《(浙江專(zhuān)版)2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)學(xué)案 新人教A版必修1.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專(zhuān)版)2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)學(xué)案 新人教A版必修1.doc(36頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1.3
1.3.1 單調(diào)性與最大(小)值
第一課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性
預(yù)習(xí)課本P27~29,思考并完成以下問(wèn)題
(1)增函數(shù)、減函數(shù)的概念是什么?
(2)如何表示函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?
(3)函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間有什么關(guān)系?
1.定義域?yàn)镮的函數(shù)f(x)的增減性
[點(diǎn)睛] 定義中的x1,x2有以下3個(gè)特征
(1)任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字絕不能去掉,證明時(shí)不能以特殊代替一般;
(2)有大小,通常規(guī)定x1
f(x2)的是( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)=|x| D.f(x)=2x+1
答案:B
4.函數(shù)f(x)=-x2-2x的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
答案:(-∞,-1]
函數(shù)單調(diào)性的判定與證明
[例1] 求證:函數(shù)f(x)=在(0,+∞)上是減函數(shù),在(-∞,0)上是增函數(shù).
[證明] 對(duì)于任意的x1,x2∈(-∞,0),且x10,x1+x2<0,xx>0.
∴f (x1)-f (x2)<0,即f (x1)0,x2+x1>0,xx>0.
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
∴函數(shù)f(x)=在(0,+∞)上是減函數(shù).
利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的4個(gè)步驟
[活學(xué)活用]
1.證明函數(shù)f(x)=x+在(0,1)上是減函數(shù).
證明:設(shè)x1,x2是區(qū)間(0,1)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x10,即f(x1)>f(x2),
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
∴f(x)=x+在(0,1)上是減函數(shù).
[例2] 畫(huà)出函數(shù)y=-x2+2|x|+1的圖象并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
[解] y=
即y=
函數(shù)的大致圖象如圖所示,單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1],[0,1],單調(diào)減區(qū)間為(-1,0),(1,+∞).
求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法
法一:定義法.即先求出定義域,再利用定義法進(jìn)行判斷求解.
法二:圖象法.即先畫(huà)出圖象,根據(jù)圖象求單調(diào)區(qū)間.
[活學(xué)活用]
2.如圖所示為函數(shù)y=f(x),x∈[-4,7]的圖象,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
解析:由圖象知單調(diào)遞增區(qū)間為[-1.5,3]和[5,6].
答案:[-1.5,3]和[5,6]
3.求函數(shù)f(x)=的單調(diào)減區(qū)間.
解:函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞),
設(shè)x1,x2∈(-∞,1),且x10,x1-1<0,x2-1<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,同理函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
綜上,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1),(1,+∞).
函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
題點(diǎn)一:利用單調(diào)性比較大小
1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上是減函數(shù),則下列關(guān)系式一定成立的是( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)a2,所以f(a2+1)f(5x+6),求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
解:∵函數(shù)y=f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù),且f(2x-3)>f(5x+6),∴2x-3>5x+6,解得x<-3.∴x的取值范圍為(-∞,-3).
題點(diǎn)三:已知單調(diào)性求參數(shù)范圍
3.已知函數(shù)f(x)=x-+在(1,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:設(shè)11.
∵函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),
∴f(x1)-f(x2)=x1-+-
=(x1-x2)<0.
∵x1-x2<0,∴1+>0,即a>-x1x2.
∵11,∴-x1x2<-1,∴a≥-1.
∴a的取值范圍是[-1,+∞).
函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
(1)函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向性”:利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性,反過(guò)來(lái),若已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍.
(2)若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的,則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的.
層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1.如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象,則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:選B 由圖象,可知函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間有2個(gè).故選B.
2.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是( )
A.y=|x| B.y=3-x
C.y= D.y=-x2+4
解析:選A 因?yàn)椋?<0,所以一次函數(shù)y=-x+3在R上遞減,反比例函數(shù)y=在(0,+∞)上遞減,二次函數(shù)y=-x2+4在(0,+∞)上遞減.故選A.
3.函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(-∞,0)和(0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞)
解析:選C 函數(shù)y=的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).由函數(shù)的圖象可知y=在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上分別是減函數(shù).
4.若函數(shù)f(x)=(2a-1)x+b在R上是單調(diào)減函數(shù),則有( )
A.a(chǎn)≥ B.a(chǎn)≤
C.a(chǎn)> D.a(chǎn)<
解析:選D 函數(shù)f(x)=(2a-1)x+b在R上是單調(diào)減函數(shù),則2a-1<0,即a<.故選D.
5.函數(shù)f(x)=|x|,g(x)=x(2-x)的遞增區(qū)間依次是( )
A.(-∞,0],(-∞,1] B.(-∞,0],(1,+∞)
C.[0,+∞),(-∞,1] D.[0,+∞),[1,+∞)
解析:選C 分別作出f(x) 與g(x)的圖象得:f(x)在[0,+∞)上遞增,g(x)在(-∞,1]上遞增,選C.
6.若f(x)在R上是減函數(shù),則f(-1)________f(a2+1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”).
解析:∵f(x)在R上是減函數(shù),∴對(duì)任意x1,x2,若x1f(x2).又∵-1f(a2+1).
答案:>
7.已知函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間[-1,1]上的增函數(shù),則滿(mǎn)足f(x)0,
又由x12>1,則f(3)0.
∵00,
∴b<0.
答案:(-∞,0)
6.函數(shù)y=-(x-3)|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
解析:y=-(x-3)|x|=作出其圖象如圖,觀察圖象知單調(diào)遞增區(qū)間為.
答案:
7.已知y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù),且f(1-a)2a-1,即a<,②
由①②可知,a的取值范圍是.
8.設(shè)函數(shù)f(x)=(a>b>0),求f(x)的單調(diào)區(qū)間,并說(shuō)明f(x)在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.
解:在定義域內(nèi)任取x1,x2,且使x1b>0,x10.
只有當(dāng)x1x1>1,∴x1-x2<0,
又∵x1x2>1,∴x1x2-1>0,
故(x1-x2)<0,即f(x1)0,(x1-1)(x2-1)>0,于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以函數(shù)f(x)=是區(qū)間[2,6]上的減函數(shù).
實(shí)際應(yīng)用中的最值
因此,函數(shù)f(x)=在區(qū)間[2,6]的兩個(gè)端點(diǎn)處分別取得最大值與最小值,即在x=2時(shí)取得最大值,最大值是2,在x=6時(shí)取得最小值,最小值是0.4.
[例3] 某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20 000元,每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元,已知總收益滿(mǎn)足函數(shù):
R(x)=其中x是儀器的月產(chǎn)量.
(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x);
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí),公司所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少元?(總收益=總成本+利潤(rùn))
[解] (1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái),則總成本為20 000+100x,從而
f(x)=
(2)當(dāng)0≤x≤400時(shí),
f(x)=-(x-300)2+25 000,
∴當(dāng)x=300時(shí),[f(x)]max=25 000.
當(dāng)x>400時(shí),
f(x)=60 000-100x是減函數(shù),
f(x)<60 000-100400<25 000.
∴當(dāng)x=300時(shí),[f(x)]max=25 000.
即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為25 000元.
解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的5個(gè)步驟
(1)審:審清題意,讀懂題,找出各量之間的關(guān)系.
(2)設(shè):從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型,恰當(dāng)設(shè)出未知數(shù).
(3)列:根據(jù)已知條件列出正確的數(shù)量關(guān)系.
(4)解:轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或解方程或解不等式.
(5)答:回歸實(shí)際,明確答案,得出結(jié)論.
[活學(xué)活用]
3.將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元一個(gè)出售時(shí),能賣(mài)出500個(gè),已知這種商品每漲價(jià)1元,其銷(xiāo)售量就減少10個(gè),為得到最大利潤(rùn),售價(jià)應(yīng)為多少元?最大利潤(rùn)為多少?
解:設(shè)售價(jià)為x元,利潤(rùn)為y元,單個(gè)漲價(jià)(x-50)元,銷(xiāo)量減少10(x-50)個(gè),銷(xiāo)量為500-10(x-50)=(1 000-10x)個(gè),則y=(x-40)(1 000-10x)=-10(x-70)2+9 000≤9 000.
故當(dāng)x=70時(shí),ymax=9 000.
即售價(jià)為70元時(shí),利潤(rùn)最大值為9 000元.
二次函數(shù)的最大值,最小值
[例4] 求二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值.
[解] ∵函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=a,
∴當(dāng)a<2時(shí),f(x)在[2,4]上是增函數(shù),
∴f(x)min=f(2)=6-4a.
當(dāng)a>4時(shí),f(x)在[2,4]上是減函數(shù),
∴f(x)min=f(4)=18-8a.
當(dāng)2≤a≤4時(shí),f(x)min=f(a)=2-a2.
∴f(x)min=
[一題多變]
1.[變?cè)O(shè)問(wèn)]在本例條件下,求f(x)的最大值.
解:∵函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=a,
∴當(dāng)a≤3時(shí),f(x)max=f(4)=18-8a,
當(dāng)a>3時(shí),f(x)max=f(2)=6-4a.
∴f(x)max=
2.[變?cè)O(shè)問(wèn)]在本例條件下,若f(x)的最小值為2,求a的值.
解:由本例解析知f(x)min=
當(dāng)a<2時(shí),6-4a=2,a=1;
當(dāng)2≤a≤4時(shí),2-a2=2,a=0(舍去);
當(dāng)a>4時(shí),若18-8a=4,a=(舍去).
∴a的值為1.
3.[變條件,變?cè)O(shè)問(wèn)]本例條件變?yōu)椋鬴(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x∈[2,4]時(shí),f(x)≤a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:在[2,4]內(nèi),f(x)≤a恒成立,
即a≥x2-2ax+2在[2,4]內(nèi)恒成立,
即a≥f(x)max,x∈[2,4].
由本例探究1知f(x)max=
(1)當(dāng)a≤3時(shí),a≥18-8a,解得a≥2,此時(shí)有2≤a≤3.
(2)當(dāng)a>3時(shí),a≥6-4a,解得a≥,此時(shí)有a>3.
綜上有實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,+∞).
求解二次函數(shù)最值問(wèn)題的順序
(1)確定對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的開(kāi)口方向、作圖.
(2)在圖象上標(biāo)出定義域的位置.
(3)觀察單調(diào)性寫(xiě)出最值.
層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1.函數(shù)y=f(x)(-2≤x≤2)的圖象如下圖所示,則函數(shù)的最大值、最小值分別為( )
A.f(2),f(-2)
B.f,f(-1)
C.f,f
D.f,f(0)
解析:選C 根據(jù)函數(shù)最值定義,結(jié)合函數(shù)圖象可知,當(dāng)x=-時(shí),有最小值f;當(dāng)x=時(shí),有最大值f.
2.函數(shù)y=x2-2x+2在區(qū)間[-2,3]上的最大值、最小值分別是( )
A.10,5 B.10,1
C.5,1 D.以上都不對(duì)
解析:選B 因?yàn)閥=x2-2x+2=(x-1)2+1,且x∈[-2,3],所以當(dāng)x=1時(shí),ymin=1,當(dāng)x=-2時(shí),ymax=(-2-1)2+1=10.故選B.
3.函數(shù)y=(x≠-2)在區(qū)間[0,5]上的最大值、最小值分別是( )
A.,0 B.,0
C., D.最小值為-,無(wú)最大值
解析:選C 因?yàn)楹瘮?shù)y=在區(qū)間[0,5]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=0時(shí),ymax=,當(dāng)x=5時(shí),ymin=.故選C.
4.若函數(shù)y=ax+1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2,則實(shí)數(shù)a的值是( )
A.2 B.-2
C.2或-2 D.0
解析:選C 由題意知a≠0,當(dāng)a>0時(shí),有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;當(dāng)a<0時(shí),有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.綜上知a=2.
5.當(dāng)0≤x≤2時(shí),a<-x2+2x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,1] B.(-∞,0]
C.(-∞,0) D.(0,+∞)
解析:選C 令f(x)=-x2+2x,
則f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.
又∵x∈[0,2],∴f(x)min=f(0)=f(2)=0.
∴a<0.
6.函數(shù)y=-,x∈[-3,-1]的最大值與最小值的差是________.
解析:易證函數(shù)y=-在[-3,-1]上為增函數(shù),所以ymin=,ymax=1,
所以ymax-ymin=1-=.
答案:
7.已知函數(shù)f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,則f(x)的最大值為_(kāi)_______.
解析:函數(shù)f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,x∈[0,1],且函數(shù)有最小值-2.
故當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)有最小值,
當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有最大值.
∵當(dāng)x=0時(shí),f(0)=a=-2,∴f(x)=-x2+4x-2,
∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)max=f(1)=-12+41-2=1.
答案:1
8.函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-4,6],若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-4,-2]上單調(diào)遞減,在區(qū)間(-2,6]上單調(diào)遞增,且f(-4)0,x1-1>0.
所以f(x2)-f(x1)<0.
所以f(x2)2時(shí),f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,在[2,a]上單調(diào)遞增,因此其最大值為f(0)和f(a)中的較大者,而f(a)-f(0)=3a2-12a.
∴①當(dāng)24時(shí),f(x)max=f(a)=3a2-12a+5,
f(x)min=f(2)=-7.
1.3.2 奇偶性
預(yù)習(xí)課本P33~36,思考并完成以下問(wèn)題
(1)偶函數(shù)與奇函數(shù)的定義分別是什么?
(2)奇、偶函數(shù)的定義域有什么特點(diǎn)?
(3)奇、偶函數(shù)的圖象分別有什么特征?
函數(shù)奇偶性的概念
偶函數(shù)
奇函數(shù)
定
義
條件
對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
結(jié)論
函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)
函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)
圖象特征
圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
[點(diǎn)睛] 奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),反之,若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則這個(gè)函數(shù)一定不具有奇偶性.
1.判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”)
(1)偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交.( )
(2)奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)原點(diǎn).( )
(3)函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函數(shù).( )
(4)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則f(-x)+f(x)=0.( )
答案:(1) (2) (3) (4)√
2.函數(shù)y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函數(shù),則a等于( )
A.-1 B.0
C.1 D.無(wú)法確定
答案:C
3.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是( )
A.y=x B.y=2x2-3
C.y= D.y=x2,x∈[0,1]
答案:B
4.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),若f(2)=4,則f(-2)=____________.
答案:4
判斷函數(shù)的奇偶性
[例1] 判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=2-|x|;
(2)f(x)= + ;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=
[解] (1)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),
∴f(x)為偶函數(shù).
(2)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧-1,1},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且f(x)=0,又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
(3)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
∴f(x)是非奇非偶函數(shù).
(4)f(x)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).當(dāng)x>0時(shí),-x<0,
f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);
當(dāng)x<0時(shí),-x>0,
f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).
綜上可知,對(duì)于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),f(x)為偶函數(shù).
判斷函數(shù)奇偶性的方法
(1)定義法:
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.步驟如下:
①判斷函數(shù)f(x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).若不對(duì)稱(chēng),則函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù),若對(duì)稱(chēng),則進(jìn)行下一步.
②驗(yàn)證.f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x).
③下結(jié)論.若f(-x)=-f(x),則f(x)為奇函數(shù);
若f(-x)=f(x),則f(x)為偶函數(shù);
若f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),則f(x)為非奇非偶函數(shù).
(2)圖象法:
①若f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則f(x)是奇函數(shù).
②若f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則f(x)是偶函數(shù).
③若f(x)圖象既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),又關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù).
④若f(x)的圖象既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),又不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
(3)性質(zhì)法:
①偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù);
②奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù);
③奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);
④一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù).
[活學(xué)活用]
1.判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)f(x)=x2(x2+2);
(2)f(x)=|x+1|-|x-1|;
(3)f(x)=.
解:(1)∵x∈R,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
又∵f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x),
∴f(x)為偶函數(shù).
(2)∵x∈R,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
又∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|
=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)
=-f(x),
∴f(x)為奇函數(shù).
(3)f(x)的定義域?yàn)閇-1,0)∪(0,1],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
又∵f(-x)==-=-f(x).
利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
∴f(x)為奇函數(shù).
[例2] (1)若函數(shù)f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù),定義域?yàn)閇a-1,2a],則a=________,b=________;
(2)已知函數(shù)f(x)=ax2+2x是奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a=________.
[解析] (1)因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以a-1=-2a,解得a=.
又函數(shù)f(x)=x2+bx+b+1為二次函數(shù),結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(diǎn),易得b=0.
(2)由奇函數(shù)定義有f(-x)+f(x)=0,得a(-x)2+2(-x)+ax2+2x=2ax2=0,故a=0.
[答案] (1) 0 (2)0
利用奇偶性求參數(shù)的常見(jiàn)類(lèi)型
(1)定義域含參數(shù):奇偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),利用a+b=0求參數(shù).
(2)解析式含參數(shù):根據(jù)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比較系數(shù)利用待定系數(shù)法求解.
[活學(xué)活用]
2.設(shè)函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則a=________.
解析:∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),
即=-.
顯然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,
故a+1=0,得a=-1.
答案:-1
利用函數(shù)的奇偶性求解析式
[例3] 若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-2x+3,求f(x)的解析式.
[解] 當(dāng)x<0時(shí),-x>0,
f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,由于f(x)是奇函數(shù),故f(x)=-f(-x),所以f(x)=-x2-2x-3.
即當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-x2-2x-3.
故f(x)=
[一題多變]
1.[變?cè)O(shè)問(wèn)]本例條件不變,求f(-2)的值.
解:因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(-2)=-f(2)=-(22-22+3)=-3.
2.[變條件]若把本例中的奇函數(shù)改為偶函數(shù),其他條件不變,求當(dāng)x<0時(shí),f(x)的解析式.
解:當(dāng)x<0時(shí),-x>0,
f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,由于f(x)是偶函數(shù),故f(x)=f(-x),所以f(x)=x2+2x+3,
即當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+2x+3.
利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式3個(gè)步驟
(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”,即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式,x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè);
(2)轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,代入已知的解析式;
(3)利用f(x)的奇偶性寫(xiě)出-f(x)或f(-x),從而解出f(x).
函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合
題點(diǎn)一:比較大小問(wèn)題
1.已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,則f(1)和f(-10)的大小關(guān)系為( )
A.f(1)>f(-10) B.f(1)f(10),即f(1)>f(-10).
題點(diǎn)二:區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題
2.若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上的最小值是6,那么f(x)在區(qū)間[-5,-2]上有( )
A.最小值6 B.最小值-6
C.最大值-6 D.最大值6
解:選C 因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在[2,5]上有最小值6,所以可設(shè)a∈[2,5],有f(a)=6.由奇函數(shù)的性質(zhì),f(x)在[-5,-2]上必有最大值,且最大值為f(-a)=-f(a)=-6.
題點(diǎn)三:解不等式問(wèn)題
3.設(shè)定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),若f(1-m)f(x2)或f(x1)f(3)>f(-2)
B.f(-π)>f(-2)>f(3)
C.f(3)>f(-2)>f(-π)
D.f(3)>f(-π)>f(-2)
解析:選A ∵f(x)是R上的偶函數(shù),
∴f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),
又f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且2<3<π,
∴f(π)>f(3)f(3)>f(-2).
6.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+1,則f(-2)+f(0)=________.
解析:由題意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,∴f(-2)+f(0)=-5.
答案:-5
7.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x+1,則x>0時(shí),f(x)=________.
解析:當(dāng)x>0時(shí),-x<0,∴f(-x)=-x+1,又f(x)為偶函數(shù),∴f(x)=-x+1.
答案:-x+1
8.已知y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+ax,且f(3)=6,則a的值為_(kāi)_______.
解析:因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a(-3)=-6,解得a=5.
答案:5
9.已知函數(shù)f(x)=x+,且f(1)=3.
(1)求m的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.
解:(1)由題意知,f(1)=1+m=3,
∴m=2.
(2)由(1)知,f(x)=x+,x≠0.
∵f(-x)=(-x)+=-=-f(x),
∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
10.(1)如圖①,給出奇函數(shù)y=f(x)的局部圖象,試作出y軸右側(cè)的圖象并求出f(3)的值.
(2)如圖②,給出偶函數(shù)y=f(x)的局部圖象,試作出y軸右側(cè)的圖象并比較f(1)與f(3)的大?。?
解:(1)奇函數(shù)y=f(x)在y軸左側(cè)圖象上任一點(diǎn)P(-x,-f(-x))關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′(x,f(x)),圖③為圖①補(bǔ)充后的圖象,易知f(3)=-2.
(2)偶函數(shù)y=f(x)在y軸左側(cè)圖象上任一點(diǎn)P(-x,f(-x))關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′(x,f(x)),圖④為圖②補(bǔ)充后的圖象,易知f(1)>f(3).
層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又是在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)為( )
A.y= B.y=
C.y=x2 D.y=x
解析:選A 易判斷A、C為偶函數(shù),B、D為奇函數(shù),但函數(shù)y=x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以選A.
2.若f(x)=(x-a)(x+3)為R上的偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.-3 B.3 C.-6 D.6
解析:選B 因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即(-x-a)(-x+3)=(x-a)(x+3),化簡(jiǎn)得(6-2a)x=0.因?yàn)閤∈R,所以6-2a=0,即a=3.
3.若函數(shù)f(x)(f(x)≠0)為奇函數(shù),則必有( )
A.f(x)f(-x)>0 B.f(x)f(-x)<0
C.f(x)f(-x)
解析:選B ∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),
又f(x)≠0,
∴f(x)f(-x)=-[f(x)]2<0.
4.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則滿(mǎn)足f(2x-1)2m-3,所以m<2.
又f(x)的定義域?yàn)?-1,1),
所以-1
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浙江專(zhuān)版2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)
第一章
集合與函數(shù)概念
1.3
函數(shù)的基本性質(zhì)學(xué)案
新人教A版必修1
浙江
專(zhuān)版
2017
2018
學(xué)年
高中數(shù)學(xué)
集合
函數(shù)
概念
基本
性質(zhì)
新人
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