精修版數(shù)學人教A版選修45優(yōu)化練習:第三講 三 排序不等式 Word版含解析

上傳人:沈*** 文檔編號:76791813 上傳時間:2022-04-19 格式:DOC 頁數(shù):7 大小:124.50KB
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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 [課時作業(yè)] [A組 基礎鞏固] 1.若A=x+x+…+x,B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1x2,…,xn都是正數(shù),則A與B的大小關系為(  ) A.A>B        B.A

2、C 2.某班學生要開聯(lián)歡會,需要買價格不同的禮品4件、5件和2件,現(xiàn)在選擇商店中單價為3元、2元和1元的禮品,則花錢最少和最多的值分別為(  ) A.20,23 B.19,25 C.21,23 D.19,24 解析:最多為5×3+4×2+2×1=25, 最少為5×1+4×2+2×3=19,應選B. 答案:B 3.銳角三角形中,設P=,Q=acos C+bcos B+ccos A,則P、Q的關系為(  ) A.P≥Q B.P=Q C.P≤Q D.不能確定 解析:不妨設a≥b≥c,則A≥B≥C, ∴cos C≥cos B≥cos A, acos C+bcos B+c

3、cos A為順序和, 由排序不等式定理,它不小于一切亂序和, 所以一定不小于P, ∴Q≥P. 答案:C 4.(1+1)……的取值范圍是(  ) A.(21,+∞) B.(61,+∞) C.(4,+∞) D.(3n-2,+∞) 解析:令A=(1+1)… =×××…×, B=×××…×, C=×××…×. 由于>>,>>,>>,…,>>>0, 所以A>B>C>0.所以A3>A·B·C. 由題意知3n-2=61,所以n=21. 又因為A·B·C=3n+1=64.所以A>4. 答案:C 5.已知a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4

4、,b3=6,b4=10,b5=11,將bi(i=1,2,3,4,5)重新排列記為c1,c2,c3,c4,c5,則a1c1+a2c2+…+a5c5的最大值是(  ) A.324 B.314 C.304 D.212 解析:兩組數(shù)據(jù)的順序和為a1b1+a2b2+…+a5b5=2×3+7×4+8×6+9×10+12×11=304. 而a1c1+a2c2+…+a5c5為這兩組數(shù)的亂序和, ∴由排序不等式可知,a1c1+a2c2+…+a5c5≤304, 當且僅當ci=bi(i=1,2,3,4,5)時,a1c1+a2c2+…+a5c5有最大值,最大值為304. 答案:C 6.已知兩組數(shù)1

5、,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3是4,5,6的一個排列,則c1+2c2+3c3的最大值是________,最小值是________. 解析:由反序和≤亂序和≤順序和知,順序和最大,反序和最小,故最大值為32,最小值為28. 答案:32 28 7.兒子過生日要老爸買價格不同的禮品1件、2件及3件,現(xiàn)在選擇商店中單價為13元、20元和10元的禮品,至少要花________錢. 解析:設a1=1(件),a2=2(件),a3=3(件),b1=10(元),b2=13(元),b3=20(元),則由排序原理反序和最小知至少要花a1b3+a2b2+a3b1=1×20+2×13+3×10=76(

6、元). 答案:76元 8.在Rt△ABC中,∠C為直角,A,B所對的邊分別為a,b, 則aA+bB與(a+b)的大小關系為________. 解析:不妨設a≥b>0, 則A≥B>0,由排序不等式 ?2(aA+bB)≥a(A+B)+b(A+B)=(a+b) ∴aA+bB≥(a+b). 答案:aA+bB≥(a+b) 9.設a,b,c都是正實數(shù),求證:++≤. 證明:設a≥b≥c>0, 則≥≥,則≥≥. 由不等式的性質(zhì),知a5≥b5≥c5. 根據(jù)排序不等式,知 ++≥++=++. 又由不等式的性質(zhì),知a2≥b2≥c2,≥≥. 由排序不等式,得 ++≥++=++.

7、由不等式的傳遞性,知 ++≤++=. ∴原不等式成立. 10.設0

8、的大小關系是(  ) A.P>Q B.P≥Q C.P0, 則0<≤≤,00,a+b+c>0, 于是≥abc,即P≥Q. 答案:B 2.已知a,b,c∈R+,則a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正負情況是(  ) A.大于零 B.大于等于零 C.小于零 D.小于等于零 解析:不妨設a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,根據(jù)排序原理, 得a3·a+b3×b+c3×c≥a3b+b3

9、c+c3a. 又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab. ∴a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab. 即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0. 答案:B 3.設a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一個排序,則a1+2a2+3a3+4a4的取值范圍是________. 解析:a1+2a2+3a3+4a4的最大值為12+22+32+42=30. 最小值為1×4+2×3+3×2+4×1=20. ∴a1+2a2+3a3+4a4的取值范圍是[20,30]. 答案:[20,30] 4.已知:a

10、+b+c=1,a、b、c為正數(shù),則++的最小值是________. 解析:不妨設a≥b≥c, ∴≥≥. ∴++≥++ ① ++≥++ ② ①+②得:++≥, ∴++≥. 答案: 5.設a1,a2,a3,a4∈R+且a1+a2+a3+a4=6, 求+++的最小值. 解析:不妨設a1≥a2≥a3≥a4>0,則≥≥≥,a≥a≥a≥a, ∴+++是數(shù)組“,,,”和“a,a,a,a”的亂序和,而它們的反序和為·a+·a+·a+·a=a1+a2+a3+a4=6. ∴由排序不等式知當a1=a2=a3=a4=時,+++有最小值, 最小值為6. 6.設a,b,

11、c為某一個三角形的三條邊,a≥b≥c,求證: (1)c(a+b-c)≥b(c+a-b)≥a(b+c-a); (2)a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc. 證明:(1)用比較法: c(a+b-c)-b(c+a-b) =ac+bc-c2-bc-ab+b2 =b2-c2+ac-ab =(b+c)(b-c)-a(b-c) =(b+c-a)(b-c). 因為b≥c,b+c-a>0, 于是c(a+b-c)-b(c+a-b)≥0, 即c(a+b-c)≥b(c+a-b). ① 同理可證b(c+a-b)≥a(b+c-a). ② 綜合①②,證畢

12、. (2)由題設及(1)知, a≥b≥c,a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c), 于是由排序不等式:反序和≤亂序和,得 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤ab(b+c-a)+bc(c+a-b)+ca(a+b-c) =3abc+ab(b-a)+bc(c-b)+ca(a-c). ① 再一次由反序和≤亂序和,得 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤ac(b+c-a)+ba(c+a-b)+cb(a+b-c) =3abc+ac(c-a)+ab(a-b)+bc(b-c). ② 將①和②相加再除以2,得 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc. 最新精品資料

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