新編高三數(shù)學(xué)理,山東版一輪備課寶典 【第八章】課時(shí)限時(shí)檢測54

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 課時(shí)限時(shí)檢測(五十四)　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (時(shí)間：60分鐘　滿分：80分)命題報(bào)告 考查知識點(diǎn)及角度 題號及難度 基礎(chǔ) 中檔 稍難 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1,2,3 9,10 弦中點(diǎn)、弦長問題 4,5,7 6 11 最值與范圍問題 8 定值與定點(diǎn)問題 12 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．若直線mx＋ny＝4與⊙O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．至多為1 B．2 C．1 D．0 【解析】　由題意知：＞2，

2、即＜2， ∴點(diǎn)P(m，n)在橢圓＋＝1的內(nèi)部，故所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)． 【答案】　B 2．過點(diǎn)(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 【解析】　結(jié)合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：直線x＝0，過點(diǎn)(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(diǎn)(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0)． 【答案】　C 3．已知拋物線C的方程為x2＝y(tǒng)，過A(0，－1)，B(t,3)兩點(diǎn)的直線與拋物線C沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.∪ C．

3、(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞) 【解析】　直線AB的方程為y＝x－1，與拋物線方程x2＝y(tǒng)聯(lián)立得x2－x＋＝0，由于直線AB與拋物線C沒有公共點(diǎn)，所以Δ＝－2＜0，解得t＞或t＜－. 【答案】　D 4．設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝(　　) A．4 B．8 C．8 D．16 【解析】　直線AF的方程為y＝－(x－2)，聯(lián)立得y＝4，所以P(6,4)．由拋物線的性質(zhì)可知|PF|＝6＋2＝8. 【答案】　B 5．過橢圓＋＝1內(nèi)

4、一點(diǎn)P(3,1)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是(　　) A．3x＋4y－13＝0 B．4x＋3y－13＝0 C．3x－4y＋5＝0 D．3x＋4y＋5＝0 【解析】　設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，由于A、B兩點(diǎn)均在橢圓上， 故＋＝1，＋＝1， 兩式相減得 ＋＝0. 又∵P是A、B的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2， ∴kAB＝＝－. ∴直線AB的方程為y－1＝－(x－3)． 即3x＋4y－13＝0. 【答案】　A 6．(2014·山東師大附中模擬)設(shè)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作與x軸垂直的直線l交漸近線

5、于A、B兩點(diǎn)，且與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，λμ＝，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B.　　　 C. D. 【解析】　由題意可知A，B，P.由＝λ＋μ可知 又λμ＝，∴ ∴b＝c，即c＝2b. 又c2＝a2＋b2，故a＝b. ∴e＝＝. 【答案】　D 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．已知拋物線y2＝4x的弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則|AB|的最大值為________． 圖8－9－2 【解析】　利用拋物線的定義可知，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，那么|

6、AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，由圖可知|AF|＋|BF|≥|AB|?|AB|≤6，當(dāng)AB過焦點(diǎn)F時(shí)取最大值為6. 【答案】　6 8．已知雙曲線x2－＝1的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則·的最小值為________． 【解析】　由題可知A1(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)， 設(shè)P(x，y)(x≥1)，則＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5. ∵x≥1，函數(shù)f(x)＝4x2－x－5的圖象的對稱軸為x＝，∴當(dāng)x＝1時(shí)，·取得最小值－2. 【答案】?。? 9．(2

7、012·北京高考)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．其中點(diǎn)A在x軸上方，若直線l的傾斜角為60°，則△OAF的面積為________． 【解析】　∵y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，又直線l過焦點(diǎn)F且傾斜角為60°，故直線l的方程為y＝(x－1)， 將其代入y2＝4x得3x2－6x＋3－4x＝0，即3x2－10x＋3＝0. ∴x＝或x＝3. 又點(diǎn)A在x軸上方，∴xA＝3.∴yA＝2. ∴S△OAF＝×1×2＝. 【答案】　 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，且

8、點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程； (2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 【解】　(1)由題意，可設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)，且左焦點(diǎn)為F′(－2,0)，橢圓C過點(diǎn)A(2,3)． 則|AF|＝＝3， |AF′|＝＝5. 從而有解得 又a2＝b2＋c2，∴b2＝12，故橢圓C的方程為＋＝1. (2)假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為y＝x＋t. 由得3x2＋3tx＋t2－12＝0. ∵直線l與橢圓C有公共點(diǎn)， ∴Δ＝(3t)2－12(t2－12)≥

9、0， 解得－4≤t≤4. 又由直線OA與l的距離d＝4，得 ＝4，∴t＝±2. ∵±2?[－4，4]， ∴符合題意的直線l不存在． 11．(12分)(2013·陜西高考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)到直線l：x＝4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍． (1)求動點(diǎn)M的軌跡C的方程； (2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率． 圖① 【解】　(1)如圖①，設(shè)點(diǎn)M到直線l的距離為d，根據(jù)題意， d＝2|MN|， 由此得 |4－x|＝2， 化簡得＋＝1， ∴動點(diǎn)M的軌跡C的方程為 ＋＝1. (2)法一：由題意，設(shè)直線m的

10、方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如圖② 圖② 將y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0. 其中Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)>0， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－① x1x2＝.② 又A是PB的中點(diǎn)，故x2＝2x1.③ 將③代入①②，得x1＝－，x＝， 可得2＝，且k2>， 解得k＝－或k＝，∴直線m的斜率為－或. 法二：由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如圖②. ∵A是PB的中點(diǎn)， ∴x1＝，① y1＝，② 又＋＝1，③ ＋＝1，④

11、 聯(lián)立①②③④，解得或 即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(－2,0)， ∴直線m的斜率為－或 12．(13分)(2014·貴陽模擬)設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)M(1,1)，離心率e＝，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l是圓O：x2＋y2＝1的任意一條切線，且直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求證：·為定值． 【解】　(1)因?yàn)閑＝＝，∴a2＝3b2，∴橢圓C的方程為＋＝1. 又∵橢圓C過點(diǎn)M(1,1)，代入方程解得a2＝4，b2＝， ∴橢圓C的方程為＋＝1 (2) ①當(dāng)圓O的切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m， 則圓心O到直線l的距離d＝＝1，∴1＋k2＝m2 將直線l的方程和橢圓C的方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的方程為(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－4＝0 設(shè)直線l與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則 ∴·＝x1x2＋y1y2 ＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝(1＋k2)·＋km·＋m2 ＝＝0， ②當(dāng)圓的切線l的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證得·＝0. 綜合上述可得，·為定值0.