4、歸納：本題注意隱含條件的挖掘，即鄰補(bǔ)角和為180°及凸多邊形的一個(gè)內(nèi)角是小于平角的角．
考點(diǎn)2：平行四邊形的性質(zhì)與判定
【例題2】(2017·大慶)如圖，以BC為底邊的等腰△ABC，點(diǎn)D，E，G分別在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延長(zhǎng)GE至點(diǎn)F，使得BE＝BF.
(1)求證：四邊形BDEF為平行四邊形；
(2)當(dāng)∠C＝45°，BD＝2時(shí)，求D，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離．
【解析】(1)證明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C.
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四邊形CDEG是平行四邊形，
∴∠DEG＝∠C＝∠AEG.
∵BE＝BF
5、，
∴∠F＝∠BEF＝∠AEG，
∴∠F＝∠DEG，
∴BF∥DE.
又∵EG∥BC，即FE∥BD，
∴四邊形BDEF為平行四邊形；
(2)解：∵∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴△BDE，△BEF均是等腰直角三角形，
∴BF＝BE＝BD＝.
過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BD交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，連接DF，如解圖所示．
則△BFM是等腰直角三角形．
∴FM＝BM＝BF＝1，
∴DM＝3.
在Rt△DFM中，由勾股定理得DF＝＝.
即D，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離為.
考點(diǎn)3： 關(guān)于平行四邊形的綜合探究問(wèn)題
【例題3】(2018四川省眉山市15分 ) 如圖①
6、，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)E，AB=AC=BD，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，N為線(xiàn)段AM上的點(diǎn)，且MB=MN.
（1）求證：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，連結(jié)DN，當(dāng)四邊形DNBC為平行四邊形時(shí)，求線(xiàn)段BC的長(zhǎng)；
（3）如圖②，若點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連結(jié)FN、FM，求證：△MFN∽△BDC.
【答案】（1）證明：∵AB=AC,
?∴∠ABC=∠ACB,
又∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，
∴∠ABC+∠MAB=90°,
∵AC⊥BD，
在Rt△CBE中，
∴∠ACB+∠EBC=90°,
∴∠MAB=∠EBC,
又∵
7、MB=MN，AM⊥BC，
∴△NBM為等腰直角三角形，
∴∠MBN=∠MNB=45°,
∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°,
∵∠MAB=∠EBC,
∴∠NBE=∠ABN,
∴BN平分∠ABE.
（2）解：∵四邊形DNBC為平行四邊形，
設(shè)BM=CM=MN=a，則DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵
∴△ABN≌△DBN中（SAS），
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，
∵BD=1，AB=AC=BD，
∴AB=1，
∴AM2+BM2=AB2 ，
∴（2a+a）2+a2=1，
解得：a= .
∴BC=2
8、a= .
（3）解證明：∵M(jìn)B=MN，M為BC中點(diǎn)，
∴MN=MB= BC，
又∵F是AB的中點(diǎn)，AB=AC=BD，
在Rt△ABM中，
∴MF=AF=BF= AB= BD，
∴∠MAB=∠FMN,
由（1）知∠MAB=∠EBC,
∴∠FMN=∠EBC,
又∵ ,
∴△MFN∽△BDC.
一、選擇題：
1. （2018·浙江寧波·4分）已知正多邊形的一個(gè)外角等于40°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（ ?。?
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解答】解：正多邊形的一個(gè)外角等于40°，且外角和為360°，
則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是：360°÷40°=9．
9、
故選：D．
2. 在平行四邊形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（ ?。?
A．∠D=60° B．∠A=120° C．∠C+∠D=180° D．∠C+∠A=180°
【答案】D
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
而∠B=60°，
∴∠A=∠C=120°，∠D=60°．
所以D是錯(cuò)誤的．
故選D．
3. （2018?寧波）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，E是邊CD的中點(diǎn)，連結(jié)OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，則∠1的度數(shù)為（ ?。?
A．50° B．40° C．30° D．20°
【
10、答案】B
【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，
∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，
∵對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，E是邊CD的中點(diǎn)，
∴EO是△DBC的中位線(xiàn)，
∴EO∥BC，
∴∠1=∠ACB=40°．故選：B．
4. （2018·浙江省臺(tái)州·4分）如圖，在?ABCD中，AB=2，BC=3．以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)Q，再分別以點(diǎn)P，Q為圓心，大于PQ的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)N，射線(xiàn)CN交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)是（ ?。?
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解答】解：∵由題意可知CF是∠BCD的平
11、分線(xiàn)，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE﹣AB=1，
故選：B．
5. （2018?陜西?3分）點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，AD＞AB，E.F分別是AB邊上的點(diǎn)，且EF＝AB；G、H分別是BC邊上的點(diǎn)，且GH＝BC；若S1,S2分別表示?EOF和?GOH的面積，則S1,S2之間的等量關(guān)系是（ ）.
A．2S1＝3S2. B．2S1＝S2. C． S1＝3S2. D．3S1＝2S2.
【答案】A
【詳解】
12、過(guò)點(diǎn)O分別作OM⊥BC，垂足為M，作ON⊥AB，垂足為N，
∵點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，
∴S平行四邊形ABCD=AB?2ON， S平行四邊形ABCD=BC?2OM，
∴AB?ON=BC?OM，
∵S1=EF?ON，S2=GH?OM，EF＝AB，GH＝BC，
∴S1=AB?ON，S2=BC?OM，
∴2S1＝3S2，
故答案為：2S1＝3S2.故選A.
二、填空題：
6. （2018·湖南省衡陽(yáng)·3分）如圖，?ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，且AD≠CD，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC，交AD于點(diǎn)M．如果△CDM的周長(zhǎng)為8，那么?ABCD的周長(zhǎng)是 ?。?
【答案】16
【
13、解答】解：∵ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=MC．
∴△CDM的周長(zhǎng)=AD+CD=8，
∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是2×8=16．
故答案為16．
7. （2018?十堰）如圖，已知?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，且AC=8，BD=10，AB=5，則△OCD的周長(zhǎng)為 ．
【答案】14
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，
∴△OCD的周長(zhǎng)=5+4+5=14，
故答案為14．
8. （2018?株洲市?3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，且BD＝CD，過(guò)點(diǎn)A
14、作AM⊥BD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，且DN＝，在DB的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)P，滿(mǎn)足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，則AP＝_____.
【答案】6
【解析】分析：根據(jù)BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根據(jù)AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3，依據(jù)∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，進(jìn)而得到AP=AM=6．
詳解：∵BD=CD，AB=CD，
∴BD=BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴DN=AM=3，
又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，
∴∠P=∠PAM，
∴△APM是等
15、腰直角三角形，
∴AP=AM=6，
故答案為：6．
9. （2018?無(wú)錫）如圖，已知∠XOY=60°，點(diǎn)A在邊OX上，OA=2．過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OY于點(diǎn)C，以AC為一邊在∠XOY內(nèi)作等邊三角形ABC，點(diǎn)P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥OY交OX于點(diǎn)D，作PE∥OX交OY于點(diǎn)E．設(shè)OD=a，OE=b，則a+2b的取值范圍是 ?。?
【答案】2≤a+2b≤5．
【解答】解：過(guò)P作PH⊥OY交于點(diǎn)H，
∵PD∥OY，PE∥OX，
∴四邊形EODP是平行四邊形，∠HEP=∠XOY=60°，
∴EP=OD=a，
Rt△HEP中，∠EPH=30°，
16、∴EH=EP=a，
∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，
當(dāng)P在AC邊上時(shí)，H與C重合，此時(shí)OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；
當(dāng)P在點(diǎn)B時(shí)，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，
∴2≤a+2b≤5．
三、解答題：
10. 已知n邊形的內(nèi)角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同學(xué)說(shuō)，θ能取360°；而乙同學(xué)說(shuō)，θ也能取630°.甲、乙的說(shuō)法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù)n；若不對(duì)，說(shuō)明理由；
(2)若n邊形變?yōu)?n＋x)邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x.
【解析】：(1)甲對(duì)，乙不對(duì)．理由：
∵θ＝360°
17、，∴(n－2)×180＝360.解得n＝4.
∵θ＝630°，∴(n－2)×180＝630.解得n＝.
∵n為整數(shù)，∴θ不能取630°.
∴甲對(duì)，乙不對(duì)．
(2)依題意，得
(n－2)×180＋360＝(n＋x－2)×180.
解得x＝2.
11. (2017·河北模擬)看圖回答問(wèn)題：
(1)內(nèi)角和為2 018°，佳佳為什么說(shuō)不可能？
(2)音音求的是幾邊形的內(nèi)角和？
【解析】：(1)∵n邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°，
∴內(nèi)角和一定是180°的倍數(shù)．
∵2 018÷180＝11……38，
∴內(nèi)角和為2 018°不可能．
(2)設(shè)漏加的內(nèi)角為x°，依題意，得
18、
(n－2)·180＝2 018＋x，
∴x＝180n－2 378.
∵90＜x＜180，∴90＜180n－2 378＜180.
解得13＜n＜14，且n為整數(shù)．
∴多邊形的邊數(shù)是14.
故音音求的是十四邊形的內(nèi)角和．
12. 如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)在對(duì)角線(xiàn)AC上．
(1)若BE，DF分別是△ABO，△CDO的中線(xiàn)，求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
(2)若BE，DF分別是△ABO，△CDO的角平分線(xiàn)，四邊形BEDF還是平行四邊形嗎？若BE，DF分別是△ABO，△CDO的高線(xiàn)時(shí)，四邊形BEDF還是平行四邊形嗎？
【點(diǎn)撥】(1)可從對(duì)角線(xiàn)互相平分上證明四邊形BEDF是
19、平行四邊形；(2)BE，DF分別是△ABO，△CDO的角平分線(xiàn)和高線(xiàn)時(shí)，可得到△BOE≌△DOF，仍有OE＝OF，則有四邊形BEDF是平行四邊形．
【解答】解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE，DF分別是△ABO，△CDO的中線(xiàn)，
∴OE＝OF.
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB＝OD，AB∥CD.
∴∠ABO＝∠CDO.
∵BE，DF分別是△ABO，△CDO的角平分線(xiàn)，
∴∠OBE＝∠ODF.
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(ASA)．
∴OE＝OF.
∴
20、四邊形BEDF是平行四邊形．
同理可證得BE，DF分別是△ABO，△CDO的高線(xiàn)時(shí)，仍有四邊形BEDF是平行四邊形．
13. 正方形ABCD的邊長(zhǎng)是5，點(diǎn)M是直線(xiàn)AD上一點(diǎn)，連接BM，將線(xiàn)段BM繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段ME，在直線(xiàn)AB上取點(diǎn)F，使AF＝AM，且點(diǎn)F與點(diǎn)E在AD同側(cè)，連接EF，DF.
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在DA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證：△ADF≌△ABM；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段AD上時(shí)，求證：四邊形DFEM是平行四邊形；
(3)在(2)的條件下，線(xiàn)段AM與線(xiàn)段AD有什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EFDM的面積最大？并求出這個(gè)面積的最大值．
圖1 圖2
21、【解析】：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAF＝∠BAM＝90°，AD＝AB.
在△ADF和△ABM中，
∴△ADF≌△ABM(SAS)．
(2)證明：延長(zhǎng)BM交DF于K.
∵△ADF≌△ABM，
∴DF＝BM，∠ABM＝∠ADF.
∵EM＝BM，∴EM＝DF.
∵∠ABM＋∠AMB＝90°，∠AMB＝∠DMK，
∴∠ADF＋∠DMK＝90°.∴∠BKD＝90°.
∵∠EMB＝90°，∴∠EMB＝∠BKF＝90°.
∴EM∥DF.
∴四邊形EFDM是平行四邊形．
(3)設(shè)DM＝x，則AM＝AF＝5－x，
S?EFDM＝DM·AF＝x(5－x)＝－(
22、x－)2＋.
∵－1＜0，
∴x＝時(shí)，?EFDM的面積最大，最大面積為，
即當(dāng)AM＝AD時(shí)，?EFDM的面積最大，最大面積為.
14. 正方形ABCD的邊長(zhǎng)是5，點(diǎn)M是直線(xiàn)AD上一點(diǎn)，連接BM，將線(xiàn)段BM繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段ME，在直線(xiàn)AB上取點(diǎn)F，使AF＝AM，且點(diǎn)F與點(diǎn)E在AD同側(cè)，連接EF，DF.
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在DA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證：△ADF≌△ABM；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段AD上時(shí)，求證：四邊形DFEM是平行四邊形；
(3)在(2)的條件下，線(xiàn)段AM與線(xiàn)段AD有什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EFDM的面積最大？并求出這個(gè)面積的最大值．
圖1
23、 圖2
解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAF＝∠BAM＝90°，AD＝AB.
在△ADF和△ABM中，
∴△ADF≌△ABM(SAS)．
(2)證明：延長(zhǎng)BM交DF于K.
∵△ADF≌△ABM，
∴DF＝BM，∠ABM＝∠ADF.
∵EM＝BM，∴EM＝DF.
∵∠ABM＋∠AMB＝90°，∠AMB＝∠DMK，
∴∠ADF＋∠DMK＝90°.∴∠BKD＝90°.
∵∠EMB＝90°，∴∠EMB＝∠BKF＝90°.
∴EM∥DF.
∴四邊形EFDM是平行四邊形．
(3)設(shè)DM＝x，則AM＝AF＝5－x，
S?EFDM＝DM·AF＝x(5－x)＝－(x－)2＋.
∵－1＜0，
∴x＝時(shí)，?EFDM的面積最大，最大面積為，
即當(dāng)AM＝AD時(shí)，?EFDM的面積最大，最大面積為.
13
2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第19講 平行四邊形（含多邊形）（含解析）
