高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案§16極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限

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1、六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)專用資料： http://y66.80.hk qq：745924769 tel：15327376117 §1.6極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 授課次序06 教 學(xué) 基 本 指 標(biāo) 教學(xué)課題 §1.6極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 教學(xué)方法 當(dāng)堂講授，輔以多媒體教學(xué) 教學(xué)重點 兩個準(zhǔn)則，兩個重要極限 教學(xué)難點 四個定理的證明 參考教材 同濟(jì)大學(xué)編《高等數(shù)學(xué)（第6版）》 自編教材《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程》 作業(yè)布置 《高等數(shù)學(xué)》標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè) 雙語教學(xué) 函數(shù)：function；極限：limit；極限值：limit

2、 value ； 課堂教學(xué)目標(biāo) 1． 了解兩個極限存在的準(zhǔn)則 2． 掌握兩個重要極限，明確其成立的條件，并掌握其基本應(yīng)用 教學(xué)過程 1．夾逼準(zhǔn)則（20min），著重介紹兩個準(zhǔn)則的推導(dǎo)及其聯(lián)系； 2．應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則證明極限（25min）采用多媒體教學(xué)的方式 3．重要極限的應(yīng)用（10min） 4．單調(diào)有界準(zhǔn)則（10min） 5．應(yīng)用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明極限并掌握其簡單應(yīng)用（25min） 本 節(jié) 教 學(xué) 設(shè) 計 極限的存在準(zhǔn)則 1. 背景知識與引入方法 （1）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義及其基本性質(zhì)。 但是，極限定義是驗證性的，并沒有給我

3、們提供求出極限的方法。也就是說，要使用極限定義進(jìn)行證明，首先要知道數(shù)列的極限值，然后才能進(jìn)行驗證。所以，如果不能設(shè)法觀察出數(shù)列的極限值，我們就將無能為力。 極限的四則運算法則提供了計算極限的有理運算方法，使我們能夠計算一些簡單極限，但事先必須能判斷出極限是否存在，否則運算法則無法使用。 因此，我們迫切希望知道一些能夠判斷極限是否存在的高效簡便的方法。為此，本節(jié)介紹極限存在的三個準(zhǔn)則。 （2）通過三個準(zhǔn)則，我們會獲得較為豐富的“副產(chǎn)品”，這就是兩個重要極限。極限運算的實踐告訴我們，僅僅依靠四則運算法則，只能解決有理運算問題，我們會感到束手束腳，對復(fù)雜一些的題目無從下手。因此需要尋找到更有效

4、的方法去計算其它類型的極限，比如建立起冪函數(shù)與三角函數(shù)、反三角函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)之間的極限關(guān)系，以及五種初等函數(shù)相互之間的極限關(guān)系。兩個重要極限是導(dǎo)出這些重要基本關(guān)系的出發(fā)點，因此我們才說它們“重要”。 （3）極限存在準(zhǔn)則是一個比較深入的問題。這個問題的核心是“實數(shù)連續(xù)性、實數(shù)完備性”，但這已經(jīng)超出了本課程的范圍。因此，本節(jié)所涉及到的定理并沒有給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。本節(jié)講解方法應(yīng)該從實際出發(fā)，利用生活常識、幾何直觀等對定理的引出背景及結(jié)論進(jìn)行解釋。 2. 講解方法 一、單調(diào)有界定理 對于數(shù)列，如果數(shù)列的項越來越大，我們說數(shù)列是單調(diào)增加的，如果數(shù)列的項越來越小，我們說數(shù)列是單調(diào)減少的。比如我

5、們看到的世界跳高紀(jì)錄，由于人們總是追求更高更快，世界紀(jì)錄會不斷被打破，所以，世界記錄總是逐漸增高的，它是一個單調(diào)上升的數(shù)列。同時我們也看到另一個事實：雖然紀(jì)錄不斷增高，但是常識告訴我們，它不能超過100米，甚至可以斷言它不會超過10米、5米、3米。這個單調(diào)增加的數(shù)列是有上界的。這樣的數(shù)列還有很多，請注意觀察下面的數(shù)列： 數(shù)列單調(diào)減少且有下界，零或小于零的任何常數(shù)都是其下界。下界里有個最大的嗎？有！ 數(shù)列單調(diào)增加且有上界，1或大于1的任何常數(shù)都是其上界．上界里有個最小的嗎？也有！ 現(xiàn)在請用一下你的想象力：對于單調(diào)增加有上界的數(shù)列，它的圖像是數(shù)軸上的一個點列，點列中的點在數(shù)軸上會不停的向

6、前走，但是不可能越過它的最小上界a．由于數(shù)列有無窮多項，從某一項之后的所有無窮多項都會密集在a點附近。所以，數(shù)列以a為極限．對單調(diào)減少且有下界的數(shù)列可作類比思考。由此得到一個事實： 定理1（單調(diào)有界準(zhǔn)則）　單調(diào)有界的數(shù)列必有極限． 說得更明確一點，單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限。由于實數(shù)理論知識的欠缺，不對本定理進(jìn)行證明（將其證明置于擴展知識部分，請參考）。 定理1’（單調(diào)有界準(zhǔn)則的函數(shù)版） 若為定義在上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限存在． 若為定義在上的單調(diào)有界函數(shù)，則左極限存在． 二、夾逼準(zhǔn)則 定理２（夾逼準(zhǔn)則） 設(shè)數(shù)列，，是三個數(shù)列，且 若

7、　則 從幾何直觀考慮定理的證明。由于數(shù)列，都收斂于a，因此除了有限項以外，兩個數(shù)列的其它各項都會進(jìn)入到a點的鄰域之中．又 在、兩個數(shù)列的夾持下數(shù)列的相應(yīng)項也就無可選擇地進(jìn)入到a點的鄰域之中，所以數(shù)列以a為極限。 將這種想法翻譯成語言，就完成了本定理的證明。 在應(yīng)用這個定理進(jìn)行極限計算時，要注意通過適當(dāng)放大縮小不等式，尋找合適的、便于計算的控制數(shù)列，． 3. 難點及解決方法 在應(yīng)用夾逼定理作極限計算時，難點在于構(gòu)造夾逼數(shù)列。應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：（1）夾逼法是處理極限難題的有效方法，當(dāng)計算出現(xiàn)障礙時，要能夠想得起這件工具；（2）構(gòu)造夾逼數(shù)列的思路是進(jìn)行適當(dāng)放大縮??；（3）夾逼數(shù)列首先

8、應(yīng)該滿足上控數(shù)列與下控數(shù)列的極限相同，（4）夾逼數(shù)列要便于計算。例2和例3從不同角度提供了構(gòu)造夾逼數(shù)列的思路和技巧。 求遞推式的極限是另一個難點。由于這類題目的特色十分明顯，解題思路并不難，例1提供了一種典型的套路：即（1）分析單調(diào)性；（2）分析有界性；（3）根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則確認(rèn)極限存在，設(shè)為A；（4）對遞推式兩端取極限，化作方程解出極限A。另外，由于可以事先“猜”出極限，運用極限定義證明也是一條常用的思路。 4. 與其他知識點的關(guān)聯(lián) （1）根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，可以得到重要極限 根據(jù)夾逼準(zhǔn)則，可以得到重要極限 ，． （2）柯西收斂準(zhǔn)則可以推廣到其它場合。如：平面點列收斂的Ca

9、uchy準(zhǔn)則，ｎ維歐式空間中的Cauchy準(zhǔn)則，級數(shù)收斂的Cauchy準(zhǔn)則。 （3）柯西收斂準(zhǔn)則的實質(zhì)是抽象空間中的“完備性”概念。 5. 擴展知識 1）單調(diào)有界準(zhǔn)則的證明： 證明： 教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容 §1. 6極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 準(zhǔn)則I 如果數(shù)列{xn }、{yn}及{zn}滿足下列條件: (1)yn￡xn￡zn(n=1, 2, 3, × × ×), (2), , 那么數(shù)列{xn }的極限存在, 且. 證明: 因為, , 根據(jù)數(shù)列極限的定義, "e >0, $N 1>0, 當(dāng)n

10、>N 1時, 有|y n-a|0, 當(dāng)n>N 2時, 有|z n-a|N 時, 有 |y n-a|N 時, 有a-e0, $N >0, 當(dāng)n>N 時, 有|y n-a|

11、M時有定義, 準(zhǔn)則I 及準(zhǔn)則I￠ 稱為夾

12、逼準(zhǔn)則. 下面根據(jù)準(zhǔn)則I￠證明第一個重要極限: . 證明 首先注意到, 函數(shù)對于一切x10都有定義. 參看附圖: 圖中的圓為單位圓, 因為 SDAOB

13、 因為, 根據(jù)準(zhǔn)則I￠, . 應(yīng)注意的問題: 在極限中, 只要a(x)是無窮小, 就有. 這是因為, 令u=a(x), 則u ?0, 于是. , (a(x)?0). 例1. 求. 解: . 例2. 求. 解: =. 準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 如果數(shù)列{x n}滿足條件x 1￡x 2￡x 3￡ × × × ￡x n￡x n+1￡ × × ×,就稱數(shù)列{x n}是單調(diào)增加的; 如果數(shù)列{x n}滿足條件x 13x 23x 33 × × × 3x n3x n+13 × × ×,就稱數(shù)列{x n}是單調(diào)減少的. 單

14、調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列. 如果數(shù)列{x n}滿足條件x n￡x n+1, n?N+, 在第三節(jié)中曾證明: 收斂的數(shù)列一定有界. 但那時也曾指出: 有界的數(shù)列不一定收斂. 現(xiàn)在準(zhǔn)則II表明: 如果數(shù)列不僅有界, 并且是單調(diào)的, 那么這數(shù)列的極限必定存在, 也就是這數(shù)列一定收斂. 準(zhǔn)則II的幾何解釋: 單調(diào)增加數(shù)列的點只可能向右一個方向移動, 或者無限向右移動, 或者無限趨近于某一定點A, 而對有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生. 根據(jù)準(zhǔn)則II, 可以證明極限存在. 設(shè), 現(xiàn)證明數(shù)列{xn}是單調(diào)有界的. 按牛頓二項公式,

15、 有 , . 比較x n , x n+1的展開式, 可以看出除前兩項外, x n的每項都小于x n+1的對應(yīng)項, 并且x n+1還多了最后一項, 其值大于0, 因此 x n < x n+1 , 這就是說數(shù)列{xn}是單調(diào)有界的. 這個數(shù)列同時還是有界的. 因為xn的展開式中各項括號內(nèi)的數(shù)用較大的數(shù)1代替, 得 . 根據(jù)準(zhǔn)則II, 數(shù)列{xn}必有極限. 這個極限我們用e 來表示. 即. 我們還可以證明. e是個無理數(shù), 它的值是e=2. 718281828459045× × ×. 指數(shù)函數(shù)y=e x 以及對數(shù)函數(shù)y=ln x 中的底e 就是這個常數(shù). 在極限中, 只要a(x)是無窮小, 就有. 這是因為, 令, 則u ?￥, 于是. , (a(x)?0). 例3. 求. 解: 令t=-x, 則x ?￥時, t ?￥. 于是 . 或 . 備注欄 教 學(xué) 后 記 §1. 6極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 第 6 頁 共 6 頁