沖刺2019高考數(shù)學二輪復習 核心考點特色突破 專題13 立體幾何中的計算問題（含解析）.doc

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專題 13 立體幾何中的計算問題 自主熱身 歸納總結(jié) 1 若正三棱錐的底面邊長為 2 側(cè)棱長為 1 則此三棱錐的體積為 答案 6 解析 設此正三棱錐的高為 h 則 所以 312 h 3 h 故此三棱錐的體積 2 如圖 在長方體 ABCDA1B1C1D1中 AB AD 3 cm AA1 2 cm 則三棱錐 AB1D1D 的體積為 cm 3 答案 3 解析 VAB1D1D VB1AD1D S ADD1 A1B1 AD D1D A1B1 3 2 3 3 13 13 12 13 12 3 將一個正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周 所得圓柱的體積為 27 cm3 則該圓柱的側(cè)面 積為 cm2 答案 18 解析 設正方形的邊長為 x cm 則圓柱的體積為 x2 x 27 解得 x 3 所以該圓柱的側(cè)面積為 2 3 3 18 cm2 4 如圖 正四棱錐 PABCD 的底面一邊 AB 的長為 2 cm 側(cè)面積為 8 cm2 則它的體積為 cm3 3 3 答案 4 解析 如圖 過點 P 作 PO 垂直于底面 ABCD 且垂足為 O 在平面 ABCD 中 過點 O 作直線 AB 的垂線 垂足為 E 連結(jié) PE 由正四棱錐的性質(zhì)知 PE AB 所以 S 側(cè) 2 PE 4 8 解得 PE 2 在 Rt POE 中 PO 12 3 3 1 所以正四棱錐的體積為 2 2 1 4 PE2 EO2 22 3 13 3 5 已知正四棱柱的底面邊長為 3 cm 側(cè)面的 對角線長是 3 cm 則這個正四棱柱的體積是 cm3 5 答案 54 解析 設該正四棱柱的側(cè)棱長為 h cm 則 3 2 3 2 h 2 解得 h 6 負值舍去 從而這個正四棱柱5 的體積是 V 3 2 6 54 cm3 6 若圓錐的側(cè)面展開圖是面積為 3 且圓心角為 的扇形 則此圓錐的體積為 2 3 答案 223 7 現(xiàn)有一正四棱柱形鐵塊 底面邊長為高的 8倍 將其熔化鍛造成一個底面積不變的正四棱錐形鐵件 不 計材料損耗 設正四棱柱與正四棱錐的側(cè)面積分別為 1S 2 則 1的值為 答案 25 解析 設正四棱柱得高為 a 所以底面邊長為 8a 根據(jù)體積相等 且高相等 所以正四棱錐的高為 3a 則正棱錐側(cè)面的高為 所以 8 以一個圓柱的下底面為底面 并以圓柱的上底面圓心為頂點作圓錐 若所得的圓錐底面半徑等于圓錐 的高 則圓錐的側(cè)面積與圓柱的側(cè)面積之比為 答案 22 解析 如圖 由題意可得圓柱的側(cè)面積為 S1 2 rh 2 r2 圓錐的母線 l r 故圓錐的h2 r2 2 側(cè)面積為 S2 2 r l r2 所以 S2 S1 2 12 2 2 9 如圖 正三棱柱 ABCA1B1C1中 AB 4 AA1 6 若 E F 分別是棱 BB1 CC1上的點 則三棱錐 AA1EF 的體 積是 答案 23 解法 1 過 B 點作 EAC 垂足為 E 平面 ABC 平面 1AC 且平面 ABC 平面 1AC AC 所以 平面 1 又因為梯形 1D的面積為 6 所以 解法 2 而 132 所以四棱錐 1BACD 的體積為23 關聯(lián) 1 如圖 銅質(zhì)六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的 已知正六棱柱的底面邊長 高都為 4 cm 圓柱的底面積為 9 cm2 若將該螺帽熔化后鑄成一個高為 6 cm 的正三棱柱零件 則該正三3 棱柱的底面邊長為 cm 不計損耗 答案 2 由題意知 熔化前后的體積相等 熔化前的體積為 6 42 4 9 4 60 設所10 34 3 3 求正三棱柱的底面邊長為 x cm 則有 x2 6 60 解得 x 2 所以所求邊長為 2 cm 34 3 10 10 關聯(lián) 2 在棱長為 2 的正四面體 PABC 中 M N分別為 PA BC的中點 點 D是線段 PN上 一點 且 PDN 則三棱錐 D的體積為 答案 9 思路分析 解決空間幾何體的體積計算問題常常有兩個途徑 一是直接利用體積公式求解 另一種是利 用等體積轉(zhuǎn)化的思想進行計算 解題過程 連結(jié) MB C N 過點 D作 MNH 于 因為 BPA M 為 PA 的中點 所以PA 同理 PA 又因為 所以 又因為 所以 又因為 NDH 所以DH 從而 故 為點 D到平面 BC的高 在 中 MCB N 為 BC 的中點 則 MB的面積 在 NP中 因為 PDH 2PDN 所以 從而三棱錐 DBC 的體積 關聯(lián) 3 如圖 在正三棱柱 中 已知 點 P在棱1C 上 則三棱錐 1PAB 的體積為 答案 439 解析 因為正三棱柱 中 1 CA 因為 所以 因為點 P在棱 1上 所以點 到平面 BA1的距離就是點 P到 平面 BA1的距離 作 ABCD 垂直為點 D 因為正三棱柱 中 面 面 所以 1A 而 所以 因為正三棱柱 中 所以23 CD 1AB 的面積 所以三棱錐 1ABP 的體積 例 2 已知矩形 ABCD 的邊 AB 4 BC 3 若沿對角線 AC 折疊 使平面 DAC 平面 BAC 則三棱錐 DABC 的 體積為 答案 245 解析 在平面 DAC 內(nèi)作 DO AC 垂足為點 O 因為平面 DAC 平面 BAC 且平面 DAC 平面 BAC AC 所以 DO 平面 BAC 因為 AB 4 BC 3 所以 DO S ABC 3 4 6 所以三棱錐 DABC 的體積為 125 12 V 6 13 125 245 變式 1 已知一個空間幾何體的所有棱長均為 1 cm 其表面展開圖如圖所示 則該空 間幾何體的體積 V cm3 答案 216 解析 空間幾何體為一正方體和一正四棱錐的組合體 顯然 正方體的體 積為 1 正四棱錐的底面邊長為 1 側(cè)棱長為 1 所以 棱錐的高為 2 所以 正四棱錐的體積為 26 即組合體的體積為 216 變式 2 已知 ABC 為等腰直角三角形 斜邊 BC 上的中線 AD 2 將 ABC 沿 AD 折成 60 的二面角 連結(jié) BC 則三棱錐 C ABD 的體積為 答案 23 易錯警示 由于二面角平面角的概念在必做部分考查較少形成了復習中的知識盲點在邊長為 4 的正方形 ABCD 內(nèi)剪去四個全等的等腰三角形 如圖 1 中陰影部分 關聯(lián) 1 折疊成底面邊長為 的正四棱錐 SEFGH 如圖 2 則正四棱錐 SEFGH 的體積為 2 圖 1 圖 2 答案 43 解析 連結(jié) EG HF 交點為 O 正方形 EFGH 的對角線 EG 2 EO 1 則點 E 到線段 AB 的距離為 1 EB SO 2 故正四棱錐 SEFGH 的體積為 2 2 12 22 5 SE2 OE2 5 1 13 2 43 關聯(lián) 2 已知圓錐的底面半徑和高相等 側(cè)面積為 4 過圓錐的兩條母線作截面 截面為等邊三角 形 則圓錐底面中心到截面的距離為 答案 23 解析 設底面半徑為 r 由題意可得 母線長為 2r 又側(cè)面展開圖面積為 所以 又截面三角形 ABD 為等邊三角形 故 又 故 BODA為等角直角三角形 設圓 錐底面中心到截面的距離為 d 又 所以 又 2OBDS A r 故 關聯(lián) 3 如圖 在圓錐 VO 中 O 為底面圓心 半徑 OA OB 且 OA VO 1 則 O 到平面 VAB 的距離為 答案 33 思路分析 在立體幾何求點到平面的距離問題中 往往有兩種途徑 1 利用等體積法 這種方法一般不 需要作出高線 2 利用面面垂直的性質(zhì)作出高線 再進行計算 解法 1 因為 VO 平面 AOB OA 平面 AOB 所以 VO OA 同理 VO OB 又因為 OA OB OA VO OB 1 所以 VA VB AB 所以 S VAB VA ABsin60 設 O 到平面 VAB 的距離為 h 由 VVAOB VOVAB 得2 12 32 S AOB VO S VAB h 得 OA OB VO h 解得 h 13 13 12 32 33 解法 2 取 AB 中點 M 連結(jié) VM 過點 O 作 OH VM 于 H 因為 OA OB M 是 AB 中點 所以 OM AB 因為 VO 平面 AOB AB 平面 AOB 所以 VO AB 又因為 OM AB VO OM O 所以 AB 平面 VOM 又因為 AB 平面 VAB 所以面 VAB 平面 VOM 又因為 OH VM OH 平面 VOM 平面 VAB 平面 VOM VH 所以 OH 平 面 VAB 所以 OH 為點 O 到平面 VAB 的距離 且 OH VO OMVM 33 例 3 如圖 在直三棱柱 A1B1C1ABC 中 AB BC E F 分別是 A1B AC1的中點 1 求證 EF 平面 ABC 2 求證 平面 AEF 平面 AA1B1B 3 若 A1A 2 AB 2 BC 2 a 求三棱錐 FABC 的體積 解析 1 連結(jié) A1C 因為直三棱柱 A1B1C1ABC 中 四邊形 AA1C1C 是矩形 所以點 F 在 A1C 上 且為 A1C 的中點 在 A1BC 中 因為 E F 分別是 A1B A1C 的中點 所以 EF BC 2 分 又因為 BC 平面 ABC EF 平面 ABC 所以 EF 平面 ABC 4 分 2 因為在直三棱柱 A1B1C1ABC 中 B1B 平面 ABC 所以 B1B BC 因為 EF BC AB BC 所以 AB EF B1B EF 6 分 因為 B1B AB B 所以 EF 平面 ABB1A1 8 分 因為 EF 平面 AEF 所以平面 AEF 平面 ABB1A1 10 分 3 VFABC VA1ABC S ABC AA1 12 分 12 12 13 a2 2a 14 分 12 13 12 a36 變式 1 如圖 在五面體 ABCDEF中 已知 平面 ABCD o60BAD 2 1DEF 1 求證 BCEF 2 求三棱錐 D 的體積 解析 1 因為 A 平面 ADEF BC 平面 ADEF 所以 BC平面 EF 3 分 又 平面 平面 BC 平面 所以 6 分 2 如圖 在平面 AD內(nèi)過點 B 作 HA 于點 因為 DE 平面 ABC H 平面 ABCD 所以 EBH 又 AD E 平面 AF 所以 H平面 F 所以 是三棱錐 E 的高 9 分 在直角三角形 AB中 o60 2AB 所以 3 因為 DE 平面 C D 平面 C 所以 DEA 又由 1 知 F 且 所以 F 所以 EF 12 分 所以三棱錐 B 的體積 14 分 易錯警示 在證明線線 線面 面面的位置關系時 一定要注意條件的完備性 不能少寫條件 另外 在 求幾何體的體積時 一定要證明某條線為高的原因 即證明它與某個平面垂直 否則將導致丟分 變式 2 如圖 在矩形 ABCD 中 AD 2 AB 4 E F 分別為邊 AB AD 的中點 現(xiàn)將 ADE 沿 DE 折起 得四棱錐 ABCDE 1 求證 EF 平面 ABC 2 若平面 ADE 平面 BCDE 求四面體 FDCE 的體積 解析 1 證法 1 如圖 1 取線段 AC 的中點 M 連結(jié) MF MB 因為 F M 為 AD AC 的中點 所以 MF CD 且 MF CD 12 圖 1 在折疊前 四邊形 ABCD 為矩形 E 為 AB 的中點 所以 BE CD 且 BE CD 12 所以 MF BE 且 MF BE 所以四邊形 BEFM 為平行四邊形 故 EF BM 又 EF 平面 ABC BM 平面 ABC 所以 EF 平面 ABC 證法 2 如圖 2 延長 DE 交 CB 的延長線于點 N 連結(jié) AN 在折疊前 四邊形 ABCD 為矩形 E 為 AB 的中點 所以 BE CD 且 BE CD 12 圖 2 所以 NBE NCD NEB NDC 所以 NEB NDC 所以 即 E 為 DN 的中點 NEND BECD 12 又 F 為 AD 的中點 所以 EF NA 又 EF 平面 ABC NA 平面 ABC 所以 EF 平面 ABC 證法 3 如圖 3 取 CD 的中點 O 連結(jié) OE OF 圖 3 2 解法 1 在折疊前 四邊形 ABCD 為矩形 AD 2 AB 4 E 為 AB 的中點 所以 A DE CBE 都是等腰 直角三角形 且 AD AE EB BC 2 所以 DEA CEB 45 且 DE EC 2 2 又 DEA DEC CEB 180 所以 DEC 90 即 DE CE 又平面 ADE 平面 BCDE 平面 ADE 平面 BCDE DE CE 平面 BCDE 所以 CE 平面 ADE 即 CE 為三棱錐 CEFD 的高 因為 F 為 AD 的中點 所以 S EFD AD AE 2 2 1 12 12 14 所以四面體 FDCE 的體積 V S EFD CE 1 2 13 13 2 2 23 解法 2 如圖 4 過 F 作 FH DE H 為垂足 圖 4 因為平面 ADE 平面 BCDE 平面 ADE 平面 BCDE DE FH 平面 ADE 所以 FH 平面 BCDE 即 FH 為三棱 錐 FECD 的高 在折疊前 四邊形 ABCD 為矩形 且 AD 2 AB 4 E 為 AB 的中點 所以 ADE 是等腰直角三角形 又 F 為 AD 的中點 所以 DF 1 所以 FH DF sin4 5 22 又 S EDC CD BC 4 2 4 12 12 所以四面體 FDCE 的體積 V S EDC FH 4 13 13 22 2 23 解法 3 如圖 5 過 A 作 AG DE G 為垂足 圖 5 因為平面 ADE 平面 BCDE 平面 ADE 平面 BCDE DE AG 平面 ADE 所以 AG 平面 BCDE 即 AG 為三棱 錐 AECD 的高 在折疊前 四邊形 ABCD 為矩形 且 AD 2 AB 4 E 為 AB 的中點 所以 ADE 是等腰直角三角形 所以 AG AD sin45 2 又 S EDC DC BC 4 2 4 12 12 所以三棱錐 AECD 的體積 VAECD S EDC AG 4 13 13 2 4 23 因為 F 為 AD 的中點 所以 S EFD S EAD 12 所以 VCEFD VCEAD VAECD 12 12 2 23 即四面體 FDCE 的體積為 2 23 關聯(lián) 如圖 直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形 ADC 120 AA 1 AB 1 點 O1 O 分別 是上 下底面菱形的對角線的交點 1 求證 A 1O 平面 CB1D1 2 求點 O 到平面 CB1D1的距離 解析 1 因為 AA1 C C 1且 AA1 C C 1 所以四邊形 A1ACC1是 平行四邊形 所以 AC A 1C1且 AC A 1C1 因為 O1 O 分別是 A1C1 AC 的中點 故 O C A 1O1且 O C A 1O1 所以四邊形 A1O1C O 為平行四邊形 所以 A1O O 1C 又 A1O 平面 CB1D1 O 1C 平面 CB1D1 所以 A1O 平面 CB1D1 2 解法 1 等體積法 設點 O 到平面 CB1D1的距離為 h 因為 D1D 平面 ABCD 所以 D1D C O 因為 AC BD 為菱形 ABCD 的對角線 所以 C O BD 因為 D1D BD D 所以 C O 平面 BB1D1D 在菱形 ABCD 中 BC 1 BCD 60 C O 32 解法 2 作垂線 因為 AA1 平面 A1B1C1D1 所以 AA1 B 1D1 因為 A1C1 B1D1為菱形 A1B1C1D1的對角線 所以 B1D1 A 1C1 因為 AA1 A 1C1 A 1 所以 B1D1 平面 AA1C1C 因為 B1D1 平面 CB1D1 所以平面 CB1D1 平面 AA1C1C 在平面 AA1C1C 內(nèi) 作 OH C O 1 H 為垂足 而平面 CB1D1 平面 AA1C1C CO 1 所以 OH 平面 CB1D1 即線段 OH 的長為點 O 到平面 CB1D1的距離 在矩形 AA1C1C 中 O CH C O1C1 sin CO 1C1 C C1C O1 172 27 sin OCH 所以 故 OH OHO C OH32 2OH3 27 2OH3 217 因此 點 O 到平面 CB1D1的距離為 217