（浙江專(zhuān)版）2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.3 冪函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修1.doc

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2.3　 預(yù)習(xí)課本P77～78，思考并完成以下問(wèn)題 (1)冪函數(shù)是如何定義的？ (2)冪函數(shù)的解析式具有什么特點(diǎn)？ (3)常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象是什么？它具有哪些性質(zhì)？ 　 1．冪函數(shù)的概念 函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． [點(diǎn)睛]　冪函數(shù)中底數(shù)是自變量，而指數(shù)函數(shù)中指數(shù)為自變量． 2．常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x 圖象 定義域 R R R {x|x≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞) 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x 單調(diào)性 在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增 在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增 在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增 在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減 在[0，＋∞)上單調(diào)遞增 定點(diǎn) (1,1) [點(diǎn)睛]　冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)α>0時(shí)，y＝xα是增函數(shù)；當(dāng)α<0時(shí)，y＝xα是減函數(shù)． 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)函數(shù)y＝x0(x≠0)是冪函數(shù)． (　　) (2)冪函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn)(0,0)(1,1)． (　　) (3)冪函數(shù)的圖象都不過(guò)第二、四象限． (　　) 答案：(1)√　(2)　(3) 2．下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是(　　) A．y＝　　　　　　 B．y＝x3 C．y＝2x D．y＝x－1 答案：C 3．已知f(x)＝(m－1)x是冪函數(shù)，則m＝(　　) A．2 B．1 C．3 D．0 答案：A 4．已知冪函數(shù)f(x)＝xα圖象過(guò)點(diǎn)，則f(4)＝________. 答案： 冪函數(shù)的概念 [例1]　已知冪函數(shù)y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此冪函數(shù)的解析式，并指出定義域． [解]　∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3為冪函數(shù)， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 當(dāng)m＝2時(shí)，m2－2m－3＝－3，則y＝x－3，且有x≠0； 當(dāng)m＝－1時(shí)，m2－2m－3＝0，則y＝x0，且有x≠0. 故所求冪函數(shù)的解析式為y＝x－3，定義域?yàn)閧x|x≠0}或y＝x0，定義域?yàn)閧x|x≠0}． 判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法 判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個(gè)冪的形式，且需滿(mǎn)足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.　　　　 [活學(xué)活用] 1．下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是(　　) A．y＝　　　　　　　　 B．y＝x C．y＝22x D．y＝x－1 比較冪值的大小 解析：選C　顯然C中y＝22x＝4x，不是y＝xα的形式，所以不是冪函數(shù)，而A、B、D中的α分別為，，－1，符合冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，故選C. [例2]　比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。? (1)0.5與0.5； (2)－1與－1； (3)與. [解]　(1)∵冪函數(shù)y＝x0.5在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的， 又>，∴0.5>0.5. (2)∵冪函數(shù)y＝x－1在(－∞，0)上是單調(diào)遞減的， 又－<－，∴－1>－1. (3)∵函數(shù)y1＝x為R上的減函數(shù)，又>， ∴>. 又∵函數(shù)y2＝x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且>， ∴>，∴>. 比較冪值大小的方法 (1)若指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)； (2)若指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)； (3)若指數(shù)與底數(shù)都不同，則考慮插入中間數(shù)，使這個(gè)數(shù)的底數(shù)與所比較數(shù)的一個(gè)底數(shù)相同，指數(shù)與另一個(gè)數(shù)的指數(shù)相同，那么這個(gè)數(shù)就介于所比較的兩數(shù)之間，進(jìn)而比較大?。　　　? [活學(xué)活用] 2．比較下列各組值的大?。? (1)(－0.31)，0.35. (2)1.2，1.4，1.42； 解：(1)∵y＝x為R上的偶函數(shù)， ∴(－0.31) ＝0.31. 又函數(shù)y＝x為[0，＋∞)上的增函數(shù)，且0.31＜0.35， ∴0.31＜0.35，即(－0.31) ＜0.35. (2)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函數(shù)，且1.2<1.4， ∴1.2<1.4. 又∵y＝1.4x為增函數(shù)，且<2，∴1.4<1.42， ∴1.2<1.4<1.42. 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) [例3]　已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)P ，試畫(huà)出f(x)的圖象并指出該函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間． [解]　因?yàn)閒(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)P ，所以f(2)＝，即2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的圖象如圖所示，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，＋∞)，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0)． [一題多變] 1．[變?cè)O(shè)問(wèn)]本例條件不變，試判斷f(x)的奇偶性． 解：由本例知，f(x)＝x－2， 則f(－x)＝(－x)－2＝f(x)， ∴f(x)為偶函數(shù)． 2．[變條件]本例中點(diǎn)P變?yōu)椋? (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性， 解：∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)P ， ∴8α＝，即23α＝2－1， ∴3α＝－1，即α＝－， ∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x－(x≠0)． (1)∵f(－x)＝(－x)－＝＝－＝－f(x)， 又f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， ∴f(x)是奇函數(shù)． (2)∵－<0，∴f(x)＝x－在(0，＋∞)上是減函數(shù)． 由(1)，知f(x)是奇函數(shù)， ∴f(x)＝x－在(－∞，0)上也是減函數(shù)． ∴f(x)＝x－在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是減函數(shù)． 冪函數(shù)圖象的畫(huà)法 (1)確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象：先根據(jù)α的取值，確定冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象． (2)確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)f(x)在其他象限內(nèi)的圖象．　　　　 層級(jí)一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．在函數(shù)①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是冪函數(shù)的是(　　) A．①②④⑤　　　　　　 B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 解析：選C　冪函數(shù)是形如y＝xα(α∈R，α為常數(shù))的函數(shù)，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是冪函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；⑤中x2的系數(shù)是2，所以不是冪函數(shù)；④是常數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)．所以只有①②⑥是冪函數(shù)． 2．已知冪函數(shù)f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的圖象過(guò)點(diǎn)，則k＋α＝(　　) A.　　　　 B．1　 　　　C.　　　　 D．.2 解析：選A　∵冪函數(shù)f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴k＝1，f＝α＝， 即α＝－，∴k＋α＝. 3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)是(　　) A．y＝x－2 B．y＝x－1 C．y＝x2 D.y＝x 解析：選A　所給選項(xiàng)都是冪函數(shù)，其中y＝x－2和y＝x2是偶函數(shù)，y＝x－1和y＝x不是偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)B、D，又y＝x2在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不合題意，y＝x－2在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，符合題意，故選A. 4．函數(shù)y＝x－1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圖象大致是(　　) 解析：選B　y＝x的圖象位于第一象限且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖象是上升的，函數(shù)y＝x－1的圖象可看作由y＝x的圖象向下平移一個(gè)單位得到的(如選項(xiàng)A中的圖所示)，將y＝x－1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后即為選項(xiàng) B. 5.如圖所示，曲線(xiàn)C1與C2分別是函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．nm>0 D．m>n>0 解析：選A　由圖象可知，兩函數(shù)在第一象限內(nèi)遞減，故m<0，n<0.當(dāng)x＝2時(shí)，2m＞2n，所以n＜m＜0. 6．若y＝ax是冪函數(shù)，則該函數(shù)的值域是________． 解析：由已知y＝ax是冪函數(shù)，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故該函數(shù)的值域?yàn)閇0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 7．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的部分對(duì)應(yīng)值如表： x 1 f(x) 1 則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________． 解析：因?yàn)閒 ＝，所以α＝，即α＝，所以f(x)＝x的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 8．設(shè)α∈，則使f(x)＝xα為奇函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減的α的值是________． 解析：因?yàn)閒(x)＝xα為奇函數(shù)，所以α＝－1,1,3.又因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，所以α＝－1. 答案：－1 9．已知函數(shù)f(x)＝(m2＋2m)x，m為何值時(shí)，函數(shù)f(x)是：(1)正比例函數(shù)；(2)反比例函數(shù)；(3)冪函數(shù)． 解：(1)若函數(shù)f(x)為正比例函數(shù)，則 ∴m＝1. (2)若函數(shù)f(x)為反比例函數(shù)，則 ∴m＝－1. (3)若函數(shù)f(x)為冪函數(shù)，則m2＋2m＝1， ∴m＝－1. 10．比較下列各組數(shù)的大?。? (1)3和3.2； (2)和； (3)4.1和3.8. 解：(1)函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，又3＜3.2，所以3＞3.2. (2)＝，＝，函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，而＞，所以＞. (3)4.1＞1＝1,0＜3.8－＜1－＝1， 所以4.1＞3.8－. 層級(jí)二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．已知函數(shù)f(x)＝(a2－a－1)x為冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．－1或2　　　　　　　　 B．－2或1 C．－1 D．1 解析：選C　因?yàn)閒(x)＝(a2－a－1)x為冪函數(shù)，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1. 2．下列結(jié)論中，正確的是(　　) A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1) B．冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限 C．當(dāng)冪指數(shù)α取1,3，時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù) D．.當(dāng)α＝－1時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在其整個(gè)定義域上是減函數(shù) 解析：選C　當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時(shí)，冪函數(shù)y＝x－1的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)樗械膬绾瘮?shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，且y＝xα(α∈R)＞0，所以?xún)绾瘮?shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故B錯(cuò)誤；當(dāng)α＞0時(shí)，y＝xα是增函數(shù)，故C正確；當(dāng)α＝－1時(shí)，y＝x－1在區(qū)間(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)，但在整個(gè)定義域上不是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選C. 3．設(shè)a＝，b＝，c＝，則(　　) A．a(chǎn)b；構(gòu)造指數(shù)函數(shù)y＝x，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以aa> B. 4．如下圖所示曲線(xiàn)是冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象，已知α取2，四個(gè)值，則對(duì)應(yīng)于曲線(xiàn)C1，C2，C3，C4的指數(shù)α依次為(　　) A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．.2，，－2，－ 解析：選B　要確定一個(gè)冪函數(shù)y＝xα在坐標(biāo)系內(nèi)的分布特征，就要弄清冪函數(shù)y＝xα隨著α值的改變圖象的變化規(guī)律．隨著α的變大，冪函數(shù)y＝xα的圖象在直線(xiàn)x＝1的右側(cè)由低向高分布．從圖中可以看出，直線(xiàn)x＝1右側(cè)的圖象，由高向低依次為C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指數(shù)α依次為2，，－，－2. 5．若(a＋1) ＜(3－2a) ，則a的取值范圍是________． 解析：函數(shù)y＝x在[0，＋∞)上是增函數(shù)， 所以解得－1＜a＜. 答案： 6．已知函數(shù)f(x)＝x在(－∞，0)上是增函數(shù)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)，那么最小的正整數(shù)α＝________. 解析：取值驗(yàn)證．α＝1時(shí)，y＝x0，不滿(mǎn)足；α＝2時(shí)，y＝x，在(0，＋∞)上是減函數(shù)．∵它為奇函數(shù)，則在(－∞，0)上也是減函數(shù)，不滿(mǎn)足；α＝3時(shí)，y＝x滿(mǎn)足題意． 答案：3 7．已知冪函數(shù)f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)＝2x－k. (1)求m的值； (2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，記f(x)，g(x)的值域分別為集合A，B，若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解：(1)依題意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2. 當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾，舍去，∴m＝0. (2)由(1)可知f(x)＝x2. 當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)，g(x)單調(diào)遞增， ∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]． ∵A∪B＝A，∴B?A， ∴?0≤k≤1. ∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[0,1]． 8．已知冪函數(shù)f(x)＝x (m∈N*) (1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性； (2)若該函數(shù)還經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)，試確定m的值，并求滿(mǎn)足條件f(2－a)＞f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，而m與m＋1中必有一個(gè)為偶數(shù)， ∴m(m＋1)為偶數(shù)． ∴函數(shù)f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，并且在定義域上為增函數(shù)． (2)∵函數(shù)f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)， ∴＝2，即2＝2. ∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2. 又∵m∈N*，∴m＝1. 由f(2－a)＞f(a－1)得解得1≤a＜. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為. (時(shí)間120分鐘　滿(mǎn)分150分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．函數(shù)y＝ln(2－x)的定義域?yàn)?　　) A．(1,2)　　　　　　　 　 B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2] 解析：選B　要使解析式有意義，則解得1≤x＜2，所以所求函數(shù)的定義域?yàn)閇1,2)． 2．下列函數(shù)中定義域與值域相同的是(　　) A．f(x)＝2 B．f(x)＝lg C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：選C　A中，定義域?yàn)?0，＋∞)，值域?yàn)?1，＋∞)；B中，定義域?yàn)?0，＋∞)，值域?yàn)镽；C中，由2x≥1，得x≥0，所以定義域與值域都是[0，＋∞)；D中，由lg x≥0，得x≥1，所以定義域?yàn)閇1，＋∞)，值域?yàn)閇0，＋∞)．選C. 3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　　) A．y＝ B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x| 解析：選C　A項(xiàng)，y＝是奇函數(shù)，故不正確； B項(xiàng)，y＝e－x為非奇非偶函數(shù)，故不正確； C、D兩項(xiàng)中的兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，但y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是減函數(shù)，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故選C. 4．設(shè)a＝log3π，b＝logπ，c＝π－3，則(　　) A．a(chǎn)＞c＞b B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．c＞b＞a 解析：選A　∵a＝log3π＞1，b＝logπ＜0,0＜c＝π－3＜1，∴a＞c＞b.故選A. 5．若loga3＝m，loga5＝n，則a2m＋n的值是(　　) A．15　　　 　B．75　　　　C．45　　　　D．225 解析：選C　由loga3＝m，得am＝3， 由loga5＝n，得an＝5， ∴a2m＋n＝(am)2an＝325＝45. 6．函數(shù)f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定義域上(　　) A．是增函數(shù) B．是減函數(shù) C．先增后減 D．先減后增 解析：選A　當(dāng)a＞1時(shí)，y＝logat為增函數(shù)，t＝(a－1)x＋1為增函數(shù)，∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]為增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝logat為減函數(shù)，t＝(a－1)x＋1為減函數(shù)，∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]為增函數(shù)．綜上，函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)． 7．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f(3)g(3)＜0，則f(x)與g(x)在同一坐標(biāo)系里的圖象是(　　) 解析：選C　∵a＞0且a≠1，∴f(3)＝a3＞0，又f(3)g(3)＜0，∴g(3)＝loga3＜0，∴0＜a＜1，∴f(x)＝ax在R上是減函數(shù)，g(x)＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，故選C. 8．已知函數(shù)f(x)＝滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1≠x2都有＜0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，2) B. C．(－∞，2] D. 解析：選B　由題意知函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，于是有由此解得a≤，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，選B. 二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線(xiàn)上) 9．函數(shù)y＝ 的定義域是________． 解析：由已知1－x≥0，則x≤1＝0，所以x≥0. 答案：[0，＋∞) 10．若2a＝6，b＝log23，則2a－b＝________，＝________. 解析：2a－b＝＝＝＝2. ＝＝＝＝log312. 答案：2　log312 11．已知函數(shù)f(x)＝則f的值為_(kāi)_______，f(x)>的解集為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)椋?，所以f＝log3＝log33－2＝－2，所以f(－2)＝2－2＝. f(x)>等價(jià)于或 解得x>或－1的解集為{x|x>或－1或－10，a≠1)，那么f的值是________． 解析：f(1)＋f(－1)＝log2(＋1)＋2＋log2(－1)－1＝1.f(x)＋f(－x)＝log2(＋x)＋＋1＋log2(－x)＋＋1＝＋＋2＝1.∵log5＝－loga5，∴f(loga5)＋f＝1， ∴f＝－3. 答案：1?。? 14．若函數(shù)f(x)＝且b＝f(f(f(0)))，則b＝________；若y＝xa2－4a－b是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則整數(shù)a的值是________． 解析：由分段函數(shù)f(x)可得b＝f(f(f(0)))＝f(f(－2))＝f(1)＝1.由于y＝xa2－4a－b在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則a2－4a－1<0，解得2－

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