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2．3．1向量數(shù)量積的物理背景與定義
一、學(xué)習(xí)要點：向量數(shù)量積的定義、投影、數(shù)量積的性質(zhì)
二、學(xué)習(xí)過程：
一.復(fù)習(xí)回顧：數(shù)乘運算的定義及運算律:
二.新課學(xué)習(xí)：
1.平面向量數(shù)量積的物理背景:
θ
s
F
如圖:一個物體在力F 的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F 所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計算？
W = |F|×|s|cosq
其中力F 和位移s 是向量，q是F 與s 的夾角，
2.平面向量數(shù)量積的定義:
(1)向量的夾角:
不共線向量有不同方向,它們的位置關(guān)系可用夾角來表示,關(guān)于向量的夾角,我
2、們規(guī)定:
兩個非零向量a 和b ，作a，b,則
叫做向量a 和b 的夾角．
A
OO
BO
B1O
a
b
q
A
OO
BO
B1O
a
b
q
A
OO
BO
(B1)O
a
b
q
A
A
O
A
B
a
b
C
A
B
A
q = 0°
O
B
B
B
A
O
O
q
q
q
q
O
O
B
B
A
O
q = 180°
特殊情況:當(dāng)θ= 0°時, a 與b同向；
當(dāng)θ= 180°時, a 與b反向；
3、 當(dāng)θ= 90°時,我們說a 與b垂直,記作a⊥b.
注意:求兩向量的夾角,兩向量必須共起點.
(2)定義:
已知兩個非零向量a與b, 我們把數(shù)量 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a×b, 即
規(guī)定: 零向量與任一向量的數(shù)量積為0.×即 a×0 =0 .
注意:
1°兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，符號由cosq的符號所決定;
2° a×b不能寫成a×b ，也不能寫成ab．
(3)思考 :向量的數(shù)量積什么時候為正,什么時候為負(fù)?
當(dāng)0°≤θ ＜ 90°時 a
4、×b 為正；
當(dāng)90°＜θ≤180°時 a×b 為負(fù)；
當(dāng)θ=90°時 a×b為零.
(4)投影的概念與數(shù)量積的幾何意義:
1° “投影”的概念：
定義： 叫做向量b在a方向上的投影.
注意：(1)投影也是一個數(shù)量，不是向量.
(2)當(dāng)q為銳角時投影為正值；
當(dāng)θ為鈍角時投影為負(fù)值；
當(dāng)θ為直角時投影為0；
當(dāng)θ= 0°時投影為 |b|；
當(dāng)θ= 180°時投影為-|b|.
2°向量的數(shù)量積的幾何意義：
3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì):
設(shè)
5、a、b為兩個非零向量，e是單位向量.
1°
2°
3°
4°
5°
三．例題：
例1 已知|a|=5，|b|=4，若 (1)a與b的夾角θ=120°(2) a∥b; (3) a^b,分別求a·b.
例2 已知平面上三點A、B、C滿足
6、求的值.
四.課堂練習(xí):
1. 教材109頁練習(xí)題;
2.判斷下列各命題正確與否：
(1) 若a = 0，則對任一向量b，有a×b = 0。
(2) 若a 1 0，則對任一非零向量b，有a×b 1 0。
(3) 若a 1 0，a×b = 0，則b = 0。
(4) 若a×b = 0，則a 、b至少有一個為零。
(5) 若a 1 0，a×b = a×c，則b = c。
(6) 若a×b = a×c，則b = c當(dāng)且僅當(dāng)a 1 0時成立。
(7) 對任意向量a、b、c，有(a×b)×c 1 a×(b×c)。
(8) 對任意向量a，有a2 = |a|2。
五.課堂小結(jié):
公式變形
抽象
特殊化
五條重要性質(zhì)
數(shù)形
結(jié)合
幾何意義
平面數(shù)量積的定義
a×b = |a||b|cosq
對功W= |F||s|cosq結(jié)構(gòu)分析
六.作業(yè): 見作業(yè)（20）
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