2018年秋高中數(shù)學(xué) 第1章 統(tǒng)計(jì)案例 1.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修1 -2.doc

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1.2　獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其實(shí)施步驟．(重點(diǎn))2.能利用條形圖、列聯(lián)表探討兩個(gè)分類(lèi)變量的關(guān)系．(易混點(diǎn))3.了解K2的含義及其應(yīng)用．(重點(diǎn))4.通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的處理，來(lái)提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．分類(lèi)變量及22列聯(lián)表 (1)分類(lèi)變量 變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別，像這樣的變量稱(chēng)為分類(lèi)變量． (2)列聯(lián)表 ①定義：列出的兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)表，稱(chēng)為列聯(lián)表． ②22列聯(lián)表：一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱(chēng)為22列聯(lián)表)為： y1 y2 總計(jì) x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計(jì) a＋c b＋d a＋b＋c＋d 2.等高條形圖 (1)與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個(gè)分類(lèi)變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征． (2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)和相差很大，就判斷兩個(gè)分類(lèi)變量之間有關(guān)系． 3．獨(dú)立性檢驗(yàn) (1)定義：利用隨機(jī)變量K2來(lái)判斷“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的方法稱(chēng)為獨(dú)立性檢驗(yàn)． (2)K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. (3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法 ①根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0. ②利用公式計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k. ③如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”． 思考：有人說(shuō)：“我們有99%的把握認(rèn)為吸煙和患肺癌有關(guān)，是指每100個(gè)吸煙者中就會(huì)有99個(gè)患肺癌的．”你認(rèn)為這種觀點(diǎn)正確嗎？為什么？ [提示]觀點(diǎn)不正確.99%的把握說(shuō)明的是吸煙與患肺癌有關(guān)的程度，不是患肺癌的百分?jǐn)?shù)． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若K2越大，則兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系的可能性越大． (　　) (2)22列聯(lián)表是借助兩個(gè)分類(lèi)變量之間頻率大小差異說(shuō)明兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系． (　　) (3)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想對(duì)兩個(gè)變量間的關(guān)系作出的推斷一定是正確的． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3) 2．下列變量中不屬于分類(lèi)變量的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662013】 A．性別 B．吸煙 C．宗教信仰 D．國(guó)籍 B　[“吸煙”不是分類(lèi)變量，“是否吸煙”才是分類(lèi)變量．故選B.] 3．下面是一個(gè)22列聯(lián)表： y1 y2 總計(jì) x1 a 21 73 x2 8 25 33 總計(jì) b 46 則表中a，b處的值分別為_(kāi)_______． 52,60　[∵a＋21＝73，∴a＝52. b＝a＋8＝52＋8＝60.] 4．根據(jù)下表計(jì)算： 不看電視 看電視 男 37 85 女 35 143 K2的觀測(cè)值k≈________(保留3位小數(shù)). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662014】 4.514　[k＝≈4.514.] [合 作 探 究攻 重 難] 用22列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系 　在對(duì)人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類(lèi)為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類(lèi)為主．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并利用與判斷二者是否有關(guān)系． [解]　22列聯(lián)表如下： 年齡在六十歲以上 年齡在六十歲以下 總計(jì) 飲食以蔬菜為主 43 21 64 飲食以肉類(lèi)為主 27 33 60 總計(jì) 70 54 124 將表中數(shù)據(jù)代入公式得＝＝0.671 875. ＝＝0.45. 顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系． [規(guī)律方法]　1.作22列聯(lián)表時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類(lèi)別．注意應(yīng)該是4行4列，計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確無(wú)誤． 2．利用22列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得22列聯(lián)表，然后根據(jù)頻率特征，即將與的值相比，直觀地反映出兩個(gè)分類(lèi)變量間是否相互影響，但方法較粗劣． [跟蹤訓(xùn)練] 1．假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其22列聯(lián)表為： y1 y2 x1 10 18 x2 m 26 則當(dāng)m取下面何值時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱(　　) A．8　　　　　　　 B．9 C．14 D．19 C　[由1026≈18m，解得m≈14.4，所以當(dāng)m＝14時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱．] 用等高條形圖分析兩變量間的關(guān)系 　為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性是否有關(guān)系，分別對(duì)病人組和對(duì)照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下： 組別 陽(yáng)性數(shù) 陰性數(shù) 總計(jì) 鉛中毒病人 29 7 36 對(duì)照組 9 28 37 總計(jì) 38 35 73 試畫(huà)出列聯(lián)表的等高條形圖，分析鉛中毒病人和對(duì)照組的尿棕色素陽(yáng)性數(shù)有無(wú)差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性是否有關(guān)系？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662015】 [解]　等高條形圖如圖所示： 其中兩個(gè)淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對(duì)照組樣本中尿棕色素為陽(yáng)性的頻率． 由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對(duì)照組相比，尿棕色素為陽(yáng)性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性有關(guān)系． [規(guī)律方法]　利用等高條形圖判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否相關(guān)的步驟： [跟蹤訓(xùn)練] 2．為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下的列聯(lián)表： 藥物效果試驗(yàn)列聯(lián)表 患病 未患病 總計(jì) 服用藥 10 45 55 沒(méi)有服用藥 20 30 50 總計(jì) 30 75 105 試用圖形判斷服用藥與患病之間是否有關(guān)系？ [解]　相應(yīng)的等高條形圖如下： 從圖形可以看出，服用藥的樣本中患病的比例明顯低于沒(méi)有服用藥的樣本中患病的比例，因此可以認(rèn)為：服用藥和患病之間有關(guān)系． 用K2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn) [探究問(wèn)題] 1．在K2運(yùn)算后，得到K2的值為29.78，在判斷變量相關(guān)時(shí)，P(K2≥6.635)≈0.01和P(K2≥7.879)≈0.005，哪種說(shuō)法是正確的？ 提示：兩種說(shuō)法均正確．P(K2≥6.635)≈0.01的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)；而P(K2≥7.879)≈0.005的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)． 2．你能說(shuō)一下用K2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的依據(jù)嗎？ 提示：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類(lèi)似于數(shù)學(xué)中的反證法．先假設(shè)“兩個(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系”成立，計(jì)算隨機(jī)變量K2的值，如果K2值很大，說(shuō)明假設(shè)不合理．K2越大，兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系的可能性越大． 　隨著生活水平的提高，人們的休閑方式也發(fā)生了變化．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了n個(gè)人，其中男性占調(diào)查人數(shù)的.已知男性中有一半的人的休閑方式是運(yùn)動(dòng)，而女性中只有的人的休閑方式是運(yùn)動(dòng)． (1)完成下列22列聯(lián)表： 運(yùn)動(dòng) 非運(yùn)動(dòng) 總計(jì) 男生 女生 總計(jì) n (2)若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，可認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”，那么本次被調(diào)查的人數(shù)至少有多少？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662016】 思路探究：(1)依據(jù)22列聯(lián)表的定義填表； (2)計(jì)算K2，利用臨界值建立不等關(guān)系，求n的值． [解]　(1)補(bǔ)全22列聯(lián)表如下： 運(yùn)動(dòng) 非運(yùn)動(dòng) 總計(jì) 男性 n n n 女性 n n n 總計(jì) n n n (2)若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，可認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”，則P(K2≥k0)＝3.841. 由于K2的觀測(cè)值k＝＝， 故≥3.841，即n≥138.276. 又由n∈Z，故n≥140. 故若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，可認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”，那么本次被調(diào)查的至少有140人． 母題探究：1.(變結(jié)論)根據(jù)(2)的結(jié)論，本次被調(diào)查的人中，至少有多少人的休閑方式是運(yùn)動(dòng)？ [解]　根據(jù)(2)的結(jié)論，本次被調(diào)查的人中，至少有140＝56(人)的休閑方式是運(yùn)動(dòng)． 2．(變條件)若增加條件n＝100，問(wèn)能否在犯錯(cuò)誤不超過(guò)0.1的前提下，可認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”？ [解]　由(2)可知，當(dāng)n＝100時(shí)，K2的觀測(cè)值k＝≈2.78>2.706.故在犯錯(cuò)誤不超過(guò)0.1的前提下，我們可以認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)． [規(guī)律方法]　解決一般的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的步驟 [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．某科研機(jī)構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表： 心臟病 無(wú)心臟病 禿發(fā) 20 300 不禿發(fā) 5 450 根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到k＝≈15.968，因?yàn)閗>6.635，則斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為(　　) A．0.1　　　　　　　　 B．0.05 C．0.025 D．0.01 D　[∵P(k>6.635)＝0.01，故選D.] 2．在一項(xiàng)中學(xué)生近視情況的調(diào)查中，某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視，在檢驗(yàn)這些中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)用什么方法最有說(shuō)服力(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662017】 A．平均數(shù)與方差　　 B．回歸分析 C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．概率 C　[判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)的最有效方法是進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，故選C.] 3．在研究打鼾與患心臟病之間的關(guān)系中，通過(guò)收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的．下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．100個(gè)心臟病患者中至少有99人打鼾 B．1個(gè)人患心臟病，則這個(gè)人有99%的概率打鼾 C．100個(gè)心臟病患者中一定有打鼾的人 D．100個(gè)心臟病患者中可能一個(gè)打鼾的人都沒(méi)有 D　[這是獨(dú)立性檢驗(yàn)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“打鼾與患心臟病有關(guān)”．這只是一個(gè)概率，即打鼾與患心臟病有關(guān)的可能性為99%.根據(jù)概率的意義可知答案應(yīng)選D.] 4．觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類(lèi)變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是________． 圖121 (4)　[在四幅圖中圖(4)中兩個(gè)深色條的高相差最明顯，說(shuō)明兩個(gè)分類(lèi)變量之間關(guān)系最強(qiáng)，故選(4)．] 5．某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示： 喜歡甜品 不喜歡甜品 總計(jì) 南方學(xué)生 60 20 80 北方學(xué)生 10 10 20 總計(jì) 70 30 100 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問(wèn)是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662018】 [解]　將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得 k＝ ＝＝≈4.762. 因?yàn)?.762＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”．