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1、 等差（比）數列的定義等差（比）數列的定義 如果一個數列從第如果一個數列從第2項起，每一項與前一項的差項起，每一項與前一項的差（比）（比）等等 于同一個常數，那么這個數列就叫做等差于同一個常數，那么這個數列就叫做等差（比）（比）數數列。列。 nadaann1 na na212nnnaaa na1()nnaqa212()nnnaaa3.通項公式法通項公式法:(0)nnnaAnB aA qA且4.前前n項和公式法項和公式法:2(0)nnnSAnBn SA qAA且an是公差為d的等差數列 bn是公比為q的等比數列 性質： an=am+(n-m)d性質： 性質：若an-k,an,an+k是an中的三
2、項， 則2an=an-k+an+k 性質2：若bn-k,bn,bn+k是bn的三項，則 =bn-kbn+k性質： 若n+m=p+q則am+an=ap+aq性質3：若n+m=p+q則bnbm=bpbq,性質：從原數列中取出偶數項組成的新數列公差為2d.(可推廣)性質：從原數列中取出偶數項，組成的新數列公比為 .(可推廣) 性質: 若cn是公差為d的等差數列，則數列an+cn是公差為d+d的等差數列。 性質：若dn是公比為q的等比數列,則數列bndn是公比為qq的等比數列. nmmqbnb 2q2nb已知數列 是等差數列， ， 。（1）求數列的通項 。（2）數列 的前多少項 和 最大，最大值是多少
3、？（3） ，求證：數列 是等比數列。 na na318a 710a 2lognnab nbna.(1)設公差為d,則3117121822,22(1)2246102naadaandnaadd 得 242012nann(2)由得，前12項和與前11項和最大，值為1212(220)1322S11S24 22(3)log2422nnnnabnb， 24 2(1)124 221,24nnnnnbbb數列是等比數列【題型【題型1】等差】等差(比比)數列的基本運算數列的基本運算【題型【題型1】等差（比）數列的基本運算】等差（比）數列的基本運算練習：練習：等差數列等差數列an中，已知中，已知a 1= ，a 2
4、 + a 5 =4a n = 33，則，則n是（是（ ） A.48 B.49 C.50 D.5131C練習：等比數列練習：等比數列an中中，若若a2 = 2，a6 = 32， 求求a14 【題型【題型2】等差數列的前等差數列的前n項和項和例題：例題：在三位正整數的集合中有多少個數是在三位正整數的集合中有多少個數是5的倍數？的倍數？求它們的和。求它們的和。設共有設共有n項，即，項，即，a1 =100 ，d = 5 ， an =995由由 得得 995 =100 + 5（n-1） 即即 n =180 dnaan) 1(1所以在三位正整數的集合中所以在三位正整數的集合中5的倍數有的倍數有180個，它
5、們的個，它們的和是和是98550 985502)995100(180180S解：在三位正整數的集合里，解：在三位正整數的集合里，5的倍數中最小是的倍數中最小是100，然，然后是后是105、110、115即它們組成一個以即它們組成一個以100為首項，為首項，5為為公差的等差數列，最大的是公差的等差數列，最大的是995變式：變式：在三位正整數的集合中有多少個個位不是在三位正整數的集合中有多少個個位不是0且是且是5的倍數的數？求它們的和的倍數的數？求它們的和【題型【題型2】等差（比）數列的前等差（比）數列的前n項和項和練習：練習：等差數列等差數列an中中, 則此數列前則此數列前20項的和等于（項的和
6、等于（ ） A.160 B.180 C.200 D.22012318192024,78aaaaaaB解：解： 24321aaa78201918aaa + 得：得：54)()()(183192201aaaaaa183192201aaaaaa54)( 3201aa18)(201aa180218*202)(2020120aas123211,3,2,nnnnaaaaaaa2008例3.在數列中,求S6 162636465661,3,2,1,3,2kkkkkkaaaaaa2008123200812367812616266199920002004200520062007200820052006200720
7、0861626364()()()() =5kkkkkkkSaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa練習練習2311357.(21).nSxnxxx求（2）x=1時，時，Sn=n2（3）x1時時 S=1+3x+5x2+7x3+(2n-1)x n-1 xS=x+3x2+5x3+(2n-1)x n-1+ (2n-1)x n (1-x)S=1+2(x+x2+x3+xn-1)-(2n-1) xnxnxxxnn) 12(1)1 (2110,1.xs(1)當時【題型【題型3】求等差（比）數列的通項公式】求等差（比）數列的通項公式例題：例題：已知數列已知數列an的前的前n項和項和 求求 an
8、32nsn解：當解：當 時時2n221(3)(1)321nnnassnnn當當 時時1n而而41s11a 所以：所以：)2(12)1(4nnnan所以上面的通式不適合所以上面的通式不適合 時時1n練習：練習：已知數列已知數列an的前的前n項和項和 求求 an32nns練習練習1：設等差數列設等差數列an的前的前n項和公式是項和公式是 求它的通項公式求它的通項公式_253nSnn210 nan【題型【題型3】求等差（比）數列的通項公式】求等差（比）數列的通項公式練習練習2：設等差數列設等差數列an的前的前n項和公式是項和公式是 求它的通項公式求它的通項公式_51nnS 14 5nna練習練習3：
9、 已知數列 中， ， ，求通項公式 。 na21annnaa31na2)1(32nnna【題型【題型4】等差（比）數列性質的靈活應用】等差（比）數列性質的靈活應用例題：例題：已知等差數列已知等差數列an , 若若a 2+ a 3 + a 10+ a 11 =36 ，求，求a 1+ a 12 及及S12a2+ a3 + a10+ a11 = 2（a1+ a12）=36 解：由等差數列性質易知：解：由等差數列性質易知： a2 + a11 = a3 + a10 = a1+ a12 a1+ a12 =18， S12=108【題型【題型4】等差（比）數列性質的靈活應用】等差（比）數列性質的靈活應用 練習
10、：練習： 在等比數列在等比數列an中，且中，且an0， a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么那么a3+a5= _ .62.在等比數列在等比數列an中，中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 則則a5+a6=_480【題型【題型5】例題：例題：已知數列已知數列 an 是等差數列是等差數列,bn= 3an + 4，證明，證明數列數列 bn 是等差數列。是等差數列。例題例題.已知數列已知數列 a n 中，中，a 1 = 2 且且 a n + 1 = sn，(1) 求證：求證： a n 是等比數列；是等比數列；(2) 求通項公式。求通項公式。解解: (1)略略(2) 由由 a 1 =
11、 2 且公比且公比 q = 2 a n = (2 ) 2 n 1= 2 n 故故 a n 的通項公式為的通項公式為 a n = 2 n 【題型【題型5】【題型【題型5】例例某人，公元某人，公元20002000年參加工作，打算購一套年參加工作，打算購一套 5050萬元萬元商品房，商品房，請你幫他解決下列問題：請你幫他解決下列問題： 方案方案1 1：從從 20012001年開始每年年初到銀行存入年開始每年年初到銀行存入 3 3 萬元，銀行的萬元，銀行的年利率為年利率為1.98%1.98% ，且保持不變，按復利計算（即上年利息要計入下，且保持不變，按復利計算（即上年利息要計入下年的本金生息），在年的
12、本金生息），在20102010 年年底，可以從銀行里取到多少錢？年年底，可以從銀行里取到多少錢？若想若想在在 20102010 年年底能夠存足年年底能夠存足5050萬，萬，他他每年年初至少要存多少每年年初至少要存多少錢錢？ 方案方案2 2：若在：若在20012001年初向年初向 銀銀行貸款行貸款5050萬先購房，銀行貸款的萬先購房，銀行貸款的年利率為年利率為4.425%4.425% ，按復利計算，要求從貸款開始到，按復利計算，要求從貸款開始到 20102010年要分年要分1010年還清，每年年底等額歸還且每年年還清，每年年底等額歸還且每年 1 1 次，次，他他每年至少要還多少錢每年至少要還多少錢呢？呢？ 三、歸納小結三、歸納小結本節(jié)課主要復習了等差本節(jié)課主要復習了等差(比比)數列的概念、等數列的概念、等差（比）數列的通項公式與前差（比）數列的通項公式與前n項和公式，項和公式，以及一些相關的性質以及一些相關的性質1、基本方法：掌握等差（比）數列通項公、基本方法：掌握等差（比）數列通項公式和前式和前n項和公式；項和公式；2、利用性質：掌握等差（比）數列的重要、利用性質：掌握等差（比）數列的重要性質；掌握一些比較有效的技巧；性質；掌握一些比較有效的技巧；主要內容：主要內容：應當掌握：應當掌握：
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