《【備戰(zhàn)2014】北京中國人民大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)(題型預(yù)測+范例選講)綜合能力題選講第25講建構(gòu)函數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【備戰(zhàn)2014】北京中國人民大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)(題型預(yù)測+范例選講)綜合能力題選講第25講建構(gòu)函數(shù)（6頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
6/4
建構(gòu)函數(shù)模型的應(yīng)用性問題
題型預(yù)測
應(yīng)用題是高考考查的重點(diǎn)，也是考生得分的難題，近年來該類試題的特點(diǎn)日趨鮮明：1.應(yīng)用題的信息來源真實(shí)可靠；2.應(yīng)用題的個(gè)數(shù)明顯在增加；3.注重考查學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手能力及應(yīng)用的能力（如2002年文科22題）。從高考應(yīng)用題來看，涉及函數(shù)、數(shù)列、不等式等高中主要板塊的內(nèi)容，是歷年高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn).
解答函數(shù)型應(yīng)用題，一般先從建立函數(shù)的解析表達(dá)式入手，通過研究函數(shù)的性質(zhì)獲得解
答?因此，這類問題的難點(diǎn)一般有兩個(gè)：一是解析式的建立，二是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活應(yīng)用.
X例選講
例1?某公司為幫助尚有26.8萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店，借出
2、20萬元將該
商店改建成經(jīng)營狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店，并約定用該店經(jīng)營的利潤逐步償還債務(wù)（所有債務(wù)均不計(jì)利息）.
已知該種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件40元;
該店每月銷售量q（百件）與銷售價(jià)p（元/件）之間的關(guān)系用右圖中的一條折線（實(shí)線）表示；職工每人每月工資為600元，
該店應(yīng)交付的其它費(fèi)用為每月13200元.
（I）若當(dāng)銷售價(jià)p為52元/件時(shí)，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；
（H）若該店只安排40名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務(wù)，此時(shí)每件消費(fèi)品的價(jià)格定為多少元？
講解本題題目的篇幅較長，所給條件零散雜亂，為此，不僅需要?jiǎng)澐侄温鋵哟?，弄清每一層次?dú)立的含義和相互間的關(guān)系
3、，更需要抓住矛盾的主要方面.由題目的問題找到關(guān)鍵
詞一一“收支平衡”、“還清所有債務(wù)”，不難想到，均與“利潤”相關(guān).
從閱讀和以上分析，可以達(dá)成我們對題目的整體理解，明確這是一道函數(shù)型應(yīng)用題?為此，首先應(yīng)該建立利潤與職工人數(shù)、月銷售量q、單位商品的銷售價(jià)p之間的關(guān)系，然后，
通過研究解析式，來對問題作出解答.
由于銷售量和各種支出均以月為單位計(jì)量，所以，先考慮月利潤.
（I）設(shè)該店的月利潤為S元，有職工m名?貝U
Sqp40100600m13200.
2p140,40p58
又由圖可知：q
p8258p81
2p140p40100600m1320040p58
所以，S
4、p82p40100600m1320058
5、債務(wù)，此時(shí)消費(fèi)品的單價(jià)定為55元.
點(diǎn)評求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題必須突破三關(guān)：
(1)閱讀理解關(guān)：一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關(guān)鍵詞、句，理解其意義.
(2)建模關(guān)：即建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.
(3)數(shù)理關(guān)：運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型.
例2.一位救生員站在邊長為100米的正方形游泳池ABCD的A處(如圖)，發(fā)現(xiàn)C
處有一位溺水者.他跑到E處后，馬上跳水沿直線EC游到C處,已知救生員跑步的速度為米V/分，游泳的速度為V米/分.
2
試問，救生員選擇在何處入水才能最快到達(dá)C處，所用的最短時(shí)
間是多少？
講解：理解本題并不難：
6、應(yīng)該建立時(shí)間t(分)關(guān)于某個(gè)變量的
函數(shù)關(guān)系式，然后，通過求最值的方法來解決問題.
難點(diǎn)在于變量的選擇，當(dāng)然，我們可以選擇以AE的長度x
x
(米)作為變量，但此時(shí)t-
V
2L1002
2
100x
求最值較為困難.
注意到：AE和EC的長度，可以方便的用角表示，不必用到根號(hào)，所以我們可以嘗試以
CEB作為變量.
設(shè)CEB，貝UAE100
lOOcot
,CE
100
sin
，所以,
100
100
50
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)
此時(shí)，AE
200
vsin
100
2cos
sin
tan2-
2
1tan2—
2
2ta
7、n—
2
1tan2-
2.3
100
100
3tan
2
2t9n2
100
50
1
3tantan2
2
tan—
2
3tan乙，即tani
￥，即
3時(shí)成立
100心,t
3
他皿?也即,
救生員應(yīng)該在AB邊上距
t100100.3
B10^3米處入水，才能最快到達(dá)C處，所用的最短時(shí)間為
3
點(diǎn)評（1）恰當(dāng)選擇變量，有助于簡化數(shù)學(xué)過程；（2）本題中，若以AEx為自變量,
也可通過三角代換（或移項(xiàng)、平方、判別式等）來求得最值.
例3?某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品?根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠生產(chǎn)這種
8、儀器，次品率P與日產(chǎn)量x（件）之間大體滿足關(guān)系:
1
96x
1xc,xN
其中c為小于96的正常數(shù)
xc,xN
注：次品率P次品數(shù)，如P0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，約有1件為次品?其余為合格生產(chǎn)量
品.
A
已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損元，故廠方希
2
望定出合適的日產(chǎn)量.
（I）試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（n）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤？
講解：
212A
⑴當(dāng)xc時(shí)，P3，所以，每天的盈利額T3xAaxi0?
當(dāng)1xc時(shí)，P
，所以，每日生產(chǎn)的合格儀器約有
1
9
9、6x
x件，次品
96x
約有
1
96x
x件?故，每天的盈利額
1
96x
xA
1A
x-
96x2
3x
x
296x
綜上，日盈利額
T（元）與日產(chǎn)量
x（件）的函數(shù)關(guān)系為:
3x
x
296x
A,
0,xc
（n）由（i）知，當(dāng)
xc時(shí)，每天的盈利額為0.
當(dāng)1xc時(shí)，T
3x
x
296x
為表達(dá)方便，令96x
t，則096ct
1
144
1
144
147
97—t
A
972、t
—A
A0
2
t
2
t
2
95?故
396t
T96tA
2t
（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)t，
10、即t12即x88時(shí)成立）?所以，
147
（1）當(dāng)c88時(shí)，TmaxA（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x88時(shí)成立）.
2
144
t
t（12,）上單調(diào)遞增（證明過程略）
T971t144A97196
2t2
144
144189c2c2“
cA
A0
96c
1922c
所以，g(t)g96c?所以,
c時(shí)取得）
2
144189c2c
1922c
A?（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)
（2）當(dāng)1c88時(shí)，由1xc得1296ct95，易證函數(shù)gt
綜上，若88c96，則當(dāng)日產(chǎn)量為88件時(shí)，可獲得最大利潤；若1c88，則當(dāng)日產(chǎn)量為c時(shí)，可獲得最大利潤.
點(diǎn)評基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性是求解函數(shù)最值問題的兩大重要手段.
【備戰(zhàn)2014】北京中國人民大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)(題型預(yù)測+范例選講)綜合能力題選講第25講建構(gòu)函數(shù)
