲0.5.又前 4 組的頻率之和為 0.040.080.150.210.480.5.所以 2x3.841，且P（K2k03.841）0.05，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”出錯

13、的可能性不超過 5%.答案B因此aybx421.7828.4.所以，y關(guān)于x的線性回歸方程是y1.7x28.4.0.750，b0B.a0，b0C.a0D.a0，b0，a3.841.由統(tǒng)計(jì)表P(K23.841)0.05，有 95%的把握認(rèn)為“能否緩解交通擁堵的認(rèn)識與性別有關(guān)”.答案A二、填空題6.(2017石家莊質(zhì)檢)為比較甲、乙兩地 14 時(shí)的氣溫狀況，隨機(jī)選取該月中的 5 天，將這 5天中 14 時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：)制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論：甲地該月 14 時(shí)的平均氣溫低于乙地該月 14 時(shí)的平均氣溫；甲地該月 14 時(shí)的平均氣溫高于乙地該月 14 時(shí)的平均氣溫；甲地該月 14

14、時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月 14 時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；甲地該月 14 時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月 14 時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號正確的是_.解析x甲2628293131529，x乙2829303132530，則x甲2.706.所以有 90%的把握認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān).11.(2017全國卷)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔 30 min 從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測量其尺寸(單位：cm).下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的 16個(gè)零件的盡寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.981

15、0.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95（1）求（xi，i） （i1，2，16）的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ魘r|0.25，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小）.（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（x3s，x3s）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？在（x3s，x3s）之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估

16、計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.（精確到 0.01）解(1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi，i)(i1，2，16)的相關(guān)系數(shù)由于|r|0.25，因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.(2)由于x9.97，s0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第 13 個(gè)零件的尺寸在(x3s，x3s)以外.因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除離群值，即第 13 個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為115(169.979.22)10.02，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為 10.02.錯誤錯誤!2i160.2122169.9721 591.134，剔除第 13 個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為115(1 591.1349.2221510.022)0.008，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為 0.0080.09.