2018年秋高中數(shù)學(xué) 第1章 統(tǒng)計(jì)案例 1.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修1 -2.doc

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1.2　獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其實(shí)施步驟．(重點(diǎn))2.能利用條形圖、列聯(lián)表探討兩個(gè)分類變量的關(guān)系．(易混點(diǎn))3.了解K2的含義及其應(yīng)用．(重點(diǎn))4.通過對(duì)數(shù)據(jù)的處理，來提高解決實(shí)際問題的能力．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．分類變量及22列聯(lián)表 (1)分類變量 變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量． (2)列聯(lián)表 ①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表． ②22列聯(lián)表：一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為： y1 y2 總計(jì) x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計(jì) a＋c b＋d a＋b＋c＋d 2.等高條形圖 (1)與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征． (2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)和相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系． 3．獨(dú)立性檢驗(yàn) (1)定義：利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)． (2)K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. (3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法 ①根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0. ②利用公式計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測值k. ③如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”． 思考：有人說：“我們有99%的把握認(rèn)為吸煙和患肺癌有關(guān)，是指每100個(gè)吸煙者中就會(huì)有99個(gè)患肺癌的．”你認(rèn)為這種觀點(diǎn)正確嗎？為什么？ [提示]觀點(diǎn)不正確.99%的把握說明的是吸煙與患肺癌有關(guān)的程度，不是患肺癌的百分?jǐn)?shù)． [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若K2越大，則兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大． (　　) (2)22列聯(lián)表是借助兩個(gè)分類變量之間頻率大小差異說明兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系． (　　) (3)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想對(duì)兩個(gè)變量間的關(guān)系作出的推斷一定是正確的． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3) 2．下列變量中不屬于分類變量的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662013】 A．性別 B．吸煙 C．宗教信仰 D．國籍 B　[“吸煙”不是分類變量，“是否吸煙”才是分類變量．故選B.] 3．下面是一個(gè)22列聯(lián)表： y1 y2 總計(jì) x1 a 21 73 x2 8 25 33 總計(jì) b 46 則表中a，b處的值分別為________． 52,60　[∵a＋21＝73，∴a＝52. b＝a＋8＝52＋8＝60.] 4．根據(jù)下表計(jì)算： 不看電視 看電視 男 37 85 女 35 143 K2的觀測值k≈________(保留3位小數(shù)). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662014】 4.514　[k＝≈4.514.] [合 作 探 究攻 重 難] 用22列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系 　在對(duì)人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并利用與判斷二者是否有關(guān)系． [解]　22列聯(lián)表如下： 年齡在六十歲以上 年齡在六十歲以下 總計(jì) 飲食以蔬菜為主 43 21 64 飲食以肉類為主 27 33 60 總計(jì) 70 54 124 將表中數(shù)據(jù)代入公式得＝＝0.671 875. ＝＝0.45. 顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系． [規(guī)律方法]　1.作22列聯(lián)表時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類別．注意應(yīng)該是4行4列，計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確無誤． 2．利用22列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得22列聯(lián)表，然后根據(jù)頻率特征，即將與的值相比，直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，但方法較粗劣． [跟蹤訓(xùn)練] 1．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其22列聯(lián)表為： y1 y2 x1 10 18 x2 m 26 則當(dāng)m取下面何值時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱(　　) A．8　　　　　　　 B．9 C．14 D．19 C　[由1026≈18m，解得m≈14.4，所以當(dāng)m＝14時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱．] 用等高條形圖分析兩變量間的關(guān)系 　為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系，分別對(duì)病人組和對(duì)照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下： 組別 陽性數(shù) 陰性數(shù) 總計(jì) 鉛中毒病人 29 7 36 對(duì)照組 9 28 37 總計(jì) 38 35 73 試畫出列聯(lián)表的等高條形圖，分析鉛中毒病人和對(duì)照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662015】 [解]　等高條形圖如圖所示： 其中兩個(gè)淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對(duì)照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率． 由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對(duì)照組相比，尿棕色素為陽性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有關(guān)系． [規(guī)律方法]　利用等高條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的步驟： [跟蹤訓(xùn)練] 2．為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下的列聯(lián)表： 藥物效果試驗(yàn)列聯(lián)表 患病 未患病 總計(jì) 服用藥 10 45 55 沒有服用藥 20 30 50 總計(jì) 30 75 105 試用圖形判斷服用藥與患病之間是否有關(guān)系？ [解]　相應(yīng)的等高條形圖如下： 從圖形可以看出，服用藥的樣本中患病的比例明顯低于沒有服用藥的樣本中患病的比例，因此可以認(rèn)為：服用藥和患病之間有關(guān)系． 用K2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn) [探究問題] 1．在K2運(yùn)算后，得到K2的值為29.78，在判斷變量相關(guān)時(shí)，P(K2≥6.635)≈0.01和P(K2≥7.879)≈0.005，哪種說法是正確的？ 提示：兩種說法均正確．P(K2≥6.635)≈0.01的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)；而P(K2≥7.879)≈0.005的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)． 2．你能說一下用K2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的依據(jù)嗎？ 提示：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法．先假設(shè)“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”成立，計(jì)算隨機(jī)變量K2的值，如果K2值很大，說明假設(shè)不合理．K2越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大． 　隨著生活水平的提高，人們的休閑方式也發(fā)生了變化．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了n個(gè)人，其中男性占調(diào)查人數(shù)的.已知男性中有一半的人的休閑方式是運(yùn)動(dòng)，而女性中只有的人的休閑方式是運(yùn)動(dòng)． (1)完成下列22列聯(lián)表： 運(yùn)動(dòng) 非運(yùn)動(dòng) 總計(jì) 男生 女生 總計(jì) n (2)若在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，可認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”，那么本次被調(diào)查的人數(shù)至少有多少？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662016】 思路探究：(1)依據(jù)22列聯(lián)表的定義填表； (2)計(jì)算K2，利用臨界值建立不等關(guān)系，求n的值． [解]　(1)補(bǔ)全22列聯(lián)表如下： 運(yùn)動(dòng) 非運(yùn)動(dòng) 總計(jì) 男性 n n n 女性 n n n 總計(jì) n n n (2)若在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，可認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”，則P(K2≥k0)＝3.841. 由于K2的觀測值k＝＝， 故≥3.841，即n≥138.276. 又由n∈Z，故n≥140. 故若在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，可認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”，那么本次被調(diào)查的至少有140人． 母題探究：1.(變結(jié)論)根據(jù)(2)的結(jié)論，本次被調(diào)查的人中，至少有多少人的休閑方式是運(yùn)動(dòng)？ [解]　根據(jù)(2)的結(jié)論，本次被調(diào)查的人中，至少有140＝56(人)的休閑方式是運(yùn)動(dòng)． 2．(變條件)若增加條件n＝100，問能否在犯錯(cuò)誤不超過0.1的前提下，可認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”？ [解]　由(2)可知，當(dāng)n＝100時(shí)，K2的觀測值k＝≈2.78>2.706.故在犯錯(cuò)誤不超過0.1的前提下，我們可以認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)． [規(guī)律方法]　解決一般的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的步驟 [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．某科研機(jī)構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表： 心臟病 無心臟病 禿發(fā) 20 300 不禿發(fā) 5 450 根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到k＝≈15.968，因?yàn)閗>6.635，則斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為(　　) A．0.1　　　　　　　　 B．0.05 C．0.025 D．0.01 D　[∵P(k>6.635)＝0.01，故選D.] 2．在一項(xiàng)中學(xué)生近視情況的調(diào)查中，某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視，在檢驗(yàn)這些中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)用什么方法最有說服力(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662017】 A．平均數(shù)與方差　　 B．回歸分析 C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．概率 C　[判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)的最有效方法是進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，故選C.] 3．在研究打鼾與患心臟病之間的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的．下列說法中正確的是(　　) A．100個(gè)心臟病患者中至少有99人打鼾 B．1個(gè)人患心臟病，則這個(gè)人有99%的概率打鼾 C．100個(gè)心臟病患者中一定有打鼾的人 D．100個(gè)心臟病患者中可能一個(gè)打鼾的人都沒有 D　[這是獨(dú)立性檢驗(yàn)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“打鼾與患心臟病有關(guān)”．這只是一個(gè)概率，即打鼾與患心臟病有關(guān)的可能性為99%.根據(jù)概率的意義可知答案應(yīng)選D.] 4．觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是________． 圖121 (4)　[在四幅圖中圖(4)中兩個(gè)深色條的高相差最明顯，說明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系最強(qiáng)，故選(4)．] 5．某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示： 喜歡甜品 不喜歡甜品 總計(jì) 南方學(xué)生 60 20 80 北方學(xué)生 10 10 20 總計(jì) 70 30 100 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662018】 [解]　將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得 k＝ ＝＝≈4.762. 因?yàn)?.762＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”．