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[課時作業(yè)]
[A組 基礎鞏固]
1.若A=x+x+…+x,B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1x2,…,xn都是正數(shù),則A與B的大小關系為( )
A.A>B B.A
2、C
2.某班學生要開聯(lián)歡會,需要買價格不同的禮品4件、5件和2件,現(xiàn)在選擇商店中單價為3元、2元和1元的禮品,則花錢最少和最多的值分別為( )
A.20,23 B.19,25
C.21,23 D.19,24
解析:最多為5×3+4×2+2×1=25,
最少為5×1+4×2+2×3=19,應選B.
答案:B
3.銳角三角形中,設P=,Q=acos C+bcos B+ccos A,則P、Q的關系為( )
A.P≥Q B.P=Q
C.P≤Q D.不能確定
解析:不妨設a≥b≥c,則A≥B≥C,
∴cos C≥cos B≥cos A,
acos C+bcos B+c
3、cos A為順序和,
由排序不等式定理,它不小于一切亂序和,
所以一定不小于P,
∴Q≥P.
答案:C
4.(1+1)……的取值范圍是( )
A.(21,+∞) B.(61,+∞)
C.(4,+∞) D.(3n-2,+∞)
解析:令A=(1+1)…
=×××…×,
B=×××…×,
C=×××…×.
由于>>,>>,>>,…,>>>0,
所以A>B>C>0.所以A3>A·B·C.
由題意知3n-2=61,所以n=21.
又因為A·B·C=3n+1=64.所以A>4.
答案:C
5.已知a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4
4、,b3=6,b4=10,b5=11,將bi(i=1,2,3,4,5)重新排列記為c1,c2,c3,c4,c5,則a1c1+a2c2+…+a5c5的最大值是( )
A.324 B.314
C.304 D.212
解析:兩組數(shù)據(jù)的順序和為a1b1+a2b2+…+a5b5=2×3+7×4+8×6+9×10+12×11=304.
而a1c1+a2c2+…+a5c5為這兩組數(shù)的亂序和,
∴由排序不等式可知,a1c1+a2c2+…+a5c5≤304,
當且僅當ci=bi(i=1,2,3,4,5)時,a1c1+a2c2+…+a5c5有最大值,最大值為304.
答案:C
6.已知兩組數(shù)1
5、,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3是4,5,6的一個排列,則c1+2c2+3c3的最大值是________,最小值是________.
解析:由反序和≤亂序和≤順序和知,順序和最大,反序和最小,故最大值為32,最小值為28.
答案:32 28
7.兒子過生日要老爸買價格不同的禮品1件、2件及3件,現(xiàn)在選擇商店中單價為13元、20元和10元的禮品,至少要花________錢.
解析:設a1=1(件),a2=2(件),a3=3(件),b1=10(元),b2=13(元),b3=20(元),則由排序原理反序和最小知至少要花a1b3+a2b2+a3b1=1×20+2×13+3×10=76(
6、元).
答案:76元
8.在Rt△ABC中,∠C為直角,A,B所對的邊分別為a,b,
則aA+bB與(a+b)的大小關系為________.
解析:不妨設a≥b>0,
則A≥B>0,由排序不等式
?2(aA+bB)≥a(A+B)+b(A+B)=(a+b)
∴aA+bB≥(a+b).
答案:aA+bB≥(a+b)
9.設a,b,c都是正實數(shù),求證:++≤.
證明:設a≥b≥c>0,
則≥≥,則≥≥.
由不等式的性質(zhì),知a5≥b5≥c5.
根據(jù)排序不等式,知
++≥++=++.
又由不等式的性質(zhì),知a2≥b2≥c2,≥≥.
由排序不等式,得
++≥++=++.
7、由不等式的傳遞性,知
++≤++=.
∴原不等式成立.
10.設0
8、的大小關系是( )
A.P>Q B.P≥Q
C.P0,
則0<≤≤,00,a+b+c>0,
于是≥abc,即P≥Q.
答案:B
2.已知a,b,c∈R+,則a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正負情況是( )
A.大于零 B.大于等于零
C.小于零 D.小于等于零
解析:不妨設a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,根據(jù)排序原理,
得a3·a+b3×b+c3×c≥a3b+b3
9、c+c3a.
又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.
∴a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab.
即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.
答案:B
3.設a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一個排序,則a1+2a2+3a3+4a4的取值范圍是________.
解析:a1+2a2+3a3+4a4的最大值為12+22+32+42=30.
最小值為1×4+2×3+3×2+4×1=20.
∴a1+2a2+3a3+4a4的取值范圍是[20,30].
答案:[20,30]
4.已知:a
10、+b+c=1,a、b、c為正數(shù),則++的最小值是________.
解析:不妨設a≥b≥c,
∴≥≥.
∴++≥++ ①
++≥++ ②
①+②得:++≥,
∴++≥.
答案:
5.設a1,a2,a3,a4∈R+且a1+a2+a3+a4=6,
求+++的最小值.
解析:不妨設a1≥a2≥a3≥a4>0,則≥≥≥,a≥a≥a≥a,
∴+++是數(shù)組“,,,”和“a,a,a,a”的亂序和,而它們的反序和為·a+·a+·a+·a=a1+a2+a3+a4=6.
∴由排序不等式知當a1=a2=a3=a4=時,+++有最小值,
最小值為6.
6.設a,b,
11、c為某一個三角形的三條邊,a≥b≥c,求證:
(1)c(a+b-c)≥b(c+a-b)≥a(b+c-a);
(2)a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.
證明:(1)用比較法:
c(a+b-c)-b(c+a-b)
=ac+bc-c2-bc-ab+b2
=b2-c2+ac-ab
=(b+c)(b-c)-a(b-c)
=(b+c-a)(b-c).
因為b≥c,b+c-a>0,
于是c(a+b-c)-b(c+a-b)≥0,
即c(a+b-c)≥b(c+a-b). ①
同理可證b(c+a-b)≥a(b+c-a). ②
綜合①②,證畢
12、.
(2)由題設及(1)知,
a≥b≥c,a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),
于是由排序不等式:反序和≤亂序和,得
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)
≤ab(b+c-a)+bc(c+a-b)+ca(a+b-c)
=3abc+ab(b-a)+bc(c-b)+ca(a-c). ①
再一次由反序和≤亂序和,得
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)
≤ac(b+c-a)+ba(c+a-b)+cb(a+b-c)
=3abc+ac(c-a)+ab(a-b)+bc(b-c). ②
將①和②相加再除以2,得
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.
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