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1、專題檢測（八）專題檢測（八）等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列A 組“633”考點落實練一、選擇題1.(2019全國卷)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前 4 項和為 15，且 a53a34a1，則 a3()A.16B.8C.4D.2解析：選 C由題意知a10，q0，a1a1qa1q2a1q315，a1q43a1q24a1，解得a11，q2， a3a1q24.故選 C.2.(2019湖南省五市一校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足 2anan1an1(n2)，a2a4a612，a1a3a59，則 a1a6()A.6B.7C.8D.9解 析 ： 選 B法 一 ： 由 題 意 知 ， 數(shù) 列 an 是 等
2、差 數(shù) 列 ， 設 公 差 為 d ， 則a1da13da15d12，a1a12da14d9，解得a11，d1，所以 a1a6a1a15d7，故選 B.法二： 由題意知， 數(shù)列an是等差數(shù)列， 將 a2a4a612 與 a1a3a59 相加可得 3(a1a6)12921，所以 a1a67，故選 B.3.(2019福州市質(zhì)量檢測)等比數(shù)列an的各項均為正實數(shù)， 其前 n 項和為 Sn.若 a34， a2a664，則 S5()A.32B.31C.64D.63解析： 選B法一： 設首項為a1， 公比為q， 因為an0， 所以q0， 由條件得a1q24，a1qa1q564，解得a11，q2，所以 S5
3、31，故選 B.法二：設首項為 a1，公比為 q，因為 an0，所以 q0，由 a2a6a2464，a34，得 q2，a11，所以 S531，故選 B.4.數(shù)列an中，a12，a23，an1anan1(n2，nN*)，那么 a2 019()A.1B.2C.3D.3解析：選 A因為 an1anan1(n2)，所以 anan1an2(n3)，所以 an1anan1(an1an2)an1an2(n3).所以 an3an(nN*)，所以 an6an3an，故an是以 6 為周期的周期數(shù)列.因為 2 01933663，所以 a2 019a3a2a1321.故選 A.5.(2019 屆高三西安八校聯(lián)考)若
4、等差數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，若 S6S7S5，則滿足 SnSn1S7S5，得 S7S6a7S5，所以 a70，所以 S1313（a1a13）213a70，所以 S12S130，即滿足SnSn10 的正整數(shù) n 的值為 12，故選 C.6.已知數(shù)列an滿足 an2an1an1an，nN*，且 a52，若函數(shù) f(x)sin 2x2cos2x2，記 ynf(an)，則數(shù)列yn的前 9 項和為()A.0B.9C.9D.1解析： 選 C由已知可得， 數(shù)列an為等差數(shù)列， f(x)sin 2xcos x1， f2 1.f(x)sin(22x)cos(x)1sin 2xcos x1，f(x)f(x
5、)2，a1a9a2a82a5，f(a1)f(a9)2419，即數(shù)列yn的前 9 項和為 9.二、填空題7.(2019全國卷)記 Sn為等比數(shù)列an的前 n 項和，若 a11，S334，則 S4_.解析：設等比數(shù)列的公比為 q，則 ana1qn1qn1. a11，S334， a1a2a31qq234，即 4q24q10， q12， S41 112411258.答案：588.(2019北京高考)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn， 若a23， S510， 則a5_，Sn的最小值為_.解析： a2a1d3，S55a110d10， a14，d1， a5a14d0， ana1(n1)dn5.令 an0，則
6、n0；當 n6 時，an0.所以 Sn的最小值為 S5S630.11.(2019廣西梧州、桂林、貴港等期末)設 Sn為等差數(shù)列an的前 n 項和，a2a38，S981.(1)求an的通項公式；(2)若 S3，a14，Sm成等比數(shù)列，求 S2m.解：(1)S99a59（a14d）81，a2a32a13d8，a11，d2，故 an1(n1)22n1.(2)由(1)知，Snn（12n1）2n2.S3，a14，Sm成等比數(shù)列，S3Sma214，即 9m2272，解得 m9，故 S2m182324.12.(2019廣州市調(diào)研測試)設Sn為數(shù)列an的前n項和， 已知a37， an2an1a22(n2).(
7、1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式，并判斷 n，an，Sn是否成等差數(shù)列？解：(1)證明：a37，a33a22，a23，an2an11，a11，an1an112an12an112(n2)，數(shù)列an1是首項為 a112，公比為 2 的等比數(shù)列.(2)由(1)知，an12n，an2n1，Sn2（12n）12n2n1n2，nSn2ann(2n1n2)2(2n1)0，nSn2an，即 n，an，Sn成等差數(shù)列.B 組大題專攻強化練1.(2019湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足 an13an3n(nN*)且 a11.(1)設 bnan3n1，證明：數(shù)列bn為等差數(shù)列；(2)設
8、 cnnan，求數(shù)列cn的前 n 項和 Sn.解：(1)證明：由已知得 an13an3n，得 bn1an13n3an3n3nan3n11bn1，所以 bn1bn1，又 a11，所以 b11，所以數(shù)列bn是首項為 1，公差為 1 的等差數(shù)列.(2)由(1)知，bnan3n1n，所以 ann3n1，cn13n1，所以 Sn1113n11332113n32123n1.2.(2019全國卷)記 Sn為等差數(shù)列an的前 n 項和.已知 S9a5.(1)若 a34，求an的通項公式；(2)若 a10，求使得 Snan的 n 的取值范圍.解：(1)設an的公差為 d.由 S9a5得 a14d0.由 a34
9、得 a12d4.于是 a18，d2.因此an的通項公式為 an102n.(2)由(1)得 a14d，故 an(n5)d，Snn（n9）d2.由 a10 知 d0，故 Snan等價于 n211n100，解得 1n10，所以 n 的取值范圍是n|1n10，nN.3.(2019全國卷)已知數(shù)列an和bn滿足 a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)證明：anbn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項公式.解：(1)證明：由題設得 4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn112(anbn).又因為 a1b11，所以anbn是首項為 1，公比為12的等比
10、數(shù)列.由題設得 4(an1bn1)4(anbn)8，即 an1bn1anbn2.又因為 a1b11，所以anbn是首項為 1，公差為 2 的等差數(shù)列.(2)由(1)知，anbn12n1，anbn2n1，所以 an12(anbn)(anbn)12nn12，bn12(anbn)(anbn)12nn12.4.已知數(shù)列an的首項 a13，a37，且對任意的 nN*，都有 an2an1an20，數(shù)列bn滿足 bna2n1，nN*.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)求使 b1b2bn2 020 成立的最小正整數(shù) n 的值.解：(1)令 n1 得，a12a2a30，解得 a25.又由 an2an1an20 知，an2an1an1ana2a12，故數(shù)列an是首項 a13，公差 d2 的等差數(shù)列，于是 an2n1，bna2n12n1.(2)由(1)知，bn2n1.于是 b1b2bn(21222n)n2（12n）12n2n1n2.令 f(n)2n1n2，易知 f(n)是關(guān)于 n 的單調(diào)遞增函數(shù)，又 f(9)210921 031，f(10)2111022 056，故使 b1b2bn2 020 成立的最小正整數(shù) n 的值是 10.
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