（浙江專版）2019版高考數學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質學案 理.doc

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第5節(jié)　直線、平面垂直的判定及其性質 最新考綱　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的垂直關系的簡單命題． 知 識 梳 理 1．直線與平面垂直 (1)直線和平面垂直的定義 如果一條直線l與平面α內的任意直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直． (2)判定定理與性質定理 文字語言 圖形表示 符號表示 判定定理 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 ?l⊥α 性質定理 兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行 ?a∥b 2.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直． (2)判定定理與性質定理 文字語言 圖形表示 符號表示 判定定理 一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直 ?α⊥β 性質定理 如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 ?l⊥α [常用結論與微點提醒] 1．垂直關系的轉化 2．直線與平面垂直的五個結論 (1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內的任意直線． (2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面． (3)垂直于同一條直線的兩個平面平行． (4)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直． (5)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直． 診 斷 自 測 1．思考辨析(在括號內打“√”或“”) (1)直線l與平面α內的無數條直線都垂直，則l⊥α.(　　) (2)垂直于同一個平面的兩平面平行．(　　) (3)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面．(　　) (4)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數條直線，則α⊥β.(　　) 解析　(1)直線l與平面α內的無數條直線都垂直，則有l(wèi)⊥α或l與α斜交或l?α或l∥α，故(1)錯誤． (2)垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，故(2)錯誤． (3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內，故(3)錯誤． (4)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的所有直線，則α⊥β，故(4)錯誤． 答案　(1)　(2)　(3)　(4) 2．(必修2P56A組7T改編)下列命題中錯誤的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面β 解析　對于D，若平面α⊥平面β，則平面α內的直線可能不垂直于平面β，即與平面β的關系還可以是斜交、平行或在平面β內，其他選項易知均是正確的． 答案　D 3．(2016浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 解析　因為α∩β＝l，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l， 故選C. 答案　C 4．(2017全國Ⅲ卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則(　　) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 解析　如圖，由題設知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1?平面BCC1B1，從而A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1. 答案　C 5．(2017浙江名校協作體聯考)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中，(　　) A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直 B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直 C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直 D．對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直 解析　若AB⊥CD，BC⊥CD，則可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因為AB＝1，BC＝AD＝，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某個位置，使得AB⊥CD. 答案　B 6．(必修2P67練習2改編)在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O， (1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心． (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心． 解析　(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC，即O為△ABC的外心． 　　 　　 　　圖1　 　　　　　　圖2 (2)如圖2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， ∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB， ∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P， ∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG， 即CG為△ABC邊AB的高． 同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心． 答案　(1)外　(2)垂  考點一　線面垂直的判定與性質 【例1】 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 證明　(1)在四棱錐P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD， 又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC， ∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60，可得AC＝PA. ∵E是PC的中點，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD， ∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. 規(guī)律方法　(1)證明直線和平面垂直的常用方法有： ①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α)． (2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想． 【訓練1】 如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD＝DB，點C為圓O上一點，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB. 求證：PA⊥CD. 證明　因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB. 在Rt△ABC中，由AC＝BC得，∠ABC＝30. 設AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2. 由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DBBCcos 30＝3， 所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB. 因為PD⊥平面ABC，CD?平面ABC， 所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D得，CD⊥平面PAB， 又PA?平面PAB，所以PA⊥CD. 考點二　面面垂直的判定與性質 【例2】 (2017江蘇卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 證明　(1)在平面ABD內，AB⊥AD，EF⊥AD， 則AB∥EF. ∵AB?平面ABC，EF?平面ABC， ∴EF∥平面ABC. (2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD. ∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B， ∴AD⊥平面ABC，又因為AC?平面ABC，∴AD⊥AC. 規(guī)律方法　(1)證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理． (2)已知兩平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化，在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直． 【訓練2】 (2017山東卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱錐C1－B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1E⊥平面ABCD. (1)證明：A1O∥平面B1CD1； (2)設M是OD的中點，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1. 證明　(1)取B1D1的中點O1，連接CO1，A1O1， 由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC， 因此四邊形A1OCO1為平行四邊形， 所以A1O∥O1C， 又O1C?平面B1CD1，A1O?平面B1CD1， 所以A1O∥平面B1CD1. (2)因為AC⊥BD，E，M分別為AD和OD的中點， 所以EM⊥BD， 又A1E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以A1E⊥BD， 因為B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1， 又A1E，EM?平面A1EM，A1E∩EM＝E， 所以B1D1⊥平面A1EM， 又B1D1?平面B1CD1， 所以平面A1EM⊥平面B1CD1. 考點三　平行與垂直的綜合問題(多維探究) 命題角度1　多面體中平行與垂直關系的證明 【例3－1】 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證： (1)直線DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 證明　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC. 在△ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點， 所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 又因為DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F， 所以直線DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1. 因為A1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1. 又因為A1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因為B1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D. 又因為B1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F. 因為直線B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F. 規(guī)律方法　(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化． (2)垂直與平行的結合問題，求解時應注意平行、垂直的性質及判定的綜合應用． 命題角度2　平行垂直中探索性問題 【例3－2】 如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點F為CE的中點． (1)證明：AE∥平面BDF. (2)點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PM⊥BE？若存在，確定點P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由． (1)證明　 連接AC交BD于O，連接OF，如圖①. ∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點，又F為EC的中點， ∴OF為△ACE的中位線， ∴OF∥AE，又OF?平面BDF，AE?平面BDF， ∴AE∥平面BDF. (2)解　當P為AE中點時，有PM⊥BE， 證明如下：取BE中點H，連接DP，PH，CH，∵P為AE的中點，H為BE的中點， ∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四點共面． ∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD?平面ABCD，CD⊥BC. ∴CD⊥平面BCE，又BE?平面BCE， ∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H為BE的中點，∴CH⊥BE， 又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM?平面DPHC， ∴BE⊥PM，即PM⊥BE. 規(guī)律方法　(1)求條件探索性問題的主要途徑：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性． (2)涉及點的位置探索性問題一般是先根據條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據相似知識建點． 【訓練3】 (2018嘉興七校聯考)在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC＝，AB＝2BC＝2，AC⊥FB. (1)求證：AC⊥平面FBC. (2)求四面體FBCD的體積． (3)線段AC上是否存在點M，使EA∥平面FDM？若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由． (1)證明　在△ABC中， 因為AC＝，AB＝2，BC＝1，所以AC2＋BC2＝AB2， 所以AC⊥BC. 又因為AC⊥FB，BC∩FB＝B， 所以AC⊥平面FBC. (2)解　因為AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，所以AC⊥FC. 因為CD⊥FC，AC∩CD＝C，所以FC⊥平面ABCD. 在等腰梯形ABCD中可得CB＝DC＝1，所以FC＝1. 所以△BCD的面積為S＝. 所以四面體FBCD的體積為VF－BCD＝SFC＝. (3)解　線段AC上存在點M，且點M為AC中點時，有EA∥平面FDM.證明如下： 連接CE，與DF交于點N，取AC的中點M，連接MN. 因為四邊形CDEF是正方形， 所以點N為CE的中點． 所以EA∥MN.因為MN?平面FDM，EA?平面FDM， 所以EA∥平面FDM. 所以線段AC上存在點M，且M為AC的中點，使得EA∥平面FDM成立． 基礎鞏固題組 一、選擇題 1．(2018紹興檢測)已知平面α⊥平面β，且α∩β＝b，a?α，則“a⊥b”是“a⊥β”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　平面α⊥平面β，且α∩β＝b，a?α，若a⊥b，則a⊥β，充分性成立；平面α⊥平面β，因為α∩β＝b，所以b?β，若a⊥β，則a⊥b，必要性成立，所以“a⊥b”是“a⊥β”的充要條件，故選C. 答案　C 2．(2015浙江卷)設α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β(　　) A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥m C．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m 解析　由面面垂直的判定定理，可知A選項正確；B選項中，l與m可能平行；C選項中，α與β可能相交；D選項中，l與m可能異面． 答案　A 3．若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為(　　) A．過點P垂直于平面α的直線平行于平面β B．過點P垂直于直線l的直線在平面α內 C．過點P垂直于平面β的直線在平面α內 D．過點P且在平面α內垂直于l的直線必垂直于平面β 解析　由于過點P垂直于平面α的直線必平行于平面β內垂直于交線的直線，因此也平行于平面β，因此A正確．過點P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內，因此B不正確．根據面面垂直的性質定理知，選項C，D正確． 答案　B 4．如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 解析　因為BC∥DF，DF?平面PDF， BC?平面PDF， 所以BC∥平面PDF，故選項A正確． 在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E， ∴BC⊥平面PAE，DF∥BC，則DF⊥平面PAE，又DF?平面PDF，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項B，C均正確． 答案　D 5．(2017麗水調研)設l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是(　　) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，則l∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 解析　A中，α∥β或α與β相交，不正確．B中，過直線l作平面γ，設α∩γ＝l′，則l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，從而α⊥β，B正確．C中，l∥β或l?β，C不正確．D中，l與β的位置關系不確定． 答案　B 6．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結論： ①BD⊥AC； ②△BAC是等邊三角形； ③三棱錐D－ABC是正三棱錐； ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正確的是(　　) A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 解析　由題意知，BD⊥平面ADC，且AC?平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯． 答案　B 二、填空題 7．如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數為________． 解析　∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形． 答案　4 8．(2018杭州質檢)設α，β是兩個不同的平面，m是一條直線，給出下列命題： ①若m⊥α，m?β，則α⊥β； ②若m∥α，α⊥β，則m⊥β. 其中真命題是__________(填序號)． 解析　由面面垂直的判定定理可知①是真命題；若m∥α，α⊥β，則m，β的位置關系不確定，可能平行、相交或m?β，則②是假命題． 答案?、? 9.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為正確的條件即可)． 解析　由題意可知，BD⊥PC. ∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有PC⊥平面MBD. 又PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等) 10．(2016全國Ⅱ卷改編)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線． (1)如果m⊥α，n∥α，那么m，n的位置關系是________； (2)如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角的大小關系是________． 解析　(1)由線面平行的性質定理知存在直線l?α，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n. (2)因為m∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因為α∥β，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等． 答案　(1)垂直　(2)相等 三、解答題 11．如圖，在三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分別為AB，PA的中點． (1)求證：PB∥平面MNC； (2)若AC＝BC，求證：PA⊥平面MNC. 證明　(1)因為M，N分別為AB，PA的中點，所以MN∥PB. 又因為MN?平面MNC，PB?平面MNC，所以PB∥平面MNC. (2)因為PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN. 因為AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. 因為平面PAB⊥平面ABC， CM?平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB. 所以CM⊥平面PAB. 因為PA?平面PAB，所以CM⊥PA. 又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC. 12．(2016北京卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求證：DC⊥平面PAC； (2)求證：平面PAB⊥平面PAC； (3)設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由． (1)證明　因為PC⊥平面ABCD， 所以PC⊥DC.又因為AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC. (2)證明　因為AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC. 因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB. 又因為PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC. 又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC. (3)解　棱PB上存在點F，使得PA∥平面CEF. 理由如下：取PB的中點F，連接EF，CE，CF，又因為E為AB的中點，所以EF∥PA.又因為PA?平面CEF，且EF?平面CEF， 所以PA∥平面CEF. 能力提升題組 13．(2018舟山調研)在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分別是線段PB，PC上的動點，則下列說法錯誤的是(　　) A．當AE⊥PB時，△AEF一定為直角三角形 B．當AF⊥PC時，△AEF一定為直角三角形 C．當EF∥平面ABC時，△AEF一定為直角三角形 D．當PC⊥平面AEF時，△AEF一定為直角三角形 解析　因為AP⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AP⊥BC，又AB⊥BC，且PA和AB是平面PAB內兩條相交直線，則BC⊥平面PAB，又AE?平面PAB，所以BC⊥AE，當AE⊥PB時，AE⊥平面PBC，又EF?平面PBC，則AE⊥EF，△AEF一定是直角三角形，A正確；當EF∥平面ABC時，EF在平面PBC內，平面PBC與平面ABC相交于BC，則EF∥BC，則EF⊥AE，△AEF一定是直角三角形，C正確；當PC⊥平面AEF時，AE⊥PC，又AE⊥BC，則AE⊥平面PBC，又EF?平面PBC，所以AE⊥EF，△AEF一定是直角三角形，D正確；B中結論無法證明． 答案　B 14．(2017諸暨調研)如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內的射影為O，則下列說法正確的是(　　) A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的內心 C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心 解析　由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直， 所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF， 而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P， 所以EF⊥平面PAO， ∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO， ∴O為△AEF的垂心． 答案　A 15.如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結論中： ①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45. 其中正確的有________(把所有正確的序號都填上)． 解析　由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE， 又由正六邊形的性質得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴AE⊥PB，①正確；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯；由正六邊形的性質得BC∥AD，又AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45，∴④正確． 答案?、佗? 16.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90，BC＝CD＝AD. (1)在平面PAD內找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由． (2)證明：平面PAB⊥平面PBD. (1)解　取棱AD的中點M(M∈平面PAD)，點M即為所求的一個點，理由如下： 因為AD∥BC，BC＝AD.所以BC∥AM，且BC＝AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB. 又AB?平面PAB.CM?平面PAB. 所以CM∥平面PAB. (說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點) (2)證明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD. 因為AD∥BC，BC＝AD， 所以直線AB與CD相交， 所以PA⊥平面ABCD. 又BD?平面ABCD， 從而PA⊥BD. 因為AD∥BC，BC＝AD， M為AD的中點，連接BM， 所以BC∥MD，且BC＝MD. 所以四邊形BCDM是平行四邊形， 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB. 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB. 又BD?平面PBD， 所以平面PAB⊥平面PBD. 17．如圖，三棱臺DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點． (1)求證：BD∥平面FGH； (2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH. 證明　(1)連接DG，CD，設CD∩GF＝M，連接MH. 在三棱臺DEF－ABC中， AB＝2DE，G為AC中點， 可得DF∥GC，且DF＝GC， 則四邊形DFCG為平行四邊形． 從而M為CD的中點， 又H為BC的中點， 所以HM∥BD，又HM?平面FGH，BD?平面FGH， 故BD∥平面FGH. (2)連接HE，因為G，H分別為AC，BC的中點， 所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC. 又H為BC的中點，所以EF∥HC，EF＝HC， 因此四邊形EFCH是平行四邊形， 所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC. 又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H， 所以BC⊥平面EGH. 又BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.