高考人教版數(shù)學(xué)理總復(fù)習(xí)練習(xí)：第六章 不等式、推理與證明 課時(shí)作業(yè)37 Word版含解析

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1、 課時(shí)作業(yè)37　基本不等式 1．“a＞b＞0”是“ab＜”的(　A　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要條件，故選A. 2．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是(　D　) A.≤ B.＋≤1 C.≥2 D．a(chǎn)2＋b2≥8 解析：4＝a＋b≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立)，即≤2，ab≤4，≥，選項(xiàng)A，C不成立；＋＝＝≥1，選項(xiàng)B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1

2、6－2ab≥8，選項(xiàng)D成立． 3．(2019·安慶一模)已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，則＋的最小值為(　B　) A．4 B．2 C．8 D．16 解析：由a＞0，b＞0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，則＋≥2 ＝2.當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立，故選B. 4．若正數(shù)x，y滿足4x2＋9y2＋3xy＝30，則xy的最大值是(　C　) A. B. C．2 D. 解析：由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時(shí)等號(hào)成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值為2. 5．設(shè)x＞0，y＞0，且x＋4y

3、＝40，則lgx＋lgy的最大值是(　D　) A．40 B．10 C．4 D．2 解析：因?yàn)閤＋4y＝40，且x＞0，y＞0， 所以x＋4y≥2＝4.(當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y時(shí)取“＝”) 所以4≤40，所以xy≤100. 所以lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2. 所以lgx＋lgy的最大值為2. 6．(2019·海淀模擬)當(dāng)0＜m＜時(shí)，若＋≥k2－2k恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　D　) A．[－2,0)∪(0,4] B．[－4,0)∪(0,2] C．[－4,2] D．[－2,4] 解析：因?yàn)?＜m＜，所以×2m×(1－2m)≤×2＝，當(dāng)且僅當(dāng)2m＝1－

4、2m，即m＝時(shí)取等號(hào)，所以＋＝≥8，又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是[－2,4]，故選D. 7．已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值為　4　. 解析：∵a＞b＞0，∴a－b＞0， ∴b(a－b)≤2＝， ∴a2＋≥a2＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝a－b且a2＝， 即a＝且b＝時(shí)取等號(hào)， ∴a2＋的最小值為4. 8．(2019·河南中原名校聯(lián)考)已知直線ax－2by＝2(a＞0，b＞0)過圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心，則＋的最小值為　　. 解析：圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心坐標(biāo)為(2，－1)． 由于直線a

5、x－2by＝2(a＞0，b＞0)過圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心，故有a＋b＝1. ∴＋＝(a＋2＋b＋1) ＝ ≥＋×2 ＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝時(shí)，取等號(hào)， 故＋的最小值為. 9．某游泳館擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的泳池，池的深度為1米，池的四周墻壁建造單價(jià)為每米400元，中間一條隔壁建造單價(jià)為每米100元，池底建造單價(jià)每平方米60元(池壁厚忽略不計(jì))．則泳池的長設(shè)計(jì)為　15　米時(shí)，可使總造價(jià)最低． 解析：設(shè)泳池的長為x米，則寬為米，總造價(jià)f(x)＝400×＋100×＋60×200＝800×＋12 000≥1 600＋12 000＝36 000(元)，

6、當(dāng)且僅當(dāng)x＝(x＞0)，即x＝15時(shí)等號(hào)成立，即泳池的長設(shè)計(jì)為15米時(shí)，可使總造價(jià)最低． 10．(2019·湖南長郡中學(xué)月考)設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2 017＝4 034，則＋的最小值為　4　. 解析：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式， 得S2 017＝＝4 034， 則a1＋a2 017＝4. 由等差數(shù)列的性質(zhì)得a9＋a2 009＝4， 所以＋＝ ＝ ＝ ≥＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a2 009＝3a9時(shí)等號(hào)成立，故所求最小值為4. 11．若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值為　5　. 解析：法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1， ∴3x＋4y＝

7、(3x＋4y) ＝＋＋＋ ≥＋＝5(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝1，y＝時(shí)，等號(hào)成立)， ∴3x＋4y的最小值是5. 法二　由x＋3y＝5xy，得x＝， ∵x＞0，y＞0，∴y＞， ∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y ＝＋·＋4 ≥＋2＝5， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝時(shí)等號(hào)成立， ∴(3x＋4y)min＝5. 12．經(jīng)調(diào)查測(cè)算，某產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元(m≥0)滿足x＝3－(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知2017年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.

8、5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)． (1)將2017年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)； (2)該廠家2017年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？ 解：(1)由題意可知，當(dāng)m＝0時(shí)，x＝1， ∴1＝3－k，解得k＝2，即x＝3－， 每1萬件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×(萬元)， ∴2017年的利潤y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m ＝4＋8－m ＝28－－m(m≥0)． ∴利潤y表示為年促銷費(fèi)用的函數(shù)關(guān)系式是y＝28－－m(m≥0)． (2)由(1)知y＝－＋29(m≥0)． ∵m≥0時(shí)，＋(m＋1)≥2 ＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)＝m＋1，

9、即m＝3時(shí)取等號(hào)． ∴y≤－8＋29＝21， 即當(dāng)m＝3時(shí)，y取得最大值21. ∴當(dāng)該廠家2017年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家獲得的利潤最大，為21萬元． 13．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，＋－的最大值是(　B　) A．0 B．1 C. D．3 解析：＝＝≤＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時(shí)等號(hào)成立，故所求的最大值為1. 14．(2019·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋cx在R上單調(diào)遞增，且ac≤4，則＋的最小值為(　B　) A．0 B.

10、C. D．1 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax3－2x2＋cx在R上單調(diào)遞增，所以f′(x)＝ax2－4x＋c≥0在R上恒成立． 所以 所以ac≥4，又ac≤4，所以ac＝4， 又a＞0，所以c＞0，則＋＝＋＝＋＝－＋－＝＋－≥2 －＝1－＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)等號(hào)成立，故選B. 15．(2019·洛陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝－sin2x的最小值為m，且與m對(duì)應(yīng)的x的最小正值為n，則m＋n＝　　. 解析：f(x)＝＋＝＋－，因?yàn)閏os2x＋2＞0，所以f(x)≥2×－＝0，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即cos2x＝－時(shí)等號(hào)成立，所以x的最小正值為n＝，所以m＋n＝. 16．已知兩條直線l1：y＝m(m＞0)和l2：y＝，l1與函數(shù)y＝|log2x|的圖象從左到右相交于點(diǎn)A，B，l2與函數(shù)y＝|log2x|的圖象從左到右相交于點(diǎn)C，D，記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b，當(dāng)m變化時(shí)，的最小值為　8　. 解析：根據(jù)題意得xA＝2－m，xB＝2m，xC＝2，xD＝2， 所以a＝|xA－xC|＝|2－m－2|， b＝|xB－xD|＝|2m－2|， 即＝＝2·2m＝2＋m. 因?yàn)閙＞0，所以＋m＝(2m＋1)＋－≥2 －＝，當(dāng)且僅當(dāng)(2m＋1)＝，即m＝時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2＝8.