創(chuàng)新方案高考人教版數(shù)學文總復習練習：第六章 不等式、推理與證明 課時作業(yè)37 Word版含解析

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1、 課時作業(yè)37　合情推理與演繹推理 1．(2019·河南安陽模擬)觀察下列各式：71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，…，則72 018的末兩位數(shù)字為(　A　) A．49 B．43 C．07 D．01 解析：71,72,73,74,75，…的末兩位數(shù)字分別為07,49,43,01,07，…，周期性出現(xiàn)(周期為4)，而2 018＝4×504＋2，所以72 018的末兩位數(shù)字必定和72的末兩位數(shù)字相同，故選A． 2．下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是(　A　) A．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2

2、＝22，S3＝32，…，推斷：Sn＝n2 B．由f(x)＝xcosx滿足f(－x)＝－f(x)對?x∈R都成立，推斷：f(x)＝xcosx為奇函數(shù) C．由圓x2＋y2＝r2的面積S＝πr2，推斷：橢圓＋＝1(a＞b＞0)的面積S＝πab D．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推斷：對一切n∈N*，(n＋1)2＞2n 解析：選項A由一些特殊事例得出一般性結(jié)論，且注意到數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和等于Sn＝＝n2，選項D中的推理屬于歸納推理，但結(jié)論不正確． 3．由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則： ①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b

3、·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”； ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“＝”類比得到“＝”． 以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是(　B　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①②正確，③④⑤⑥錯誤． 4．已知整數(shù)對的序列為(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)

4、，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第70個數(shù)對是(　B　) A．(3,10) B．(4,9) C．(5,8) D．(6,7) 解析：(1,1)，兩數(shù)的和為2，共1個；(1,2)，(2,1)，兩數(shù)的和為3，共2個；(1,3)，(2,2)，(3,1)，兩數(shù)的和為4，共3個；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，兩數(shù)的和為5，共4個；……；(1，n)，(2，n－1)，(3，n－2)，…，(n,1)，兩數(shù)的和為n＋1，共n個．∵1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＝66，∴第70個數(shù)對是兩個數(shù)的和為13的數(shù)對．又兩個數(shù)的和為13的數(shù)對為(1,12

5、)，(2,11)，(3,10)，(4,9)，…，(12,1)，∴第70個數(shù)對為(4,9)，故選B． 5．(2019·石家莊模擬)如圖所示，橢圓中心在坐標原點，F(xiàn)為左焦點，當⊥時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于(　A　) A． B． C．－1 D．＋1 解析：設“黃金雙曲線”方程為－＝1， 則B(0，b)，F(xiàn)(－c,0)，A(a,0)． 在“黃金雙曲線”中，因為⊥， 所以·＝0. 又＝(c，b)，＝(－a，b)．所以b2＝aC． 又b2＝c2－a2，所以c2－a2＝aC． 在等號兩邊同除以a2，得e＝

6、. 6．如圖，有一個六邊形的點陣，它的中心是1個點(算第1層)，第2層每邊有2個點，第3層每邊有3個點，…，依此類推，如果一個六邊形點陣共有169個點，那么它的層數(shù)為(　C　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：由題意知，第1層的點數(shù)為1，第2層的點數(shù)為6，第3層的點數(shù)為2×6，第4層的點數(shù)為3×6，第5層的點數(shù)為4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)層的點數(shù)為6(n－1)．設一個點陣有n(n≥2，n∈N*)層，則共有的點數(shù)為1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋×(n－1)＝3n2－3n＋1，由題意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故

7、共有8層． 7．(2019·山西孝義模擬)我們知道：在平面內(nèi)，點(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝，通過類比的方法，可求得：在空間中，點(2,4,1)到直線x＋2y＋2z＋3＝0的距離為(　B　) A．3 B．5 C． D．3 解析：類比平面內(nèi)點到直線的距離公式，可得空間中點(x0，y0，z0)到直線Ax＋By＋Cz＋D＝0的距離公式為d＝，則所求距離 d＝＝5，故選B． 8．(2019·湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)如圖所示，將若干個點擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個端點)有n(n＞1，n∈N)個點，相應的圖案中總的點數(shù)記為an，則＋＋＋…＋＝(　C　) A．

8、 B． C． D． 解析：每條邊有n個點，所以3條邊有3n個點，三角形的3個頂點重復計了一次，所以減3個頂點，則an＝3n－3，那么＝＝＝－， 則＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝1－＝，故選C． 9．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是. 解析：由題意知，凸函數(shù)滿足 ≤f， 又y＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)， 則sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝. 10．某種平面分形圖如圖所示，一級分形圖是由一

9、點出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120°；二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°，…，依此規(guī)律得到n級分形圖． 則n級分形圖中共有(3×2n－3)條線段． 解析：分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段， 由題圖知，一級分形圖有3＝3×2－3條線段，二級分形圖有9＝3×22－3條線段， 三級分形圖中有21＝3×23－3條線段， 按此規(guī)律n級分形圖中的線段條數(shù)an＝3×2n－3. 11．(2019·湖北八校聯(lián)考)祖暅是我國南北 朝時代的數(shù)學家，是祖沖之的兒子．他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不

10、容異．”這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高．這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等．設由橢圓＋＝1(a＞b＞0)所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體(稱為橢球體)(如圖)，課本中介紹了應用祖暅原理求球體體積公式的方法，請類比此法，求出橢球體體積，其體積等于πb2a． 解析：橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，現(xiàn)構(gòu)造兩個底面半徑為b，高為a的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，根據(jù)祖暅原理得出橢球體的體積V＝2(V圓柱－V圓錐)＝2＝πb2A． 12．已知O是△ABC內(nèi)任意一點，

11、連接AO，BO，CO并延長，分別交對邊于A′，B′，C′，則＋＋＝1，這是一道平面幾何題，其證明常采用“面積法”： ＋＋＝＋＋＝＝1. 請運用類比思想，對于空間中的四面體A-BCD，存在什么類似的結(jié)論，并用“體積法”證明． 解：在四面體ABCD中任取一點O， 連接AO，DO，BO，CO并延長，分別交四個面于E，F(xiàn)，G，H點． 則＋＋＋＝1. 證明：在四面體O-BCD與 A-BCD中， ＝＝＝. 同理有＝，＝，＝， ∴＋＋＋ ＝ ＝＝1. 13．(2019·湖南模擬)天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬

12、、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后．天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，……，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，以此類推．已知1949年為“己丑”年，那么到中華人民共和國成立80年時為____年(　D　) A．丙酉 B．戊申 C．己申 D．己酉 解析：天干以10循環(huán)，地支以12循環(huán)，從1949年到2029年經(jīng)過80年，且1949年為“己丑”年，

13、以1949年的天干和地支分別為首項，80÷10＝8，則2029年的天干為己；80÷12＝6……8，則2029年的地支為酉，故選D． 14．(2019·湖北八校聯(lián)考)有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測：4號或5號選手得第一名；觀眾乙猜測：3號選手不可能得第一名；觀眾丙猜測：1,2,6號選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測：4,5,6號選手都不可能獲得第一名．比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對比賽結(jié)果，此人是(　D　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：若甲猜測正確，則4號或5號得第一名，那么乙猜測也正確，與題意不符，故甲猜測錯誤，即4號和5號均不是第一名；若

14、乙猜測正確，則3號不可能得第一名，即1,2,4,5,6號選手中有一位獲得第一名，那么甲和丙中有一人也猜對比賽結(jié)果，與題意不符，故乙猜測錯誤；若丙猜測正確，那么乙猜測也正確，與題意不符，故僅有丁猜測正確，所以選D． 15．(2016·山東卷)觀察下列等式： －2＋－2＝×1×2； －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5； …… 照此規(guī)律， －2＋－2＋－2＋…＋－2＝. 解析：觀察前4個等式，由歸納推理可知－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×n×(n＋1)＝. 16．已知點A(x1，ax1)，B(x2，ax2

15、)是函數(shù)y＝ax(a＞1)的圖象上任意不同兩點，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論成立．運用類比思想方法可知，若點A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函數(shù)y＝sinx(x∈(0，π))的圖象上任意不同兩點，則類似地有＜sin成立． 解析：對于函數(shù)y＝ax(a＞1)的圖象上任意不同兩點A，B，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論成立；對于函數(shù)y＝sinx(x∈(0，π))的圖象上任意不同的兩點A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的下方， 類比可知應有＜sin成立．