沖刺2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 核心考點(diǎn)特色突破 專題13 立體幾何中的計(jì)算問(wèn)題(含解析).doc
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專題 13 立體幾何中的計(jì)算問(wèn)題 自主熱身 歸納總結(jié) 1 若正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為 2 側(cè)棱長(zhǎng)為 1 則此三棱錐的體積為 答案 6 解析 設(shè)此正三棱錐的高為 h 則 所以 312 h 3 h 故此三棱錐的體積 2 如圖 在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1中 AB AD 3 cm AA1 2 cm 則三棱錐 AB1D1D 的體積為 cm 3 答案 3 解析 VAB1D1D VB1AD1D S ADD1 A1B1 AD D1D A1B1 3 2 3 3 13 13 12 13 12 3 將一個(gè)正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周 所得圓柱的體積為 27 cm3 則該圓柱的側(cè)面 積為 cm2 答案 18 解析 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 x cm 則圓柱的體積為 x2 x 27 解得 x 3 所以該圓柱的側(cè)面積為 2 3 3 18 cm2 4 如圖 正四棱錐 PABCD 的底面一邊 AB 的長(zhǎng)為 2 cm 側(cè)面積為 8 cm2 則它的體積為 cm3 3 3 答案 4 解析 如圖 過(guò)點(diǎn) P 作 PO 垂直于底面 ABCD 且垂足為 O 在平面 ABCD 中 過(guò)點(diǎn) O 作直線 AB 的垂線 垂足為 E 連結(jié) PE 由正四棱錐的性質(zhì)知 PE AB 所以 S 側(cè) 2 PE 4 8 解得 PE 2 在 Rt POE 中 PO 12 3 3 1 所以正四棱錐的體積為 2 2 1 4 PE2 EO2 22 3 13 3 5 已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為 3 cm 側(cè)面的 對(duì)角線長(zhǎng)是 3 cm 則這個(gè)正四棱柱的體積是 cm3 5 答案 54 解析 設(shè)該正四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為 h cm 則 3 2 3 2 h 2 解得 h 6 負(fù)值舍去 從而這個(gè)正四棱柱5 的體積是 V 3 2 6 54 cm3 6 若圓錐的側(cè)面展開圖是面積為 3 且圓心角為 的扇形 則此圓錐的體積為 2 3 答案 223 7 現(xiàn)有一正四棱柱形鐵塊 底面邊長(zhǎng)為高的 8倍 將其熔化鍛造成一個(gè)底面積不變的正四棱錐形鐵件 不 計(jì)材料損耗 設(shè)正四棱柱與正四棱錐的側(cè)面積分別為 1S 2 則 1的值為 答案 25 解析 設(shè)正四棱柱得高為 a 所以底面邊長(zhǎng)為 8a 根據(jù)體積相等 且高相等 所以正四棱錐的高為 3a 則正棱錐側(cè)面的高為 所以 8 以一個(gè)圓柱的下底面為底面 并以圓柱的上底面圓心為頂點(diǎn)作圓錐 若所得的圓錐底面半徑等于圓錐 的高 則圓錐的側(cè)面積與圓柱的側(cè)面積之比為 答案 22 解析 如圖 由題意可得圓柱的側(cè)面積為 S1 2 rh 2 r2 圓錐的母線 l r 故圓錐的h2 r2 2 側(cè)面積為 S2 2 r l r2 所以 S2 S1 2 12 2 2 9 如圖 正三棱柱 ABCA1B1C1中 AB 4 AA1 6 若 E F 分別是棱 BB1 CC1上的點(diǎn) 則三棱錐 AA1EF 的體 積是 答案 23 解法 1 過(guò) B 點(diǎn)作 EAC 垂足為 E 平面 ABC 平面 1AC 且平面 ABC 平面 1AC AC 所以 平面 1 又因?yàn)樘菪?1D的面積為 6 所以 解法 2 而 132 所以四棱錐 1BACD 的體積為23 關(guān)聯(lián) 1 如圖 銅質(zhì)六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的 已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng) 高都為 4 cm 圓柱的底面積為 9 cm2 若將該螺帽熔化后鑄成一個(gè)高為 6 cm 的正三棱柱零件 則該正三3 棱柱的底面邊長(zhǎng)為 cm 不計(jì)損耗 答案 2 由題意知 熔化前后的體積相等 熔化前的體積為 6 42 4 9 4 60 設(shè)所10 34 3 3 求正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為 x cm 則有 x2 6 60 解得 x 2 所以所求邊長(zhǎng)為 2 cm 34 3 10 10 關(guān)聯(lián) 2 在棱長(zhǎng)為 2 的正四面體 PABC 中 M N分別為 PA BC的中點(diǎn) 點(diǎn) D是線段 PN上 一點(diǎn) 且 PDN 則三棱錐 D的體積為 答案 9 思路分析 解決空間幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題常常有兩個(gè)途徑 一是直接利用體積公式求解 另一種是利 用等體積轉(zhuǎn)化的思想進(jìn)行計(jì)算 解題過(guò)程 連結(jié) MB C N 過(guò)點(diǎn) D作 MNH 于 因?yàn)?BPA M 為 PA 的中點(diǎn) 所以PA 同理 PA 又因?yàn)?所以 又因?yàn)?所以 又因?yàn)?NDH 所以DH 從而 故 為點(diǎn) D到平面 BC的高 在 中 MCB N 為 BC 的中點(diǎn) 則 MB的面積 在 NP中 因?yàn)?PDH 2PDN 所以 從而三棱錐 DBC 的體積 關(guān)聯(lián) 3 如圖 在正三棱柱 中 已知 點(diǎn) P在棱1C 上 則三棱錐 1PAB 的體積為 答案 439 解析 因?yàn)檎庵?中 1 CA 因?yàn)?所以 因?yàn)辄c(diǎn) P在棱 1上 所以點(diǎn) 到平面 BA1的距離就是點(diǎn) P到 平面 BA1的距離 作 ABCD 垂直為點(diǎn) D 因?yàn)檎庵?中 面 面 所以 1A 而 所以 因?yàn)檎庵?中 所以23 CD 1AB 的面積 所以三棱錐 1ABP 的體積 例 2 已知矩形 ABCD 的邊 AB 4 BC 3 若沿對(duì)角線 AC 折疊 使平面 DAC 平面 BAC 則三棱錐 DABC 的 體積為 答案 245 解析 在平面 DAC 內(nèi)作 DO AC 垂足為點(diǎn) O 因?yàn)槠矫?DAC 平面 BAC 且平面 DAC 平面 BAC AC 所以 DO 平面 BAC 因?yàn)?AB 4 BC 3 所以 DO S ABC 3 4 6 所以三棱錐 DABC 的體積為 125 12 V 6 13 125 245 變式 1 已知一個(gè)空間幾何體的所有棱長(zhǎng)均為 1 cm 其表面展開圖如圖所示 則該空 間幾何體的體積 V cm3 答案 216 解析 空間幾何體為一正方體和一正四棱錐的組合體 顯然 正方體的體 積為 1 正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為 1 側(cè)棱長(zhǎng)為 1 所以 棱錐的高為 2 所以 正四棱錐的體積為 26 即組合體的體積為 216 變式 2 已知 ABC 為等腰直角三角形 斜邊 BC 上的中線 AD 2 將 ABC 沿 AD 折成 60 的二面角 連結(jié) BC 則三棱錐 C ABD 的體積為 答案 23 易錯(cuò)警示 由于二面角平面角的概念在必做部分考查較少形成了復(fù)習(xí)中的知識(shí)盲點(diǎn)在邊長(zhǎng)為 4 的正方形 ABCD 內(nèi)剪去四個(gè)全等的等腰三角形 如圖 1 中陰影部分 關(guān)聯(lián) 1 折疊成底面邊長(zhǎng)為 的正四棱錐 SEFGH 如圖 2 則正四棱錐 SEFGH 的體積為 2 圖 1 圖 2 答案 43 解析 連結(jié) EG HF 交點(diǎn)為 O 正方形 EFGH 的對(duì)角線 EG 2 EO 1 則點(diǎn) E 到線段 AB 的距離為 1 EB SO 2 故正四棱錐 SEFGH 的體積為 2 2 12 22 5 SE2 OE2 5 1 13 2 43 關(guān)聯(lián) 2 已知圓錐的底面半徑和高相等 側(cè)面積為 4 過(guò)圓錐的兩條母線作截面 截面為等邊三角 形 則圓錐底面中心到截面的距離為 答案 23 解析 設(shè)底面半徑為 r 由題意可得 母線長(zhǎng)為 2r 又側(cè)面展開圖面積為 所以 又截面三角形 ABD 為等邊三角形 故 又 故 BODA為等角直角三角形 設(shè)圓 錐底面中心到截面的距離為 d 又 所以 又 2OBDS A r 故 關(guān)聯(lián) 3 如圖 在圓錐 VO 中 O 為底面圓心 半徑 OA OB 且 OA VO 1 則 O 到平面 VAB 的距離為 答案 33 思路分析 在立體幾何求點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題中 往往有兩種途徑 1 利用等體積法 這種方法一般不 需要作出高線 2 利用面面垂直的性質(zhì)作出高線 再進(jìn)行計(jì)算 解法 1 因?yàn)?VO 平面 AOB OA 平面 AOB 所以 VO OA 同理 VO OB 又因?yàn)?OA OB OA VO OB 1 所以 VA VB AB 所以 S VAB VA ABsin60 設(shè) O 到平面 VAB 的距離為 h 由 VVAOB VOVAB 得2 12 32 S AOB VO S VAB h 得 OA OB VO h 解得 h 13 13 12 32 33 解法 2 取 AB 中點(diǎn) M 連結(jié) VM 過(guò)點(diǎn) O 作 OH VM 于 H 因?yàn)?OA OB M 是 AB 中點(diǎn) 所以 OM AB 因?yàn)?VO 平面 AOB AB 平面 AOB 所以 VO AB 又因?yàn)?OM AB VO OM O 所以 AB 平面 VOM 又因?yàn)?AB 平面 VAB 所以面 VAB 平面 VOM 又因?yàn)?OH VM OH 平面 VOM 平面 VAB 平面 VOM VH 所以 OH 平 面 VAB 所以 OH 為點(diǎn) O 到平面 VAB 的距離 且 OH VO OMVM 33 例 3 如圖 在直三棱柱 A1B1C1ABC 中 AB BC E F 分別是 A1B AC1的中點(diǎn) 1 求證 EF 平面 ABC 2 求證 平面 AEF 平面 AA1B1B 3 若 A1A 2 AB 2 BC 2 a 求三棱錐 FABC 的體積 解析 1 連結(jié) A1C 因?yàn)橹比庵?A1B1C1ABC 中 四邊形 AA1C1C 是矩形 所以點(diǎn) F 在 A1C 上 且為 A1C 的中點(diǎn) 在 A1BC 中 因?yàn)?E F 分別是 A1B A1C 的中點(diǎn) 所以 EF BC 2 分 又因?yàn)?BC 平面 ABC EF 平面 ABC 所以 EF 平面 ABC 4 分 2 因?yàn)樵谥比庵?A1B1C1ABC 中 B1B 平面 ABC 所以 B1B BC 因?yàn)?EF BC AB BC 所以 AB EF B1B EF 6 分 因?yàn)?B1B AB B 所以 EF 平面 ABB1A1 8 分 因?yàn)?EF 平面 AEF 所以平面 AEF 平面 ABB1A1 10 分 3 VFABC VA1ABC S ABC AA1 12 分 12 12 13 a2 2a 14 分 12 13 12 a36 變式 1 如圖 在五面體 ABCDEF中 已知 平面 ABCD o60BAD 2 1DEF 1 求證 BCEF 2 求三棱錐 D 的體積 解析 1 因?yàn)?A 平面 ADEF BC 平面 ADEF 所以 BC平面 EF 3 分 又 平面 平面 BC 平面 所以 6 分 2 如圖 在平面 AD內(nèi)過(guò)點(diǎn) B 作 HA 于點(diǎn) 因?yàn)?DE 平面 ABC H 平面 ABCD 所以 EBH 又 AD E 平面 AF 所以 H平面 F 所以 是三棱錐 E 的高 9 分 在直角三角形 AB中 o60 2AB 所以 3 因?yàn)?DE 平面 C D 平面 C 所以 DEA 又由 1 知 F 且 所以 F 所以 EF 12 分 所以三棱錐 B 的體積 14 分 易錯(cuò)警示 在證明線線 線面 面面的位置關(guān)系時(shí) 一定要注意條件的完備性 不能少寫條件 另外 在 求幾何體的體積時(shí) 一定要證明某條線為高的原因 即證明它與某個(gè)平面垂直 否則將導(dǎo)致丟分 變式 2 如圖 在矩形 ABCD 中 AD 2 AB 4 E F 分別為邊 AB AD 的中點(diǎn) 現(xiàn)將 ADE 沿 DE 折起 得四棱錐 ABCDE 1 求證 EF 平面 ABC 2 若平面 ADE 平面 BCDE 求四面體 FDCE 的體積 解析 1 證法 1 如圖 1 取線段 AC 的中點(diǎn) M 連結(jié) MF MB 因?yàn)?F M 為 AD AC 的中點(diǎn) 所以 MF CD 且 MF CD 12 圖 1 在折疊前 四邊形 ABCD 為矩形 E 為 AB 的中點(diǎn) 所以 BE CD 且 BE CD 12 所以 MF BE 且 MF BE 所以四邊形 BEFM 為平行四邊形 故 EF BM 又 EF 平面 ABC BM 平面 ABC 所以 EF 平面 ABC 證法 2 如圖 2 延長(zhǎng) DE 交 CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N 連結(jié) AN 在折疊前 四邊形 ABCD 為矩形 E 為 AB 的中點(diǎn) 所以 BE CD 且 BE CD 12 圖 2 所以 NBE NCD NEB NDC 所以 NEB NDC 所以 即 E 為 DN 的中點(diǎn) NEND BECD 12 又 F 為 AD 的中點(diǎn) 所以 EF NA 又 EF 平面 ABC NA 平面 ABC 所以 EF 平面 ABC 證法 3 如圖 3 取 CD 的中點(diǎn) O 連結(jié) OE OF 圖 3 2 解法 1 在折疊前 四邊形 ABCD 為矩形 AD 2 AB 4 E 為 AB 的中點(diǎn) 所以 A DE CBE 都是等腰 直角三角形 且 AD AE EB BC 2 所以 DEA CEB 45 且 DE EC 2 2 又 DEA DEC CEB 180 所以 DEC 90 即 DE CE 又平面 ADE 平面 BCDE 平面 ADE 平面 BCDE DE CE 平面 BCDE 所以 CE 平面 ADE 即 CE 為三棱錐 CEFD 的高 因?yàn)?F 為 AD 的中點(diǎn) 所以 S EFD AD AE 2 2 1 12 12 14 所以四面體 FDCE 的體積 V S EFD CE 1 2 13 13 2 2 23 解法 2 如圖 4 過(guò) F 作 FH DE H 為垂足 圖 4 因?yàn)槠矫?ADE 平面 BCDE 平面 ADE 平面 BCDE DE FH 平面 ADE 所以 FH 平面 BCDE 即 FH 為三棱 錐 FECD 的高 在折疊前 四邊形 ABCD 為矩形 且 AD 2 AB 4 E 為 AB 的中點(diǎn) 所以 ADE 是等腰直角三角形 又 F 為 AD 的中點(diǎn) 所以 DF 1 所以 FH DF sin4 5 22 又 S EDC CD BC 4 2 4 12 12 所以四面體 FDCE 的體積 V S EDC FH 4 13 13 22 2 23 解法 3 如圖 5 過(guò) A 作 AG DE G 為垂足 圖 5 因?yàn)槠矫?ADE 平面 BCDE 平面 ADE 平面 BCDE DE AG 平面 ADE 所以 AG 平面 BCDE 即 AG 為三棱 錐 AECD 的高 在折疊前 四邊形 ABCD 為矩形 且 AD 2 AB 4 E 為 AB 的中點(diǎn) 所以 ADE 是等腰直角三角形 所以 AG AD sin45 2 又 S EDC DC BC 4 2 4 12 12 所以三棱錐 AECD 的體積 VAECD S EDC AG 4 13 13 2 4 23 因?yàn)?F 為 AD 的中點(diǎn) 所以 S EFD S EAD 12 所以 VCEFD VCEAD VAECD 12 12 2 23 即四面體 FDCE 的體積為 2 23 關(guān)聯(lián) 如圖 直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形 ADC 120 AA 1 AB 1 點(diǎn) O1 O 分別 是上 下底面菱形的對(duì)角線的交點(diǎn) 1 求證 A 1O 平面 CB1D1 2 求點(diǎn) O 到平面 CB1D1的距離 解析 1 因?yàn)?AA1 C C 1且 AA1 C C 1 所以四邊形 A1ACC1是 平行四邊形 所以 AC A 1C1且 AC A 1C1 因?yàn)?O1 O 分別是 A1C1 AC 的中點(diǎn) 故 O C A 1O1且 O C A 1O1 所以四邊形 A1O1C O 為平行四邊形 所以 A1O O 1C 又 A1O 平面 CB1D1 O 1C 平面 CB1D1 所以 A1O 平面 CB1D1 2 解法 1 等體積法 設(shè)點(diǎn) O 到平面 CB1D1的距離為 h 因?yàn)?D1D 平面 ABCD 所以 D1D C O 因?yàn)?AC BD 為菱形 ABCD 的對(duì)角線 所以 C O BD 因?yàn)?D1D BD D 所以 C O 平面 BB1D1D 在菱形 ABCD 中 BC 1 BCD 60 C O 32 解法 2 作垂線 因?yàn)?AA1 平面 A1B1C1D1 所以 AA1 B 1D1 因?yàn)?A1C1 B1D1為菱形 A1B1C1D1的對(duì)角線 所以 B1D1 A 1C1 因?yàn)?AA1 A 1C1 A 1 所以 B1D1 平面 AA1C1C 因?yàn)?B1D1 平面 CB1D1 所以平面 CB1D1 平面 AA1C1C 在平面 AA1C1C 內(nèi) 作 OH C O 1 H 為垂足 而平面 CB1D1 平面 AA1C1C CO 1 所以 OH 平面 CB1D1 即線段 OH 的長(zhǎng)為點(diǎn) O 到平面 CB1D1的距離 在矩形 AA1C1C 中 O CH C O1C1 sin CO 1C1 C C1C O1 172 27 sin OCH 所以 故 OH OHO C OH32 2OH3 27 2OH3 217 因此 點(diǎn) O 到平面 CB1D1的距離為 217- 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