2018年中考數(shù)學(xué)考點總動員系列 專題33 圖形的相似（含解析）

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1、 考點三十三：圖形的相似 聚焦考點☆溫習(xí)理解 1、比和比例的有關(guān)概念： （1）表示兩個比相等的式子叫作比例式，簡稱比例. （2）第四比例項：若或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例項. （3）比例中項：若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中項. （4）黃金分割：把一條線段（AB）分割成兩條線段，使其中較長線段（AC）是原線段AB與較短線段（BC）的比例線段，就叫作把這條線段黃金分割.即AC2=AB·BC，AC=；一條線段的黃金分割點有兩個. 2.比例的基本性質(zhì)及定理 （1） （2） （3） 3.平行線分線段成比例定理 (1)三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)

2、線段成比例. (2)平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例； (3)如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊； (4)平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例． 4.相似三角形. 相似三角形的定義：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形 相似比：相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做兩個相似三角形的相似比． 5．相似三角形的判定 (1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所截得的三角形與原三角形相似； (

3、2)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似； (3)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似； (4)三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似； (5)兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似； (6)直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個三角形都與原三角形相似． 6．相似三角形性質(zhì) 相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方． 7．相似多邊形的性質(zhì) (1)相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例． (2)相似多邊形周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方． 8．位似圖形 (1)概念：如果兩個多邊形不

4、僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，這樣的圖形叫做位似圖形．這個點叫做位似中心． (2)性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比． 名師點睛☆典例分類 考點典例一、比例的基本性質(zhì)、黃金分割 【例1】已知，則的值是（　?。? A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】 試題分析：先設(shè)出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案． 試題解析：令a，b分別等于13k和5k， ∴； 故選D． 考點：比例的性質(zhì)． 【點睛】此題考查了比例的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例的性質(zhì)與比例變形． 【舉一反三】 （安徽省宣城市第六

5、中學(xué)等三校2017屆九年級下學(xué)期第一次聯(lián)考）寬與長的比是（約為0．618）的矩形叫做黃金矩形。我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD，BC的中點E，F(xiàn)，連接EF；以點F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長線與點G；作，交AD的延長線于點H．則圖中下列矩形是黃金矩形的是（ ） A. 矩形ABFE B. 矩形DCGH C. 矩形EFGH D. 矩形EFCD 【答案】B 【解析】設(shè)正方形的邊長為2，則CD=2，CF=1，在Rt△CDF中，DF== ，∴FG=，∴CG=-1，∴= ，∴矩形DCGH為黃金矩形，故選B. 考點典例二、三角形相似的性質(zhì)

6、及判定 【例2】（江蘇省揚州市寶應(yīng)縣射陽湖鎮(zhèn)天平初級中學(xué)2016屆九年級下學(xué)期二模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC． （1）求證：△ABD∽△DCB； （2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的長． 【答案】（1）證明見解析；（2）10. 【解析】試題分析：（1）由AD//BC可得∠ADB=∠DBC，又因為∠A=∠BDC，所以可以證明△ABD∽△DCB；（2）由（1）得： ，將已知線段長度代入即可求出BD. 試題解析： 解：（1）∵AD//BC， ∴∠ADB=∠DBC， 又∵∠A=∠BDC， ∴ △ABD∽△D

7、CB； （2）由（1）得△ABD∽△DCB， ∴， 即 ， ∴BD=10. 【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力． 【舉一反三】 （2017哈爾濱第9題）如圖，在中，分別為邊上的點，，點為邊上一點，連接交于點，則下列結(jié)論中一定正確的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 考點：相似三角形的判定與性質(zhì)． 考點典例三、相似三角形綜合問題 【例3】（2017遼寧大連第25題）如圖1，四邊形的對角線相交于點，，，，. （1）填空：與的數(shù)量關(guān)系為

8、 ； （2）求的值； （3）將沿翻折，得到（如圖2），連接，與相交于點.若，求的長. 【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1. 【解析】 試題分析：（1）在△ABD中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論：∠BAD+∠ACB=180°； （2）如圖1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，設(shè)AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy﹣x2=0，即，求出的值即可解決問題； （3）如圖2中，作DE∥AB交AC于E．想辦法證明△PA′D∽△PBC，

9、可得，可得，即，由此即可解決問題； 試題解析：（1）如圖1中， 在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB， ∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案為∠BAD+∠ACB=180°． （3）如圖2中，作DE∥AB交AC于E． 由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′， ∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°， ∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C， ∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC， ∴△PA′D∽△PBC， ∴， ∴，即 ∴P

10、C=1． 考點：相似三角形的判定和性質(zhì)；解一元二次方程；三角形的內(nèi)角和定理. 【點睛】本題考查了解一元二次方程；三角形的內(nèi)角和定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)等知識的綜合運用． 【舉一反三】 （2017湖南株洲第25題）如圖示AB為⊙O的一條弦，點C為劣弧AB的中點，E為優(yōu)弧AB上一點，點F在AE的延長線上，且BE=EF，線段CE交弦AB于點D． ①求證：CE∥BF； ②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面積（注：根據(jù)圓的對稱性可知OC⊥AB）． 【答案】①證明見解析；②△BCD的面積為：2． 【解析】 試題分析：①連接AC，BE，由等腰三角形的性質(zhì)

11、和三角形的外角性質(zhì)得出∠F=∠AEB，由圓周角定理得出∠AEC=∠BEC，證出∠AEC=∠F，即可得出結(jié)論； ②證明△ADE∽△CBE，得出，證明△CBE∽△CDB，得出，求出CB=2，得出AD=6，AB=8，由垂徑定理得出OC⊥AB，AG=BG=AB=4，由勾股定理求出CG==2，即可得出△BCD的面積． 試題解析：①證明：連接AC，BE，作直線OC，如圖所示： ∵BE=EF， ∴∠F=∠EBF； ∵∠AEB=∠EBF+∠F， ∴∠F=∠AEB， ∵C是的中點，∴， ∴∠AEC=∠BEC， ∵∠AEB=∠AEC+∠BEC， ∴∠AEC=∠AEB， ∴∠AEC=∠F，

12、∴CE∥BF； ②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB， ∴△ADE∽△CBE， ∴，即， ∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB， ∴△CBE∽△CDB， ∴，即， ∴CB=2， ∴AD=6， ∴AB=8， ∵點C為劣弧AB的中點， ∴OC⊥AB，AG=BG=AB=4， ∴CG==2， ∴△BCD的面積=BD?CG=×2×2=2． 考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；三角形的外角性質(zhì)；勾股定理. 考點典例四、相似多邊形與位似圖形 【例4】（2017甘肅蘭州第17題）如圖，四邊形與四邊形相似，位似中心點是，，則 . 【答案

13、】 【解析】 試題解析：如圖所示： ∵四邊形ABCD與四邊形EFGH位似， ∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC， ∴， ∴． 考點：位似變換． 【點睛】本題考查了位似的作圖，熟練掌握位似作圖的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【舉一反三】 （2017黑龍江綏化第6題）如圖， 是在點為位似中心經(jīng)過位似變換得到的，若的面積與的面積比是，則為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 考點：位似變換． 課時作業(yè)☆能力提升 1. （2017重慶A卷第8題）若△ABC～△DEF，相似比為3：2，則對應(yīng)高的比為（　?。? A

14、．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9 【答案】A． 【解析】 試題解析：∵△ABC～△DEF，相似比為3：2， ∴對應(yīng)高的比為：3：2． 故選A． 考點：相似三角形的性質(zhì). 2. （2016山東東營第8題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（―3，6）、B（―9，一3），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是( ) A．（―1，2）　　　　　　　　　　 B．（―9，18）　　　 C．（―9，18）或（9，―18）　　　　D．（―1，2）或（1，―2） 【答案】D. 【解析】 試題分析：方法一：∵△ABO和△A′B

15、′O關(guān)于原點位似，∴△ ABO∽△A′B′O且＝.∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）. 方法二：∵點A（―3，6）且相似比為，∴點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是（―3×，6×），∴A′（－1,2）. ∵點A′′和點A′（－1,2）關(guān)于原點O對稱，∴A′′（1,―2）. 故答案選D. 考點：位似變換. 3. （2017年海南省定安縣中考數(shù)學(xué)仿真）如圖，已知AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB=4，CD=12，那么EF的長是（　?。? A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 2.8 【答案】

16、C 4. （湖南省邵陽縣黃亭市鎮(zhèn)中學(xué)2017~2018學(xué)年九年級數(shù)學(xué)（上）期末）如圖，∠1=∠2=∠3，則下列結(jié)論不正確的是（　　） A. △DEC∽△ABC B. △ADE∽△BEA C. △ACE∽△BEA D. △ACE∽△BCA 【答案】C 5. （2017年甘肅省蘭州市七里河區(qū)楊家橋?qū)W校中考數(shù)學(xué)模擬）如圖，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分別在AB、AC上，將△ADE沿DE翻折后，點A落在點A′處，若A′為CE的中點，則折痕DE的長為（　　） A. B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】由題意得

17、：DE⊥AC， ∴∠DEA=90°， ∵∠C=∠DEA， ∵∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB, ∴=, ∵A′為CE的中點， ∴C A′=E A′， ∴C A′=E A′=AE， ∴==， ∴DE=1. 故選D. 6. （陜西省西安鐵一中2017屆九年級下學(xué)期模擬）如圖所示，在平行四邊形中， 與相交于點， 為的中點，連接并延長交于點，則的值為（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵為的中點， ∴DE=OD， ∵平行四邊形， ∴OD=BD， ∴DE=BD，即. ∴. ∵DF∥AB， ∴, ∵，

18、∴=. 故選． 7. （2017甘肅蘭州第13題）如圖，小明為了測量一涼亭的高度(頂端到水平地面的距離)，在涼亭的旁邊放置一個與涼亭臺階等高的臺階(米，三點共線)，把一面鏡子水平放置在平臺上的點處，測得米，然后沿直線后退到點處，這時恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹?，測得米，小明身高米，則涼亭的高度約為( ) A.米 B.米 C.米 D.10米 【答案】A. 【解析】 試題解析：由題意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°， ∴△ACG∽△FEG， ∴ ∴ ∴AC=8， ∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米． 故選A． 點：相

19、似三角形的應(yīng)用． 8. （2017山東東營）如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點H，給出下列結(jié)論：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC 其中正確的是（　 ?。? A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】試題分析：∵△BPC是等邊三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD中， ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DC

20、F=30°， ∴BE=2AE；故①正確； ∵PC=CD，∠PCD=30°， ∴∠PDC=75°， ∴∠FDP=15°， ∵∠DBA=45°， ∴∠PBD=15°， ∴∠FDP=∠PBD， ∵∠DFP=∠BPC=60°， ∴△DFP∽△BPH；故②正確； ∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°， ∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°， ∴∠PFD≠∠PDB， ∴△PFD與△PDB不會相似；故③錯誤； ∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC， ∴△DPH∽△CPD， ∴， ∴DP2=PHPC，故④正確； 故選C． 考點：1、正方形的性質(zhì)，2

21、、等邊三角形的性質(zhì)，3、相似三角形的判定和性質(zhì) 9. （2016遼寧沈陽第16題）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位線，點M是邊BC上一點，BM=3，點N是線段MC上的一個動點，連接DN，ME，DN與ME相交于點O．若△OMN是直角三角形，則DO的長是　　　　　?。? 【答案】或． 考點：三角形綜合題. 10. .（2017貴州六盤水）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，在BA的延長線上取一點E，連接OE交AD于點F，若CD=5，BC=8，AE=2，則AF=____________________. 【答

22、案】 【解析】如圖，過點O作OG//AB， ∵平行四邊形中， ∴AB=CD=5，BC=AD=8，BO=DO， ∵OG//AB， ∴△ODG∽△BDA且相似比為1:2，△OFG∽△EFA， ∴OG=AB=2.5，AG=AD=4， ∴AF:FG=AE:OG=4：5， ∴AF=AG=， 故答案為： . 11. （2017黑龍江齊齊哈爾第17題）經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩個小三角形，如果其中一個是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”．如圖，線段是的“和諧分割線”，為等腰三角形，和相似，，則的度數(shù)為

23、 ． 【答案】113°或92°． 【解析】 試題分析：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°， ∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD， ①當(dāng)AC=AD時，∠ACD=∠ADC==67°，∴∠ACB=67°+46°=113°， ②當(dāng)DA=DC時，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°， 故答案為113°或92°． 考點：1.相似三角形的性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)． 12. （2017四川自貢第14題）在△ABC中，MN∥BC 分別交AB，AC于點M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，則M

24、N的長為　?。? 【答案】1. 【解析】 試題解析：∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴，即， ∴MN=1. 考點：相似三角形的判定與性質(zhì). 13. （2017山東煙臺第16題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小方格的邊長均為1.與是以原點為位似中心的位似圖形，且相似比為，點都在格點上，則點的坐標(biāo)是 . 【答案】（﹣2，） 【解析】 試題解析：由題意得：△A′OB′與△AOB的相似比為2：3， 又∵B（3，﹣2） ∴B′的坐標(biāo)是[3×，﹣2×]，即B′的坐標(biāo)是（﹣2，） 考點：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 14. （2017年重慶市合川中學(xué)中

25、考數(shù)學(xué)模擬）如圖，?ABCD中，M、N是BD的三等分點，連接CM并延長交AB于點E，連接EN并延長交CD于點F，以下結(jié)論： ①E為AB的中點； ②FC=4DF； ③S△ECF=； ④當(dāng)CE⊥BD時，△DFN是等腰三角形． 其中一定正確的是_____． 【答案】①③④ 【解析】M、N是BD的三等分點, 由題意可得DN=NM=MB，△DFN∽△BEN，△DMC∽△BME， ∴DF：BE=DN：NB=1：2，BE：DC=BM：MD=1：2, 又∵AB=DC, ∴可得DF：AB=1：4． ②錯誤. , E為AB的中點, ①正確. S△BEM= S△NEM =，S△FEC:

26、 S△BCE=3：2， S△ECF=, ③正確. 垂直平分線性質(zhì)有EB=EN,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)有∠ENB=∠EBN, 所以∠CDN=∠DNF, △DFN是等腰三角形. ④正確. 15.（江蘇省揚州市寶應(yīng)縣射陽湖鎮(zhèn)天平初級中學(xué)2018屆九年級上學(xué)期第二次月考）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，BE∥CD交CA延長線于E 求證： （1）；（2） 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析. 【解析】試題分析: (1)通過AD∥BC可得. (2)根據(jù)BE∥CD可得，從而可證得答案． 試題解析: (1) ∵BC∥AD ∴△AOD∽△C

27、OB ∴ (2) ∵BE∥CD ∴△BOE∽△DOC ∴ ∴ ∴ 16. （2017湖南株洲第22題）如圖示，正方形ABCD的頂點A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點G，連接CF． ①求證：△DAE≌△DCF； ②求證：△ABG∽△CFG． 【答案】①.證明見解析；②證明見解析. 【解析】 試題分析：①由正方形ABCD與等腰直角三角形DEF，得到兩對邊相等，一對直角相等，利用SAS即可得證；②由第一問的全等三角形的對應(yīng)角相等，根據(jù)等量代換得到∠BAG=∠BCF，再由對頂角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證． ②延長BA到M

28、，交ED于點M， ∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF， ∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF， ∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG． 考點：相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)． 17．（2017湖南常德第26題）如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F． （1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE； （2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點G，連接CG交AD

29、于M，求證：①GM=2MC；②AG2=AF?AC． 【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析． 試題解析：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵BA=BD，BE=BE，∴△ABE≌△DBE； （2）①過G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，設(shè)DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴，∴GM=2MC； ②過C作CN⊥AC交AD的延長線于N，則CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴，∵AB=A

30、G，∴，∴2CN?AG=AF?AC，∴AG2=AF?AC． 考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；和差倍分． 18.（2017青海西寧第26題）如圖，在中，，以為直徑作交于點，過點作的切線交于點，交延長線于點. （1）求證：； （2）若，求的長. 【答案】（1）證明見解析；（2）BF=. 【解析】 試題分析：（1）連接OD、AD，由AB=AC且∠ADB=90°知D是BC的中點，由O是AB中點知OD∥AC，根據(jù)OD⊥DE可得； （2）證△ODF∽△AEF，根據(jù)相似的性質(zhì)即可得答案． 試題解析： （1）連接OD、AD， ∵DE切⊙O于點D，∴OD⊥DE，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴D是BC的中點， 又∵O是AB中點，∴OD∥AC，∴DE⊥AC； 考點： 1.切線的性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.相似三角形的判定與性質(zhì)． 24