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課時分層作業(yè) 三十三 數(shù)列的綜合應用
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.已知a,b,c是三個不同的實數(shù),若a,b,c成等差數(shù)列,且b,a,c成等比數(shù)列,則a∶b∶c為 ( )
A.2∶1∶4 B.(-2)∶1∶4
C.1∶2∶4 D.1∶(-2)∶4
【解析】選B.由a,b,c成等差數(shù)列,設a=m-d,b=m,c=m+d,d≠0,
因為b,a,c成等比數(shù)列,所以a2=bc,即(m-d)2=m(m+d),
化簡,得d=3m,則a=-2m,b=m,c=4m,
所以a∶b∶c=(-2)∶1∶4.
2.設y=f(x)是一次函數(shù),若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于 ( )
A.n(2n+3) B.n(n+4)
C.2n(2n+3) D.2n(n+4)
【解析】選A.由題意可設f(x)=kx+1(k≠0),則(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(22+1)+(24+1)+…+(22n+1)=n(2n+3).
3.若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個不同的零點,且a,b,-2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列,也可適當排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】選D.由題可知a,b是x2-px+q=0的兩根,
所以a+b=p>0,ab=q>0,故a,b均為正數(shù).
因為a,b,-2適當排序后成等比數(shù)列,
所以-2是a,b的等比中項,所以ab=4,
所以q=4.又a,b,-2適當排序后成等差數(shù)列,
所以-2是第一項或第三項,不妨設a
0,
所以a=1,此時b=4,
所以p=a+b=5,
所以p+q=9.
當b0且q≠1),由a3=a2+a1,得q2-q-1=0,解得q=,而===.
答案:
5.(2018宜賓模擬)數(shù)列{an}的通項an=n(cos2-sin2),其前n項和為Sn,則S40為 ( )
A.10 B.15 C.20 D.25
【解析】選C.由題意得,an=n(cos2-sin2)=ncos,
則a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…,
于是a2n-1=0,a2n=(-1)n2n,
則S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+a6+…+a40)
=-2+4-…+40=20.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.對于每一個正整數(shù)n,設曲線y=xn+2在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,令an=log2xn,則a1+a2+a3+…+a62=________.
【解析】因為y′=(n+2)xn+1,當x=1時,y′=n+2,
所以曲線y=xn+2在點(1,1)處的切線方程為y=(n+2)x-(n+1),令y=0,得xn=.
所以an=log2xn=log2.
所以a1+a2+a3+…+a62=
log2=log2=-5.
答案:-5
7.某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________.
【解析】每天植樹的棵數(shù)構成以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,其前n項和Sn===2n+1-2.由2n+1-2≥100,得2n+1≥102,由于26=64,27=128,則n+1≥7,即n≥6.
答案:6
8.(2018襄陽模擬)用g(n)表示自然數(shù)n的所有因數(shù)中最大的那個奇數(shù),例如:9的因數(shù)有1,3,9,則g(9)=9,10的因數(shù)有1,2,5,10,g(10)=5,那么g(1)+g(2)+…+g(2n-1)=________.
世紀金榜導學號37680545
【解析】由g(n)的定義易知g(n)=g(2n),且若n為奇數(shù)則g(n)=n,
令f(n)=g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2n-1)
則f(n+1)=g(1)+g(2)+g(3)+…g(-1)
=1+3+…+(-1)+g(2)+g(4)+…+g(-2)
=+g(1)+g(2)+…+g(2n-1)=4n+f(n),
即f(n+1)-f(n)=4n,據(jù)此可得:
f(1)=1,f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,…,
f(n)-f(n-1)=4n-1,
以上各式相加可得:f(n)==.
答案:
三、解答題(每小題10分,共20分)
9.(2018南寧模擬)某體育場一角的看臺共有20排,且此看臺的座位是這樣排列的:第一排有2個座位,從第二排起每一排比前一排多1個座位,記an表示第n排的座位數(shù).
(1)確定此看臺共有多少個座位.
(2)求數(shù)列的前20項和S20.
【解析】(1)由題可知數(shù)列{an}是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,
所以an=2+n-1=n+1(1≤n≤20).
所以此看臺的座位數(shù)為=230.
(2)因為==-,
所以S20=1-+-+…+-=1-=.
10.已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d.對任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中項.
(1)設cn=-,n∈N*,求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.
(2)設a1=d,Tn=(-1)k,n∈N*,求證:<.
【解析】(1)cn=-=an+1an+2-anan+1
=2dan+1.
cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2為定值.
所以數(shù)列是等差數(shù)列.
(2)Tn=(-1)k=c1+c3+…+c2n-1=nc1+4d2=nc1+2d2n(n-1)(*).
由已知c1=-=a2a3-a1a2=2da2=2d(a1+d)=4d2,
將c1=4d2代入(*)式得Tn=2d2n(n+1),
所以=
=
=<,得證.
【變式備選】已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象的頂點坐標為,且過坐標原點O.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N*)在二次函數(shù)y=f(x)的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)設bn=anan+1cos(n+1)π(n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,若Tn≥tn2對n∈N*恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
【解題指南】(1)由已知可得數(shù)列{an}的前n項和Sn的公式,再利用an= 求得數(shù)列{an}的通項公式.
(2)分n為奇數(shù)與偶數(shù)先求出Tn,Tn≥tn2對n∈N*恒成立,通過分離參數(shù)t轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,即可求得實數(shù)t的取值范圍.
【解析】(1)由題意可知f(x)=(x+1)2-.
所以Sn=(n+1)2-=n2+n(n∈N*).
當n≥2時,an=Sn-Sn-1
=n2+n-=.
當n=1時a1=S1=1適合上式,
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=(n∈N*).
(2)因為bn=anan+1cos(n+1)π(n∈N*),
所以Tn=b1+b2+…+bn
=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1anan+1,
由(1)可知,數(shù)列{an}是以1為首項,公差為的等差數(shù)列.
①當n=2m,m∈N*時,
Tn=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)2m-1a2ma2m+1
=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2m(a2m-1-a2m+1)
=-(a2+a4+…+a2m)
=-m
=-(8m2+12m)
=-(2n2+6n).
②當n=2m-1,m∈N*時,
Tn=T2m-1=T2m+(-1)2ma2ma2m+1
=-(8m2+12m)+(16m2+16m+3)
=(8m2+4m+3)=(2n2+6n+7).
所以Tn=
要使Tn≥tn2對n∈N*恒成立,
只要使-(2n2+6n)≥tn2(n為正偶數(shù))恒成立.
即使-≥t對n為正偶數(shù)恒成立,
故實數(shù)t的取值范圍是.
1.(5分)某學校餐廳每天供應500名學生用餐,每星期一有A,B兩種菜可供選擇.調(diào)查資料表明,凡是在星期一選A種菜的學生,下星期一會有20%改選B種菜;而選B種菜的學生,下星期一會有30%改選A種菜.用an,bn分別表示在第n個星期的星期一選A種菜和選B種菜的學生人數(shù),若a1=300,則an+1與an的關系可以表示為 ( )
A.an+1=an+150 B.an+1=an+200
C.an+1=an+300 D.an+1=an+180
【解析】選A.由題意得第n+1個星期的星期一選A種菜的學生人數(shù)an+1應滿足消去bn,得an+1=an+150.
2.(5分)(2018鄭州模擬)已知f′(x)=2x+m,且f(0)=0,函數(shù)f(x)的圖象在點A(1,f(1))處的切線的斜率為3,數(shù)列的前n項和為Sn,則S2 018的值為
( )
A. B.
C. D.
【解析】選B.由題意f′(1)=2+m=3,所以m=1,
所以f′(x)=2x+1,又f(0)=0可得f(x)=x2+x,
則===-,
所以S2 018=1-+-+…+-=1-=.
【變式備選】已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù),且對任意的正數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足f(Sn+2)-f(an)=
f(3)(n∈N*),則an為( )
A.2n-1 B.n
C.2n-1 D.
【解析】 選D.由f(Sn+2)=f(an)+f(3)(n∈N*),得Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),
兩式相減得,2an=3an-1(n≥2),即=.
當n=1時,S1+2=3a1=a1+2,解得a1=1,
所以數(shù)列{an}是首項為1,公比為的等比數(shù)列,則an=.
3.(5分)已知等比數(shù)列{an}中,各項都是正數(shù),且a1,a3,2a2成等差數(shù)列,則=________.
【解析】因為 a1,a3,2a2成等差數(shù)列,所以 2a3=a1+2a2,即a3=a1+2a2,設等比數(shù)列{an}的公比為q且q>0,則a3=a1q2,a2=a1q,所以 a1q2=a1+2a1q,所以 q2=1+2q,解得q1=1+,q2=1-(舍),==q2=(+1)2=3+2.
答案:3+2
4.(12分)已知數(shù)列{an}的首項a1=,an+1=,n∈N*.
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列.
(2)記Sn=++…+,若Sn<100,求最大正整數(shù)n.
【解析】(1)由an+1=可得=+,
所以-1=-=.
又因為-1=≠0,所以-1≠0(n∈N*).
所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.
(2)由(1)可得-1=,
所以=2+1.
Sn=++…+=n+2
=n+2=n+1-,
若Sn<100,則n+1-<100,
所以滿足條件的最大正整數(shù)n為99.
5.(13分)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,首項a1=1,公比q>0,其前n項和為Sn,且S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)若數(shù)列{bn}滿足an+1=,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,若Tn≥m恒成立,求m的最大值.
【解析】(1)由題意可知:2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2),即2(a1+a2+2a3)=(a1+a1)+(a1+2a2),
即4a3=a1,所以q2=,因為q>0,所以q=,
因為a1=1,所以an=,n∈N*.
(2)因為an+1=,
所以=,
所以bn=n2n-1,
所以Tn=11+22+322+…+n2n-1,①
所以2Tn=12+222+323+…+n2n,②
所以①-②得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n2n
=-n2n=(1-n)2n-1,
所以Tn=1+(n-1)2n.
因為Tn≥m恒成立,只需(Tn)min≥m.
因為Tn+1-Tn=n2n+1-(n-1)2n=(n+1)2n>0,
所以數(shù)列{Tn}為遞增數(shù)列,故當n=1時,(Tn)min=1,
所以m≤1,所以m的最大值為1.
（全國通用版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第五章 數(shù)列 課時分層作業(yè) 三十三 5.5 數(shù)列的綜合應用 文.doc
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