2018年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 1.3 平均值不等式活頁作業(yè)4 北師大版選修4-5.doc
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活頁作業(yè)(四) 平均值不等式 一、選擇題 1.設(shè)0<a<b,a+b=1,則下列不等式正確的是( ) A.b<2ab<<a2+b2 B.2ab<b<a2+b2< C.2ab<a2+b2<b< D.2ab<a2+b2<<b 解析:∵0<a<b且a+b=1, ∴0<a<b<1. ∴a2+b2>2ab,b>a2+b2,且>b. 故2ab<a2+b2<b<. 答案:C 2.下列不等式正確的是( ) A.a(chǎn)+b≥2 B.a(chǎn)3+b3+c3≥3abc C.≥ab D.≥ 解析:選項A,B,D忽視了a,b,c的條件應(yīng)為正實數(shù). 答案:C 3.設(shè)函數(shù)f(x)=2x+-1(x<0),則函數(shù)f(x)( ) A.有最大值 B.有最小值 C.是增函數(shù) D.是減函數(shù) 解析:因為x<0, 所以f(x)=--2x+-1≤ -2-1=-2-1, 當且僅當-2x=,即x=-時取等號. 所以函數(shù)f(x)有最大值-2-1. 答案:A 4.已知x>0,y>0,若不等式+>m2+2m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是( ) A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2) 解析:有+≥2=8,要使不等式+>m2+2m 恒成立,則m2+2m<8.解得-4<m<2. 答案:D 二、填空題 5.若x>0,則函數(shù)f(x)=x+的最小值是________. 解析:因為x>0,所以f(x)=x+=++≥ 3=6,當且僅當==,即x=4時取等號. 答案:6 6.若對任意x>0,關(guān)于x的不等式≤a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析:由x>0,知原不等式等價于不等式0<≤=x++3恒成立. 所以≤min=5,即0<≤5.解得a≥. 答案: 三、解答題 7.設(shè)單位圓的內(nèi)接三角形的面積為,三邊長分別為a,b,c且不全相等,求證:++>++. 證明:∵三角形的面積S=absin C=,=2, ∴abc=1. ∴++=++=bc+ac+ab= ≥c+a+b= (++)=++,當且僅當a=b=c時取等號. ∵三邊長a,b,c不全相等, ∴++>++. 8.已知a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+4c2的最小值,并求出取最小值時a,b,c的值. 解:顯然4a>0,4b>0,4c2>0. 則4a+4b+4c2≥3, 當且僅當a=b=c2時取等號. 因為a+b+c=1,所以a+b=1-c. 所以a+b+c2=c2-c+1=2+. 所以當c=時,a+b+c2取得最小值. 從而當a=b=,c=時,4a+4b+4c2取得最小值,且最小值為3. 一、選擇題 1.給出下列不等式:①x+≥2;②≥2;③若 0<a<1<b,則logab+logba≤-2;④若0<a<1<b,則logab+logba≥2.其中正確的是( ) A.②④ B.①② C.②③ D.①②④ 解析:①當x>0時,x+≥2; 當x<0時,x+≤-2.故①錯誤. ②因為x與同號,所以=|x|+≥2.故②正確. ③當0<a<1<b時,logab<0,logba<0, 所以-logab>0,-logba>0. 所以logab+logba=logab+≤-2.故③正確. ④由③,知logab+logba≥2是錯的. 答案:C 2.對于x∈,關(guān)于x的不等式+≥16恒成立,則正數(shù)p的取值范圍為( ) A.(-∞,-9] B.(-9,9] C. (-∞,9] D.[9,+∞) 解析:令t=sin2x,則cos2x=1-t. ∵x∈,∴t∈(0,1). 關(guān)于x的不等式+≥16可化為 p≥(1-t). 令y=(1-t), 則y=17- ≤17-2=9, 當且僅當=16t,即t=時取等號, 因此,原不等式恒成立,只需p≥9. 答案:D 二、填空題 3.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是________. 解析:∵2xy=x(2y)≤2, ∴8=x+2y+2xy≤x+2y+2, 即(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0. ∵x>0,y>0,∴x+2y≥4,當且僅當x=2,y=1時取等號,即x+2y的最小值是4. 答案:4 4.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域為[0,+∞),則+的最小值為________. 解析:∵二次函數(shù)f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域為[0,+∞), ∴a>0且c-=0.∴c=. ∴+=a2+a++≥2+ 2=4, 當且僅當a=,即a=1時取等號. 答案:4 三、解答題 5.已知函數(shù)f(x)=2x+2-x,若對于任意x∈R,關(guān)于x的不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求實數(shù)m的最大值. 解:由條件,知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=[f(x)]2-2. 因為關(guān)于x的不等式f(2x)≥mf(x)-6對任意x∈R 恒成立,且f(x)>0, 所以關(guān)于x的不等式m≤對任意x∈R恒成立. 而=f(x)+≥2=4,當且僅當f(x)=2,即x=0時取等號, 所以m≤4.故實數(shù)m的最大值為4. 6.x,y,a,b均為正實數(shù),x,y為變數(shù),a,b為常數(shù),且a+b=10,+=1,x+y的最小值為18,求a,b的值. 解:∵x+y>0,a>0,b>0且+=1, ∴x+y=(x+y)=a+b++≥a+b+ 2=a+b+2=(+)2, 當且僅當=時取等號. 此時(x+y)min=(+)2=18, 即a+b+2=18. 又a+b=10, 聯(lián)立 解得或- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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