（浙江專用）2019高考數學二輪復習 課時跟蹤檢測（十一）大題考法——數列的綜合應用及數學歸納法.doc
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課時跟蹤檢測（十一）大題考法——數列的綜合應用及數學歸納法 1．數列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數列． (1)求數列{an}的通項公式； (2)設bn＝，求數列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)∵Sn＝2an－a1， ① ∴當n≥2時，Sn－1＝2an－1－a1， ② ①－②得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1. 由a1，a2＋1，a3成等差數列，得2(a2＋1)＝a1＋a3， ∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2. ∴數列{an}是首項為2，公比為2的等比數列． ∴an＝2n. (2)∵an＝2n，∴Sn＝2an－a1＝2n＋1－2，Sn＋1＝2n＋2－2. ∴bn＝＝＝. ∴數列{bn}的前n項和 Tn＝＝＝. 2．(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟聯(lián)考)已知等比數列{an}為遞增數列，且a4＝，a3＋a5＝，設bn＝log3(n∈N*)． (1)求數列{bn}的前n項和Sn； (2)令Tn＝b1＋b2＋b22＋…＋b2n－1，求使Tn>0成立的最小值n. 解：(1)設等比數列{an}的公比為q，由題意知，兩式相除，得＝，解得q＝3或q＝，∵{an}為遞增數列，∴q＝3，a1＝. ∴an＝a1qn－1＝3n－1＝23n－5. ∴bn＝log3＝n－5，數列{bn}的前n項和Sn＝＝(n2－9n)． (2)Tn＝b1＋b2＋b22＋…＋b2n－1＝(1－5)＋(2－5)＋(22－5)＋…＋(2n－1－5)＝－5n>0， 即2n>5n＋1， ∵24<54＋1,25>55＋1，∴nmin＝5. 3．已知數列{an}的前n項和為Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1. (1)求數列{an}的通項公式與數列{bn}的通項公式； (2)令cn＝＋，其中n∈N*，若數列{cn}的前n項和為Tn，求Tn. 解：(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1， 由an＝－3Sn＋4，知an＋1＝－3Sn＋1＋4， 兩式相減并化簡得an＋1＝an， ∴an＝n－1，bn＝－log2an＋1＝－log2n＝2n. (2)由題意知，cn＝＋. 令Hn＝＋＋＋…＋， ① 則Hn＝＋＋…＋＋， ② ①－②得，Hn＝＋＋＋…＋－＝1－. ∴Hn＝2－. 又Tn－Hn＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝， ∴Tn＝Hn＋(Tn－Hn)＝2－＋. 4．(2018江蘇泰州中學模擬)已知數列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)，設bn＝a2n－1. (1)求b2，b3，并證明bn＋1＝2bn＋2； (2)①證明：數列{bn＋2}為等比數列； ②若a2k，a2k＋1,9＋a2k＋2成等比數列，求正整數k的值． 解：(1)∵數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，bn＝a2n－1， ∴b2＝a3＝2a2＝2(a1＋1)＝4， b3＝a5＝2a4＝2(a3＋1)＝10， 同理，bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2(a2n－1＋1)＝2(bn＋1)＝2bn＋2. (2)①證明：∵b1＝a1＝1，b1＋2≠0， ＝＝2， ∴數列{bn＋2}為等比數列． ②由①知bn＋2＝32n－1， ∴bn＝32n－1－2， ∴a2n－1＝32n－1－2， a2n＝a2n－1＋1＝32n－1－1， ∵a2k，a2k＋1,9＋a2k＋2成等比數列， ∴(32k－2)2＝(32k－1－1)(32k＋8)， 令2k＝t，得(3t－2)2＝(3t＋8)， 整理，得3t2－14t＋8＝0， 解得t＝或t＝4， ∵k∈N*，∴2k＝4，解得k＝2. 5．(2019屆高三浙江五校聯(lián)考)已知各項均不相等的等差數列{an}的前4項和為14，且a1，a3，a7恰為等比數列{bn}的前3項． (1)分別求數列{an}，{bn}的前n項和Sn，Tn； (2)設Kn為數列{anbn}的前n項和，若不等式λSnTn≥Kn＋n對一切n∈N*恒成立，求實數λ的最小值． 解：(1)設數列{an}的公差為d， 則 解得d＝1或d＝0(舍去)，a1＝2， 所以an＝n＋1，Sn＝. bn＝2n，Tn＝2n＋1－2. (2)由題意得Kn＝221＋322＋…＋(n＋1)2n，① 則2Kn＝222＋323＋…＋n2n＋(n＋1)2n＋1，② ①－②得－Kn＝221＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1，∴Kn＝n2n＋1. 要使λSnTn≥Kn＋n對一切n∈N*恒成立， 即λ≥＝恒成立， 設g(n)＝， 因為＝＝<<1， 所以g(n)隨n的增加而減小，所以g(n)max＝g(1)＝，所以當λ≥時不等式恒成立， 因此λ的最小值為. 6．已知在數列{an}中，a1＝，an＋1＝a－2an＋2，n∈N*，其前n項和為Sn. (1)求證：1
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