2022年高考二輪復(fù)習(xí)立體幾何解答題專練一（體積問題）

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1、2022年高考二輪復(fù)習(xí)立體幾何專題一 (體積問題) 1 .如圖，在直三棱柱A8C-A4cl中，A48C是邊長為2的正三角形，點(diǎn)E, F分別是棱 CC, , 上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上一點(diǎn)，EC = 2FB = 2. (1)若M為中點(diǎn)，證明：8W〃平面AEF； (2)若匕一 BCEF —2匕'求 AM - 2 .己知如圖1所示，等腰AABC中，AB = AC = 4, 8c = 46，。為8c中點(diǎn)，現(xiàn)將 沿折痕AO翻折至如圖2所示位置，使得N8OC =%，E、/分別為AB、AC的中點(diǎn). 3 (1)證明：BC/ /平面DEF ； (2)求四面體BCDE的體積. 3

2、 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，DC//AB , BC±AB, E為棱AP的中點(diǎn)，AB=4 , PA = PD = DC=BC = 2. (I )求證：DE / /平面PBC ; (II )若平面皿＞_L平面ABC。，試求三棱錐P-30E的體積. 4 .如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，Q4J■平面A8CZ), E,尸分別為24, 8c的中點(diǎn). (1)證明：EF//平面PCD； (2)已知F4 = M = 2, G為棱C￡＞上的點(diǎn)，EFYBG,求三棱錐E-FCG的體積. 5 .如圖所示，在三棱柱ABC-A4G中，平面AC￡A J.平面ABC , AA,

3、 1 AC , AAt=AB = BC = 2, D,"分別為 AC, AG 的中點(diǎn)，且 N84C = 30°. (I )在棱M上是否存在點(diǎn)M,使得〃平面DBG?若存在，請找出點(diǎn)M的位置: 若不存在，請說明理由； (II )求三棱錐C-D8C；的體積. ?-f1 Di 6 .如圖，已知四棱錐P-ABCD中，AB//CD, O, M分別是C￡＞，PC的中點(diǎn)，尸。_1_底 面 ABCO,且 PO = OD=O4 = AB=BC. (1)證明：月4〃平面08M； (2)若PO = 2,求三棱錐M — FAB的體積. B 7 .如圖，在四棱錐P-A5co中，四邊形4?C￡>是梯形

4、，尸￡>!.平面ASC。，ADYBD, AB//CD, 2PF = FC, AD = O、BC = M,NBDC =三,PD = CD. 4 (1)證明：AP//平面BDF； (2)求三棱銖A-DCF的體積. 8 .已知四棱錐 F—/WCD,其中 AQ//3C, ABYAD, CD = 0,8c = 2A￡)= 2 ,平面 P8CJ_ 平面/WC9,點(diǎn)E是PB上一點(diǎn)，CEA.PB. (1)求證：CE?L平面厚3； (2)若ACDE是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)A到直線尸C距離最大時，求四棱錐尸-MS的體積. 9 .如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，PA = PB

5、 = DA = DB = 1, M , N分 2 別為F4,依上的點(diǎn)，且尸M=-, BN = — . 3 3 (I )求證：〃平面ABCD； (II )求四棱錐P-ABC。體積最大時AB的長. 10 .如圖，在四棱錐A-8CDE中，底面8cDE為矩形，M為C￡＞中點(diǎn)，連接BM , CE交 于點(diǎn)尸，G為ZVWE的重心. (1)證明：GF〃平面ABC； (2)若平面 ABC_L 底面 BGDE,平面 AC￡＞_L底面 BCDE , fiC=3, CD = 6, AC = 4 , 求四棱錐G-￡7”〃＞的體積. 若PC上面EBD, (2) B 11 .如圖，2

6、4_1_面438,四邊形ABC。是邊長為1的為正方形；點(diǎn)E在線段PC上, PE EC (1)若 PA//面 EB￡),求，”值; 棱錐￡-88體積取得最大值，求四棱錐P-A8CD的高. 12 .如圖，點(diǎn)A是腰長為2的等腰直角三角形O8C的底邊OC的中點(diǎn)，A￡>_L8C于點(diǎn)。, 將AOAB沿AB折起，此時點(diǎn)。記作點(diǎn)尸. (I )當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大時，證明：平面ABC_L平面皿>： (II )若二面角P-ABC的大小為120。，求三棱錐尸-MC的體積. 13 .如圖，在三棱柱ABC-AAG中，幺4。=90。，A4 =BC =A4, =2,頂點(diǎn)C在底面 A4G上的射影為A

7、G的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，E是線段CG上除端點(diǎn)以外的一點(diǎn). (1)證明：B￡)_L平面 ACGA； (2)若三棱錐E-C￡>4的體積是三棱柱ABC-A4G的體積的上，求位的值. 4 14 .如圖，已知圓O的直徑4?長為2,上半圓圓弧上有一點(diǎn)C, NCO8 = 60。，點(diǎn)P是弧AC 上的動點(diǎn)，點(diǎn)。是下半圓弧的中點(diǎn)，現(xiàn)以為折線，將上、下半圓所在的平面折成直二面 角，連接 PO, PD, CD. D (.I )當(dāng)A8//平面PCD時，求PC的長: (II )求三棱錐P-COD最大體積. 15 .如圖，在圓錐PO中，AC為0O的直徑，點(diǎn)3在AC上，OD//BC ,

8、ZCAB = -. 6 (1)證明：/$_!_平面尸8； (2)若直線F4與底面所成角的大小為王，且底面圓的面積為4萬，求三棱錐C-POD的體 積. 16 .如圖，在四棱錐S — A8C。中，底面A8CD是直角梯形，AD//BC , ABLBC. P, Q 是 AB, 8 的中，點(diǎn)，ZSPQ = 60°, 48 = 26，BC = 2, AD=l , SB = SA = *~，點(diǎn)、M , N分別是SB, CB的中點(diǎn). (1)求證：平面AAW〃平面SC￡＞； (2)求三棱錐B-S8的體積. 17 .如圖，在直三棱柱49C —ABC中，AD = AD, E為BC'上的一點(diǎn)

9、，AB = AC=BC = a, CC = h. (1)若 BE = EC',求證：OEJ"平面 BCC'B'. (2)平面BC'O將棱柱A'QC-ABC分割為兩個幾何體，記上面一個幾何體的體積為匕， 2022年高考二輪復(fù)習(xí)立體幾何專題一(體積問題)解析 1 .如圖，在直三棱柱ABC-44c中，A45c是邊長為2的正三角形，點(diǎn)￡,尸分別是棱 CCt, 上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上一點(diǎn)，EC = 2FB = 2. (1)若M為中點(diǎn)，證明：8M//平面AEF; ⑵若匕一bcef=2匕一由，求AM- 解：(1)證明：取他中點(diǎn)G，連接GM, FG, 則GM 〃EC且GM =

10、區(qū), 2 FC 又因?yàn)?F//EC且8尸=——， 2 所以GM//BF,且6例=8尸, 所以四邊形班'為平行四邊形, 從而 BM//GF. 又BM仁平面A￡尸，Gfu平面A￡F, 所以8M 〃平面用 (2)作AK_LBC交8c于K,則K為BC中點(diǎn). 所以AK_L平面8CE, 因?yàn)锳ABC是邊長為2的正三角形，且EC = 2F3 = 2. 所以 VA.BCEF = ~ $佛形BFEC , ~ , 則匕-ME8 = Lamb = 父EC = 3匕皿肝=與1 36 2 .已知如圖1所示，等腰AABC中，A8 = AC = 4, 8c = 46，。為8c中點(diǎn)，現(xiàn)將4?￡)

11、 E、尸分別為AB、AC的中點(diǎn). 沿折痕4)翻折至如圖2所示位置，使得N8￡>C = C, 3 (1)證明：8C//平面￡>￡尸； (2)求四面體BCDE的體積. ?.?￡、/分別為AB、AC的中點(diǎn)，:.EFI/BC, ?.?EFu平面 ￡>所，BCU 平面 DEF , (2)解：在原等腰三角形A8C中，?jA8 = AC = 4, 8c = 46，。為8c中點(diǎn), .-.AD1DB, AD1DC,且 A￡) = ^4? -(28> =2 , 在折福后的三棱錐中，ADLDB, AD1DC, 又 08noe =。，，4＞，平面5￡)。， :DB=DC = 2＞/3 , Z

12、BDC = -, SABW. =-x2V3x2^xsin- = 6x —= 3x/3 , 3 Moe 2 3 2 V, Rrn = — x 3yli x 2 = 25/3 , /l—DI. U 3 ， '*t E 為 AB 中點(diǎn)、,Sme= 5 SgBc， 可得/COE =-Vp =,匕 BCD =6 - Oy-Ue, 2 ? n—Dy-U ' AB=4 , 3.如圖，在四棱錐P—A88中，DC II AB . BC± AB, E為棱AP的中點(diǎn), PA = PD = DC=BC = 2. (I )求證：OE 〃平面PBC； (II )若平面P4￡)_L平面ABCD,試求三棱

13、錐P-8/把的體積. 解：(I )證明：取心的中點(diǎn)尸，連接印，CF, ?.?E 為 24 的中點(diǎn)，..EF//AB, EF = -AB , 2 又已知 ZX7/A8, DC = -AB, 2 EF//DC且EF = DC,則四邊形CDEF為平行四邊形， ：.DE//CF,而 bu 平面 P8C, OEU 平面尸BC, ;.DE//平面PBC: (II ) ?; PA = PD,取 A￡) 中點(diǎn) O,連接 PO,則 POLAD, ?.?平面R4￡＞_L平面ABCD,且平面皿＞C平面ABC￡) = 4), ;.POJ■平面在底面直角梯形ABCD中， .DC//AB, BC

14、 X.AB, AB=4, DC = BC = 2, 可求得AO = 2夜，X PA = AD=2 ＞則夕。=應(yīng)， 又E為外的中點(diǎn)，.?.丫1??；=3匕 —x (2 + 4) 2 4如述 4 .如圖，四棱錐P-A8CD中，A8C。是正方形，E4_L平面A8C￡), E,尸分別為R4, 8c的中點(diǎn). (1)證明：E尸〃平面PCZ)： (2)已知R4 = AB = 2, G為棱CD上的點(diǎn)，EF1BG,求三棱錐￡一 FCG的體積. B f c (1)證明：如圖，取P￡>中點(diǎn)H,連接￡〃，HC, 由E, 〃分別為小,產(chǎn)短的中點(diǎn)， 知 EH//AD, EH = -AD, 2 又尸

15、為BC的中點(diǎn)，故FC//A￡>, FC = -AD, 2 即EH//FC,且.?.四邊形瓦C”是平行四邊形, 即所〃"C,又E/C平面PCD, HCu平面PCD, .-.EF//￥?PCD； (2)解：如圖，連接AF. 平面 A8C￡>, BGu平面 A8C￡), PA1BG,又 EF 上 BG , PA^\EF = E , RAu平面MF, ￡Fu平面班尸， .,.86_1平面4￡^, AFu平面 尸， .".BGYAF, 即 ZAFB+ACBG = ZAFB+ZFAB=9(r , ：.ZAFB = ^BGC ,即 RtAABF = RtABCG, 又 AB = BC

16、 = 2BF = 2, :.CG = l . 又 R4 = 2,則 AE = 1,且 FC = 1, 三棱錐 E-FCG 的體積 V = - S.rcr AE = - FC CG AE = -. 3 6 6 5 .如圖所示，在三棱柱ABC-AB?中，平面ACGA，平面ABC , AA, 1 AC , AAt=AB = BC = 2, D, R 分別為 AC, AG的中點(diǎn)，且 Za4C = 30°. (I )在棱A4,上是否存在點(diǎn)M,使得"M//平面O8G?若存在，請找出點(diǎn)M的位置; 若不存在，請說明理由； (II )求三棱錐C-DBG的體積. 解：(I )存在，當(dāng)點(diǎn)M

17、與點(diǎn)A重合時"M//平面OBQ . 證明如下： 連接R4, "分別為AC, AG的中點(diǎn)， D￡UDA ,且D.C, = DA ,可得四邊形AG。4為平行四邊形， 則 RA//CQ, ??? CQ u 平面 DBCt , R A

18、, 為 AC 的中點(diǎn), 5ABpc =；Smbc=；x；x2x2xV = ￡ > 即三棱錐C -。8G的體積為也. ?41 Di Ci 6 .如圖，已知四棱錐P-ABCD中，AB//CD, O, A/分別是CD, PC的中點(diǎn)，POJ?底 面 ABC。，且 PO = OD=￡14 = A8 = BC. (1)證明：?A〃平面O8M； (2)若PO = 2,求三棱錐A/-FAB的體積. (1)證明：在四棱錐尸-ABC。中，O是CD的中點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn), 所以O(shè)M是ACPD的中位線，即OM//PD, 又尸Ou平面皿＞,QWC平面皿),所以。0〃平面皿

19、), 因?yàn)?A3 / /CD 且 AB =」CO = DO, 2 所以四邊形A8CD是平行四邊形，有OB//AD, 因?yàn)锳￡)u平面R4D, OBU平面PAD, 所以QB//平面K4D， 而。財(cái)「|。8 = O ,所以平面OBM H平面PAD, 又叫u平面A4D,所以PA//平面08M. (2)解：連接M4, AC,如圖所示: 由 AB = BC=CO=OB = 2, 所以 AABC 的面積為SMK =1x2x2xsin60° = V3 - 又PO=2, 所以三棱錐P-ABC的體積為Vp_AfiC=|xS^BC x2 = gx/x2 =孚， 三棱錐M3。的體積為= g

20、 所以三棱錐 M - PAB 的體積為 VM_PAB = VP_ABC - VM_ABC = . 7 .如圖，在四棱錐尸-A3CD中，四邊形ASCD是梯形，F(xiàn)>D_L平面ABCD, ADLBD, AB//CD, 2PF = FC, AD = 6；BC = M/BDC = 土, PD = CD. (1)證明：AP//平面瓦邛； (2)求三棱錐A-DC尸的體積. 又ADLBD, :.NDAB =%,可得AAfiD是等腰直角三角形. 4 v AD = -j2 , BD = y/2,AB = 2 , 如圖，連接AC交8￡>于點(diǎn)￡,連接EF. BD = e,BC = Ki,NBDC =

21、%, 4 在 ABCD 中，由余弦定理得 8c2 = 8廳 + C。2 - 28。? 8 ? cos NBDC , 解得C￡> = 4,則 AE:EC = AB:C￡> = 1:2,故2AE = ￡C, 又點(diǎn) F 在棱 PC上，且 2PF = FC, AP//EF , 又4PC平面班歷￡Fu平面8。尸， 故4P〃平面B"； (2)解：由(1)知 BD = 6,BC = ?，NBDC =巴,CD = PD = 4 , 4 在 AAC￡> 中，ADLBD,ABDC = ^ , 故乙皿?二網(wǎng)， 4 則 S.”,AO,CZrsinZAOC ='x0x4x立=2， aaco 2

22、 2 2 即匕 DCF=VF 4CD=--5MCD--^ = -x2x-x4 = —. n—Lf\.r r 3 ZViC Lz 3 3 3 9 8 .已知四棱錐尸-ABC。，其中 AD//8C, AB±AD, CD = & , 3c = 24) = 2 ,平面 PBC_L 平面ABC￡>,點(diǎn)E是PB上一點(diǎn),CELPB . （1）求證：CEJ_平面RS： （2）若ACDE是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)A到直線PC距離最大時，求四棱錐P-ABCD的體枳. (1)證明：因?yàn)?AD//8C, AB A. AD,則 A8_L8C, 因?yàn)槠矫?>3C_L平面ABC￡>,且平面P8CC平面A3u

23、平面ABC￡), 所以平面PBC,又CEu平面「8C, 所以 ABJLCE,又 CELPB , PB^\AB = B , PB , 48u平面 F4B, 則CE_L平面RS； (2)解：因?yàn)辄c(diǎn)A到直線PC的距離為4 = 476訪/4。/, 當(dāng)NACP = 90。時，點(diǎn)A到直線PC的距離最大，此時PC 1. AC, 由(1)可知，他_1_平面PBC,又PCu平面PBC, 所以 AB_LPC,又 = AB, ACu 平面 ABC￡), 所以尸C J■平面ABC。， 又ACDE為等邊三角形,所以CD = CE = 6 , 在 RtABCE 中，BC = 2, CE = 42,則

24、8￡?=應(yīng)， 故NC8E=45°,所以尸C = 2, 因?yàn)?橫心皿》='|， 故 ^r-AHCD ~ ' S郴SBCO - PC = 1 ' 所以四棱錐尸-ABCD的體積為1. 9 .如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABC。中，PA = PB=DA = DB = 1, M , N分 2 1 別為R4, P8上的點(diǎn)，且尸M=_, BN =-. 3 3 (I )求證：MN//平面ABCD； (II )求四棱錐P-ABC￡>體積最大時AB的長. B C 一 1 2 1 PM PN (/)證明：：PA = PB = l, PM =-, BN = -,——=—,:.MN

25、//AB. 3 3 MA NB 又?.?MV 仁平面 ABC。，ABu 平面 ABC￡>, :.MN / / ABCD. (〃)解：;PA = PB = DA = DB, 和A/%8為底邊相同的兩個等腰三角形. 取 AB 的中點(diǎn)為 E,連接 P￡, DE,則PELAB, DELAB,且尸 E0|OE = E. r.ABJ■平 由題得當(dāng)平面上4B1?平面ABD時，三棱錐的體積最大， 即四棱錐P—ABCO的體積最大, ； Swo =IS平行四邊般ABC" , '''匕：校錐P-APO =5%校W：P-ABCO , 令 AB = 2x , 貝 lj 0J

26、l-x2 V ^P-ABD = 3 X 5 X 2xx 也-X? X yj\-x2 =-x--r1. /(x) = -x--x5. 0 令尸(x) = 0,得x邛 當(dāng)xw(0,f)時，f\x) >0 , /(x)在(0,日)上單調(diào)遞增, 等，，四棱錐P3CD體積的最大值為 當(dāng)x e (當(dāng),1)時，f\x) < O.-./(x)在(4,1)上單調(diào)遞減， .?.當(dāng) x =避時， 3 皿 3 3 3 4G 27， iJtB't AB = —. 3 10.如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面8CDE為矩形，”為C￡>中點(diǎn)，連接, CE交 于點(diǎn)尸，G為A4BE的重心.

27、 (1)證明：GF//平面ABC； (2)若平面 ASC_L 底面 BCDE,平面 ACO_L 底面 8C/)E , fiC=3. 8 = 6, AC = 4, 求四棱錐G - ￡75/0的體積. 解：（1）證明：延長EG,交AB于點(diǎn)、N ,連接C7V ?.?G是A4BE的重心，；.N是的中點(diǎn)，且竺=2, GN CM UBE, EF BE EF _ EG ~FC~GN .-.GF//NC , 又GFC平面ABC, NCu平面ABC, .?.6尸//平面48。. (2) ?.?平面 ABC_L平面 8C￡)￡,平面 A8CC平面 8c￡>E = BC

28、 , DC±BC, ￡)Cu平面 3C￡>E, .??。。_1_平面 ABC, ?.?ACu平面 ABC, :.DCLAC,同理，BCLAC, v BCp|DC = C , BC, DCu平面 BCDE, r. AC_L 平面 8clDE, N為AB的中點(diǎn)，則N到平面BCDE的距離d = , AC = 2 , 2 又G為MBE的重心，.?.點(diǎn)G到平面BCDE的距離人滿足或=空=2 , d EN 3 解得〃=3. 3 1 1 □ 1 C ?.?四邊形 的面積 S = -x￡)ExC￡> ——xA/Cx —= 9-- = —, 2 2 3 2 2 四棱錐G-EFMD的體

29、積V =1x"x± = W . 3 2 3 3 11.如圖，EA_L面A8C￡）,四邊形A8C￡＞是邊長為1的為正方形；點(diǎn)E在線段PC匕 PE =tn - EC (1) 若尸A//面EBD, 求 m 11； 若尸C _L面EBD , (2) 棱錐E-BCD體積取得最大值，求四棱錐P-ABC。的高. ???Alu 面序 C,面 ft4CC 面 ￡BD = ￡O, PA//面 EBD, PA II EO EO CE CO 1 = = =-,二〃i = l. PA CP CA 2 (2)設(shè)4(70|8。=。. AB4c 中，作 EW//P4,交

30、 AC于〃. 面 A8C￡),，￡"_1面 A88, EH 就是 E到面 SCO的距離, 因?yàn)镋-5co的底面ABCD不變，所以求四棱錐尸-ABC。的高，即求E4最大時R4的值. ??? PC ± 面 EBD , OE u 面 EBD , OE ± PC . 故E在以O(shè)C為直徑的半圓上, 當(dāng)EH取最大值時，EH為圓的半徑，，為圓心. PA CH ? ?* ? i 「 此時—=—=Z = 4, PA = 4EH=4x-\OC\=>f2 . EH CA 21 OC | 2 12.如圖，點(diǎn)A是腰長為2的等腰直角三角形O8C的底邊OC的中點(diǎn)，ADJ_8C于點(diǎn)。, 將ZOAB沿A8折起，

31、此時點(diǎn)O記作點(diǎn)P . (I)當(dāng)三棱錐尸-MC的體積最大時，證明：平面ABC,平面皿＞： (II )若二面角P-ABC的大小為120。，求三棱錐P-ABC的體積. B (I )證明：如圖，要使三棱錐P-ABC的體積最大，則平面P4BJL平面ABC,所以P4_L 平面ABC. 又 BCu 平面 ABC,所以 BCJ_R4.又 AD_L8C, AD^\PA = A, ADu 平面 R4￡), R4u 平面/HD, 所以BCJL平面皿＞.又8Cu平面ABC, 所以平面ABC ±平面PAD . (11)解：如圖，由題意知P4_LAB, AB VAC, PA^\AC = A ,而二面角

32、P-AB-C的大 小為 120°,所以 NE4c=120。. 根據(jù)折疊過程可程BC = P8 = 2,所以尸A = 4C = 48 = V5, 所以三棱錐P-ABC的高〃 = 2441160。=&、且=逅， 2 2 所以三棱錐P—tABC的體積丫 = 150加、.〃 =1?'AB-AC 〃 =2x0x&x^ = ^ . 3 3 2 6 2 6 13.如圖，在三棱柱A8C - A4G中，4418cl =90°，A4=4G=A4,=2,頂點(diǎn)C在底面 A81G上的射影為AC的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，E是線段CG上除端點(diǎn)以外的一點(diǎn). (1)證明：801.平面 ACGA； 1 c

33、 F (2)若三棱錐E-CW的體積是三棱柱"C-AUG的體積的展，求停的值. (1)證明：設(shè)AG的中點(diǎn)為。，連接oq, oc, ?.,點(diǎn)C在底面AgG上的射影為O, CO_L平面A,B￡ , 又「cou平面AGC4 ,平面A￡CAJ"平面aqG， 幺4G =90。，平面 agcac平面 ABC = AG， .?.80_1平面人c。4,連接OO, ?.? DO! IBB, , DO = 8A，.?.四邊形B8Q￡）為平行四邊形, .?.8￡>_1平面4。。1； （2）解：由（1）得BQ_L平面 AGC4 , OC, =OC = CD=BtO = yf2 , 4GC =

34、45° , ZACC, =135° , 令CE=x, SAnrf. = -- DC- CE- sinZACC, V2 x-sinl35° = -x , ADCE 2 1 2 2 .v — V _ J. .RO— r , ' yE-CDBf - y'-CDE _ 3°DCE 一 人, 又；arc =S .?c -CO = -x2x2xV2=2>/2, /tot -rl|ZJ|V| a/1|D|C ? 2 B i 由已知可得在x = 解得x = l. 6 12 C E 1 ??.E為CG的中點(diǎn)，即* = ■!■. CtC 2 14.如圖，已知圓O的直徑AB長為2

35、,上半圓圓弧上有一點(diǎn)C, NCO3 = 60。，點(diǎn)P是弧AC 上的動點(diǎn)，點(diǎn)。是下半圓弧的中點(diǎn)，現(xiàn)以4?為折線，將上、下半圓所在的平面折成直二面 角，連接尸O, PD, CD. D (I )當(dāng)AB//平面PC￡)時，求PC的長； (II)求三棱錐P-COQ最大體積. 解：(I ) ?.?舫//平面巾￡), ABu平面OCP,平面OCPC平面PC0 = PC, 由直線與平面平行的性質(zhì)可得AB//PC, 又 NCO8 = 60。，可得 NOCP = 60°, 而OC = OP, 為正三角形， 得 PC = 1; (II ) ?.?二面角C-AB-D為直二面角，且平面AC8

36、C平面4)8 =9， DO LAB, DOu 平面 ADB, ￡)0 _L平面 COP ,而 VP ron = Vn rnp . .?.當(dāng)CO_LO尸時，三棱錐P-COD的體積最大， 則匕 mp=-x-xOPxOCxOD = -. 3 2 6 15.如圖，在圓錐PO中，AC為(DO的直徑，點(diǎn)B在AC上，OD//BC, ZCAB = -. 6 (1)證明：平面P8； (2)若直線上4與底面所成角的大小為衛(wèi)，且底面圓的面積為4乃，求三棱錐C-POD的體 4 積. (1)證明：如圖，???/>0_1圓錐底面，，/>01.鉆， ?.?AC為OO的直徑，點(diǎn)8在AC

37、上，. .AB1BC, 又8//8C, ..ABLOD, PO[yOD = O, PO、ODu 平面 POD, AB_L平面 POD； (2)解：?.?底面圓的面積為41，.?.Q4 = 2 , AC = 4, 在 RtAABC 中，Z.CAB = - , :.BC=2 ,則 48 = 542-2, =2也, 6 Sgsc =耳 x 2 x 2G = 2\/3 ? ???o為AC的中點(diǎn)，。為他的中點(diǎn)，5?00=15皿^=工、26=走, 又直線PA與底面所成角的大小為王,:.PO = OA = 2, 4 16.如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面ABC。是直角梯形，A

38、D//BC, ABLBC, P, Q 是 8 的中，點(diǎn)，NSPQ = 60。，AB = 26 , BC = 2, AD=\, SB = SA = g^，點(diǎn)M , N分別是SB, C8的中點(diǎn). (1)求證：平面4WZV//平面SC。； (2)求三棱錐8-SCD的體積. d D (1)證明：???A7, N分別是SB, C8的中點(diǎn)，.?.MN//SC, MN = -SC 2 :.NC = -BC = l, 2 又 AD=1, AD/IBC . :.ADI INC 旦 AD = NC , 則四邊形AZX7N是平行四邊形，得AN "DC, 由 MN I/SC, MNP 平面 S

39、CD, SCu 平面 SCO,得 MN 〃平面 SQD, 由 AV/ADC, ANU平面SCO, "u平面SC￡>,得 4V//平面SCO, 平面AMV//平面S8； (2)解：?.?SB = S4 =叵，P是他的中點(diǎn)，. .SP±AB, 2 則 SP? 得 SP =但_3=3, V 4 2 ?.?Q 是 ZX?的中點(diǎn)，.-.PQ = ^D+BC =-,得 SP = PQ, 2 2 已知NSPQ = 60。，；.A5PQ為等邊三角形，取PQ的中點(diǎn)E,連接SE, 得 SE工 PQ, SE = JsP2_&PQ)2 =、H=早. V 2 V4 16 4 . PQ//BC,

40、AB±BC, ABLPQ, v SP^PQ=pf .?.4?_L平面SPQ,而ABu平面ABC。，得平面5尸Q J■平面ABCD, 又平面SPQC平面 45c￡>=PQ,「.SEI.平面 ABC￡). ? ,Vb-SCD =Vs_BCD = , SE. Swcd = JX-^~X-x2x2^3 = 2 , ， D 17.如圖，在直三棱柱 A'QC'-ABC 中，AD=AD, ￡為 BC'上的一點(diǎn)，AB = AC = BC = a, CC = h. (1)若 BE = EC ,求證：平面 8CC'8’. (2)平面BC'O將棱柱A'&C-ABC分割為兩個幾何體，記上面一個幾何體

41、的體積為匕， 下面一個幾何體的體積為匕，求乜的值. 匕 C' B 解：（1）證明：如圖，取BC1中點(diǎn)F,連接AF, E,在直三棱柱A'9C'-ABC中, :BE = EC', :.EF//CC, EF = -CC', 2 -.AD=AD, AO = !cC^A￡>//CC, 2 四邊形4）防是平行四邊形， :.DE//AF, 由題意AA8C為正三角形，側(cè)棱A4', BB' , CC'兩兩平行且都垂直于平面A8C, ：.AF±BC, AFJ.BB1, .BC , ￡3u 平面 BCC'8', BC^\BB' = B, AF _L 平面 BCC'B', (2)正三棱柱A'QC'-ABC的底面積S ,則體積丫 =走〃%. 2 2 4 4 下面一個幾何體為四棱錐B-ACC'D,底面積5悌仆，。=g xj x a = % , 因?yàn)槠矫鍭BCJ_平面ACCW,過點(diǎn)8作AABC邊AC上的高線BG,如圖， 在平面與平面垂直的性質(zhì)可得BG垂直于平面ACCA'. 故四棱錐8- ACC'D的高等于3。. 2 則 V-, =-x — ahx — a = ~ a2h ? 2 3 4 2 8 從而乂=丫一匕= 2 4 8 8 V -L = l. C'