2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個重要的不等式 2.1.2 一般形式的柯西不等式活頁作業(yè)9 北師大版選修4-5.doc
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活頁作業(yè)(九) 一般形式的柯西不等式 一、選擇題 1．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，則＋＋的最小值為( ) A．24 B．30 C．36 D．48 解析：∵(x＋y＋z)≥ 2＝36， ∴＋＋≥36，當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝＝時等號成立． 答案：C 2．設(shè)實數(shù)a，b，c，d，e滿足a＋b＋c＋d＋e＝8，且a2＋b2＋c2＋ d2＋e2＝16，則e的最大值是( ) A． B． C．5 D．16 解析：由已知，得a＋b＋c＋d＝8－e，a2＋b2＋c2＋d2＝16－e2.所以(8－e)2＝(a＋b＋c＋d)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)＝4(16－e2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝ c＝d＝2或時等號成立． 化簡，得5e2－16e≤0，即0≤e≤. 所以emax＝. 答案：A 3．設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，則的值為( ) A． B． C． D． 解析：由題意，可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz.上式與a2＋b2＋c2＝10相加，可得(x－a)2＋(y－b)2＋ (z－c)2＝10.不妨令則x＋y＋ z＝2(a＋b＋c)，即＝. 答案：C 4．設(shè)a1，a2，…，an為正實數(shù)，P＝，Q＝，則P，Q之間的大小關(guān)系為( ) A．P>Q B．P≥Q C．P0，b>0，c>0，所以s≤t. 答案：s≤t 三、解答題 5．已知△ABC的三邊長為a，b，c，其外接圓半徑為R. 求證： (a2＋b2＋c2)≥36R2. 證明：由正弦定理，得sin A＝. 所以＝. 同理＝，＝. 由柯西不等式，可得 左邊＝(a2＋b2＋c2)≥2＝36R2. 原不等式得證． 6．設(shè)x，y，z∈R，且＋＋＝1. 求x＋y＋z的最大值和最小值． 解：根據(jù)柯西不等式，知 [42＋()2＋22]≥ 2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝， 即x＝，y＝－1，z＝或x＝－，y＝－3，z＝時等號成立． ∴251≥(x＋y＋z－2)2， 即|x＋y＋z－2|≤5. ∴－3≤x＋y＋z≤7. 故x＋y＋z的最大值為7，最小值為－3.
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