新編高考數(shù)學二輪復習 專題四：第1講空間幾何體的三視圖及表面積和體積的計算問題案文

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1、新編高考數(shù)學復習資料第第 1 1 講講空間幾何體的三視圖及表面積和體積的計算問題空間幾何體的三視圖及表面積和體積的計算問題高考定位1.三視圖的識別和簡單應用；2.簡單幾何體的表面積與體積計算，主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，在解答題中，有時與空間線、面位置證明相結合，面積與體積的計算作為其中的一問.真 題 感 悟1.(2016全國卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是283，則它的表面積是()A.17B.18C.20D.28解析由題知， 該幾何體的直觀圖如圖所示， 它是一個球(被過球心O且互相垂直的三個平面)切掉左上角的18后得到的組合體，

2、其表面積是球面面積的78和三個14圓面積之和，易得球的半徑為 2，則得S784223142217.答案A2.(2017全國卷)如圖， 網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1， 粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A.90B.63C.42D.36解析法一(割補法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得，如圖所示.將圓柱補全，并將圓柱體從點A處水平分成上下兩部分.由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的12，所以該幾何體的體積V3243261263.法二(估值法)由題意知，12V圓柱V幾何體V圓柱，又

3、V圓柱321090，45V幾何體90.觀察選項可知只有 63符合.答案B3.(2017全國卷)已知圓柱的高為1， 它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A.B.34C.2D.4解析如圖畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心.球半徑ROA1，球心到底面圓的距離為OM12.底面圓半徑rOA2OM232，故圓柱體積Vr2h322134.答案B4.(2017全國卷)已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC， 三棱錐SABC的體積為 9， 則球O的表面積為_.解析如圖，連接OA，OB，因為SAAC，SBBC，所以

4、OASC，OBSC.因為平面SAC平面SBC，平面SAC平面SBCSC，且OA平面SAC，所以OA平面SBC.設球的半徑為r，則OAOBr，SC2r，所以VASBC13SSBCOA13122rrr13r3，所以13r39r3，所以球的表面積為 4r236.答案36考 點 整 合1.空間幾何體的三視圖(1)幾何體的擺放位置不同，其三視圖也不同，需要注意長對正、高平齊、寬相等.(2)由三視圖還原幾何體：一般先從俯視圖確定底面，再利用正視圖與側視圖確定幾何體.2.空間幾何體的兩組常用公式(1)柱體、錐體、臺體的側面積公式：S柱側ch(c為底面周長，h為高)；S錐側12ch(c為底面周長，h為斜高)；

5、S臺側12(cc)h(c，c分別為上下底面的周長，h為斜高)；S球表4R2(R為球的半徑).(2)柱體、錐體和球的體積公式：V柱體Sh(S為底面面積，h為高)；V錐體13Sh(S為底面面積，h為高)；V球43R3.熱點一空間幾何體的三視圖與直觀圖【例 1】(1)“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當其正視圖和側視圖完全相同時，它的俯視圖可能是()(2)(2017泰安模擬)某三棱錐的三視圖如

6、圖所示，其側視圖為直角三角形，則該三棱錐最長的棱長等于()A.4 2B. 34C. 41D.5 2解析(1)由直觀圖知，俯視圖應為正方形，又上半部分相鄰兩曲面的交線為可見線，在俯視圖中應為實線，因此，選項 B 可以是幾何體的俯視圖.(2)根據(jù)幾何體的三視圖，知該幾何體是底面為直角三角形，兩側面垂直于底面，高為 5 的三棱錐PABC(如圖所示).棱錐最長的棱長PA 2516 41.答案(1)B(2)C探究提高1.由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認.二要熟悉常見幾何體的三視圖.2.由三視圖還原到直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.(2)根據(jù)正視圖或側視圖確定幾何

7、體的側棱與側面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應的棱、面的位置.(3)確定幾何體的直觀圖形狀.【訓練 1】 (1)(2017蘭州模擬)如圖，在底面邊長為 1，高為 2 的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，點P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點，則三棱錐PBCD的正視圖與側視圖的面積之和為()A.1B.2C.3D.4(2)(2016天津卷)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側視圖為()解析(1)設點P在平面A1ADD1的射影為P，在平面C1CDD1的射影為P，如圖所示.三棱錐PBCD的正視圖與側視圖分別為PAD與PCD，因此所求面積SSPADS

8、PCD121212122.(2)由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體的直觀圖如圖，故其側視圖為圖.答案(1)B(2)B熱點二幾何體的表面積與體積命題角度 1空間幾何體的表面積【例 21】(1)(2016全國卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A.20B.24C.28D.32(2)(2017全國卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為 2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A.10B.12C.14D.16解析(1)幾何體是圓錐與圓柱的組合體， 設圓柱底面圓半徑

9、為r， 周長為c， 圓錐母線長為l，圓柱高為h.由三視圖知r2，c2r4，h4.所以l 22（2 3）24.故該幾何體的表面積S表r2ch12cl416828.(2)由三視圖可畫出直觀圖，該直觀圖各面內(nèi)只有兩個相同的梯形的面，S梯12(24)26，S全梯6212.答案(1)C(2)B探究提高1.由幾何體的三視圖求其表面積：(1)關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及度量大小.(2)還原幾何體的直觀圖，套用相應的面積公式.2.(1)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(2)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用.【訓練 2】 (2017棗莊模擬)如圖

10、，某三棱錐的三視圖是三個邊長相等的正方形及對角線，若該三棱錐的體積是13，則它的表面積是_.解析由題設及幾何體的三視圖知，該幾何體是一個正方體截去 4 個三棱錐后剩余的內(nèi)接正三棱錐BA1C1D(如圖所示).設正方體的棱長為a，則幾何體的體積是Va341312a2a13a313，a1，三棱錐的棱長為 2，因此該三棱錐的表面積為S434( 2)22 3.答案2 3命題角度 2空間幾何體的體積【例 22】(1)正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為 2，側棱長為 3，D為BC中點，則三棱錐AB1DC1的體積為()A.3B.32C.1D.32(2)(2017山東卷)由一個長方體和兩個14圓柱構成的幾何

11、體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為_.解析(1)如圖，在正ABC中，D為BC中點，則有AD32AB 3，又平面BB1C1C平面ABC，ADBC，AD平面ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD平面BB1C1C，即AD為三棱錐AB1DC1的底面B1DC1上的高.VAB1DC113SB1DC1AD13122 3 31.(2)該幾何體由一個長、寬、高分別為 2，1，1 的長方體和兩個半徑為 1，高為 1 的14圓柱體構成，所以V21121412122.答案(1)C(2)22探究提高1.求三棱錐的體積：等體積轉化是常用的方法，轉換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上.2.求不規(guī)則幾何體的體積：常用

12、分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何體以易于求解.【訓練 3】 (1)(2016山東卷)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為()A.1323B.1323C.1326D.126(2)(2017北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()A.60B.30C.20D.10解析(1)由三視圖知該四棱錐是底面邊長為 1，高為 1 的正四棱錐，結合三視圖可得半球半徑為22，從而該幾何體的體積為1312112432231326.(2)由三視圖知可把三棱錐放在一個長方體內(nèi)部，即三棱錐A1BCD，VA1BCD131235410.答案(1)C(2)D熱點三多面

13、體與球的切、接問題【例 3】 (2016全國卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A.4B.92C.6D.323解析由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側面相切，設底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則126812(6810)r，所以r2.2r43，不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大.由 2R3，即R32.故球的最大體積V43R392.答案B【遷移探究】若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BCA1B1C1的 6 個頂點都在球O的球面上”，若AB3，

14、AC4，ABAC，AA112，求球O的表面積.解將直三棱柱補形為長方體ABECA1B1E1C1，則球O是長方體ABECA1B1E1C1的外接球.體對角線BC1的長為球O的直徑.因此 2R 324212213.故S球4R2169.探究提高1.與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2.若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.【訓練 4】 (2017濟南一中月考)已知

15、A，B是球O的球面上兩點，AOB90，C為該球面上的動點.若三棱錐OABC體積的最大值為 36，則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.256解析因為AOB的面積為定值，所以當OC垂直于平面AOB時，三棱錐OABC的體積取得最大值.由1312R2R36，得R6.從而球O的表面積S4R2144.答案C1.求解幾何體的表面積或體積(1)對于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計算.(2)對于不規(guī)則幾何體，可采用割補法求解；對于某些三棱錐，有時可采用等體積轉換法求解.(3)求解旋轉體的表面積和體積時，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形的應用.(4)求解幾何體的表

16、面積時要注意S表S側S底.2.球的簡單組合體中幾何體度量之間的關系，如棱長為a的正方體的外接球、內(nèi)切球、棱切球的半徑分別為32a，a2，22a.3.錐體體積公式為V13Sh，在求解錐體體積中，不能漏掉13.一、選擇題1.(2017北京燕博園研究中心)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A.B.2C.3D.8解析由三視圖知，該幾何體是一個圓柱挖去一個同底的圓錐.該幾何體的體積V312131232.答案B2.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是 3，則正視圖中的x的值是()A.2B.92C.32D.3解析由三視圖知， 該幾何體是四棱錐， 底面是直角梯形， 且S底12(12)23

17、.V13x33，解得x3.答案D3.(2017衡陽聯(lián)考)如右圖所示，某空間幾何體的正視圖與側視圖相同，則此幾何體的表面積為()A. 6B.23 3C.4D.2 3解析此幾何體為一個組合體，上為一個圓錐，下為一個半球組合而成.表面積為S4212224.答案C4.(2017浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.21B.23C.321D.323解析由三視圖可知原幾何體為半個圓錐和一個三棱錐的組合體，半圓錐的底面半徑為 1，高為 3，三棱錐的底面積為12211，高為 3.故原幾何體體積為：V1212313131321.答案A5.(2017衡水中學調(diào)研

18、)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球()A.41 4148B.414C.4D.43解析由三視圖知該幾何體為四棱錐，側面PBC為側視圖，PE平面ABC，E，F(xiàn)分別是對應邊的中點，底面ABCD是邊長是 2 的正方形，如圖所示.設外接球的球心到平面ABCD的距離為h，則h2212(2h)2，h34，R24116.幾何體的外接球的表面積S4R2414.答案B二、填空題6.(2016四川卷)已知三棱錐的四個面都是腰長為 2 的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是_.解析由題可知，三棱錐每個面都是腰為 2 的等腰三角形，由正視圖可得如右俯視圖，且三棱錐高為h1，則體積V13

19、Sh13122 31133.答案337.體積為 8 的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_.解析設正方體的棱長為a，則a38，解得a2.設球的半徑為R，則 2R 3a，即R 3.所以球的表面積S4R212.答案128.(2017江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則V1V2的值是_.解析設球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長為 2R.又V1R22R2R3，V243R3，所以V1V22R343R332.答案32三、解答題9.(2015全國卷)如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC1

20、0，AA18，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.過點E，F(xiàn)的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值.解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.(2)如圖，作EMAB，垂足為M，則AMA1E4，EB112，EMAA18.因為四邊形EHGF為正方形，所以EHEFBC10.于是MHEH2EM26，AH10，HB6.故S四邊形A1EHA12(410)856，S四邊形EB1BH12(126)872.因為長方體被平面分成兩個高為 10 的直棱柱，所以其體積的比值為9779也正確.10.(2

21、017沈陽質(zhì)檢)在三棱柱ABCA1B1C1中，側面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACABBC2，且點O為AC中點.(1)證明：A1O平面ABC；(2)求三棱錐C1ABC的體積.(1)證明因為AA1A1C，且O為AC的中點，所以A1OAC，又平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，且A1O平面AA1C1C，A1O平面ABC.(2)解A1C1AC，A1C1 平面ABC，AC平面ABC，A1C1平面ABC，即C1到平面ABC的距離等于A1到平面ABC的距離.由(1)知A1O平面ABC且A1OAA21AO2 3，VC1ABCVA1ABC13SABCA1O13122 3 31.

22、11.如圖，四邊形ABCD為菱形，G是AC與BD的交點，BE平面ABCD.(1)證明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱錐EACD的體積為63，求該三棱錐的側面積.(1)證明因為四邊形ABCD為菱形，所以ACBD.因為BE平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBE，且BEBDB，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)解設ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGC32x，GBGDx2.因為AEEC，所以在 Rt AEC中，可得EG32x.由BE平面ABCD，BG平面ABCD知BEBG，故EBG為直角三角形，可得BE22x.由已知得，三棱錐EACD的體積VEACD1312ACGDBE624x363.故x2.從而可得AEECED 6.所以EAC的面積為 3，EAD的面積與ECD的面積均為 5.故三棱錐EACD的側面積為 32 5.