新編高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前回扣4 三角函數(shù)與平面向量講學(xué)案 理

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 回扣4　三角函數(shù)與平面向量 1．準(zhǔn)確記憶六組誘導(dǎo)公式 對于“±α，k∈Z”的三角函數(shù)值與α角的三角函數(shù)值的關(guān)系口訣：奇變偶不變，符號看象限． 2．三角函數(shù)恒等變換“四大策略” (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦． (4)靈活運(yùn)用輔助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ). 3．三種三角函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cosx y＝tan x 圖象 單調(diào)性 在 (k∈Z)

2、 上單調(diào)遞增；在 (k∈Z) 上單調(diào)遞減 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在(k∈Z)上單調(diào)遞增 對稱性 對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝＋kπ (k∈Z) 對稱中心： (k∈Z)； 對稱軸： x＝kπ(k∈Z) 對稱中心： (k∈Z) 4.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，A＞0)的圖象 (1)“五點(diǎn)法”作圖 設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相應(yīng)的x的值與y的值，描點(diǎn)、連線可得． (2)由三角函數(shù)的圖象確定解析式時(shí)，一般利用五點(diǎn)中的零點(diǎn)或最值點(diǎn)作為解題突破口．

3、(3)圖象變換 y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)． 5．正弦定理及其變形 ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)． 變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin A∶sinB∶sinC. 6．余弦定理及其推論、變形 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推論：cosA＝，cosB＝， cosC＝. 變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2

4、＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C. 7．面積公式 S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC. 8．平面向量的數(shù)量積 (1)若a，b為非零向量，夾角為θ，則a·b＝|a||b|cosθ. (2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. 9．兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 10．利用數(shù)量積求長度 (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝. (2)若A(

5、x1，y1)，B(x2，y2)，則 ||＝. 11．利用數(shù)量積求夾角 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角， 則cosθ＝＝. 12．三角形“四心”向量形式的充要條件 設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，則 (1)O為△ABC的外心?||＝||＝||＝. (2)O為△ABC的重心?＋＋＝0. (3)O為△ABC的垂心?·＝·＝·. (4)O為△ABC的內(nèi)心?a＋b＋c＝0. 1．利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式求值時(shí)，不要忽視角的范圍，要先判斷函數(shù)值的符號． 2．在求三角函數(shù)的值域(或最值)時(shí)，不要忽略x的取值范圍

6、． 3．求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意A與ω的符號，當(dāng)ω<0時(shí)，需把ω的符號化為正值后求解． 4．三角函數(shù)圖象變換中，注意由y＝sin ωx的圖象變換得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)時(shí)，平移量為，而不是φ. 5．在已知兩邊和其中一邊的對角時(shí)，要注意檢驗(yàn)解是否滿足“大邊對大角”，避免增解． 6．要特別注意零向量帶來的問題：0的模是0，方向任意，并不是沒有方向；0與任意非零向量平行． 7．a(chǎn)·b＞0是〈a，b〉為銳角的必要不充分條件； a·b<0是〈a，b〉為鈍角的必要不充分條件．  1．若sin θ·cosθ＝，則tan θ＋的值是(　　) A．－2

7、B．2 C．±2 D. 答案　B 解析　tan θ＋＝＋＝＝2. 2．下列函數(shù)中，最小正周期為π的偶函數(shù)是(　　) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cosx 答案　A 解析　化簡函數(shù)的解析式，A中，y＝cos 2x是最小正周期為π的偶函數(shù)． 3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝2，c＝，cosA＝－.則b的值為(　　) A．1 B. C. D. 答案　A 解析　根據(jù)余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，則22＝b2＋()2－2b××，所以b2＋b－2＝0，解得b＝1，故選

8、A. 4．要得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 4x的圖象(　　) A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度 C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度 答案　B 解析　因?yàn)閥＝sin＝sin，所以將函數(shù)y＝sin 4x向右平移個(gè)單位長度就得到函數(shù)y＝sin.故選B. 5．若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)f(x)在上的最小值是(　　) A．－1 B．－ C．－ D．－ 答案　B 解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin， 則由題意知，f＝2sin＝0，又因?yàn)?

9、<θ<π，所以<π＋θ＋<，所以π＋θ＋＝2π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x. 又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在上是減函數(shù)， 所以函數(shù)f(x)在上的最小值為 f＝－2sin ＝－，故選B. 6．(2016·全國Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cosA等于(　　) A.B. C．－D．－ 答案　C 解析　設(shè)BC邊上的高AD交BC于點(diǎn)D，由題意B＝，AD＝BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝＝－3，所以cosA＝－，故選C. 7．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，則α＋β的值是(　　) A. B. C.或

10、 D.或 答案　A 解析　∵sin 2α＝，α∈， ∴2α∈，即α∈，cos 2α＝－， 又sin(β－α)＝，β∈， ∴β－α∈，cos(β－α)＝－， ∴sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos( β－α)sin 2α ＝×＋× ＝－， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝×－× ＝， 又α＋β∈， ∴α＋β＝，故選A. 8．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若＝2，＝＋λ，則λ等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　A

11、解析　如圖， ＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋， 所以λ＝.故選A. 9．函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的圖象向右平移個(gè)單位長度后關(guān)于y軸對稱，則滿足此條件的φ的值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　平移后有f(x)＝sin＝sin， f(x)關(guān)于y軸對稱，則φ－＝kπ＋，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z，由于0＜φ＜π，所以φ＝. 10．已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，其圖象與直線y＝1相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若f(x)＞0對x∈恒成立，則φ的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知得函數(shù)f(x)的最小正周期為，

12、則ω＝， 當(dāng)x∈時(shí)，x＋φ∈， 因?yàn)閒(x)＞0，即cos＞， 所以(k∈Z)， 解得－＋2kπ≤φ≤－＋2kπ(k∈Z)， 又|φ|＜，所以－＜φ≤－，故選B. 11．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的圖象如圖所示，則 f的值為________． 答案　1 解析　根據(jù)圖象可知，A＝2，＝－， 所以周期T＝π，由ω＝＝2.又函數(shù)過點(diǎn)， 所以sin＝1，又0＜φ＜π， 所以φ＝，則f(x)＝2sin， 因此f＝2sin＝1. 12．已知函數(shù)f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的圖象的對稱中心

13、完全相同，若x∈，則f(x)的取值范圍是________． 答案　 解析　由兩個(gè)三角函數(shù)圖象的對稱中心完全相同可知，兩函數(shù)的周期相同，故ω＝2， 所以f(x)＝3sin， 那么當(dāng)x∈時(shí)，－≤2x－≤， 所以－≤sin≤1，故f(x)∈. 13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，角B為銳角，且sin2B＝8sin A·sinC，則的取值范圍為____________． 答案　 解析　因?yàn)閟in2B＝8sin A·sinC，由正弦定理可知， b2＝8ac，所以cosB＝ ＝＝ ＝－5∈(0,1)， 令t＝，t>0，則0＜－5＜1， 解得＜t2＜，即t∈.

14、 14．已知O是銳角△ABC外接圓的圓心，∠A＝60°，·＋·＝2m，則m的值為______． 答案　 解析　如圖所示，取AB的中點(diǎn)D，則＝＋，OD⊥AB，所以·＝0，設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由·＋·＝2m，得·＋·＝－2m(＋)，兩邊同乘以，得·2＋··＝－2m(＋)·，即·c2＋·bc·cosA＝m·c2，所以·c＋·b·cosA＝m·c， 由正弦定理＝＝＝2R， 所以b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 代入上式整理，得cosB＋cosCcosA＝m·sinC， 所以m＝ ＝＝sin A， 又∠A＝60°，所以m＝sin 60°＝.

15、 15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC＋(cosA－sin A)cosB＝0. (1)求角B的大?。? (2)若a＝2，b＝，求△ABC的面積． 解　(1)由已知得 －cos(A＋B)＋cosAcosB－sin AcosB＝0， 即sin AsinB－sin AcosB＝0, 因?yàn)閟in A≠0， 所以sin B－cosB＝0，又cosB≠0，所以tan B＝， 又0＜B＜π，所以B＝. (2)因?yàn)閟in B＝，cosB＝， 所以＝＝＝，又a＝2， 所以sin A＝＝， 因?yàn)閍＜b，所以cosA＝. 所以sin C＝sin(A＋B)＝s

16、in AcosB＋cosAsinB＝， 所以S＝absinC＝. 16．已知函數(shù)f(x)＝sin xcosx＋sin2x＋(x∈R)． (1)當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值和最大值； (2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c＝，f(C)＝2，若向量m＝(1，a)與向量n＝(2，b)共線，求a，b的值． 解　(1)∵函數(shù)f(x)＝sin xcosx＋sin2x＋(x∈R)， ∴f(x)＝sin 2x＋＋ ＝sin 2x－cos 2x＋1 ＝sin＋1. ∵－≤x≤，∴－≤2x－≤， ∴－≤sin≤1， ∴1－≤sin＋1≤2， ∴f(x)的最小值是1－，最大值是2. (2)∵f(C)＝sin＋1＝2， ∴sin＝1， ∵0＜C＜π，∴－＜2C－＜， ∴2C－＝，解得C＝. ∵向量m＝(1，a)與向量n＝(2，b)共線， ∴b－2a＝0，即b＝2a.① 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos ， 即a2＋b2－ab＝3.② 由①②得a＝1，b＝2.