2020年中考數(shù)學(xué)考點總動員 第08講 分式方程及其應(yīng)用（含解析）

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1、第8講　分式方程及其應(yīng)用 1．分式方程定義 分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程． 2．分式方程解法 分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解方程，求出解，代入最簡公分母進行檢驗，得出分式方程的解． 3．分式方程的增根 使最簡公分母為0的根． 注意：分式方程的增根和無解并非同一個概念，分式方程無解，可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母為0的根． 4．分式方程的實際應(yīng)用 (1)分式方程的實際應(yīng)用常見類型及關(guān)系： ①工程問題： 工作效率＝；工作時間＝； ②銷售問題：售價＝標(biāo)價×折扣； ③行程問題：時間＝. (

2、2)解分式方程的實際應(yīng)用問題的一般步驟： ①審：審清題意； ②設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)(直接設(shè)未知數(shù)或者間接設(shè)未知數(shù))； ③找：找出各量之間的等量關(guān)系； ④列：根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程； ⑤解：解這個分式方程； ⑥驗：檢驗所求的解是否是原分式方程的解，是否滿足題意； ⑦答：寫出答案． 審清題意是前提，找等量關(guān)系是關(guān)鍵，列出方程是重點． 考點1：分式方程的解法 【例題1】解方程：－1＝. 【解答】解：方法一：去分母，得4－2(3x－1)＝3. 解得x＝. 檢驗：當(dāng)x＝時，2(3x－1)≠0， ∴x＝是原分式方程的解． 方法二：設(shè)3x－1＝y(tǒng)則原方

3、程可化為－1＝， 去分母，得4－2y ＝3. 解得y＝. ∴3x－1＝.解得x＝. 檢驗：當(dāng)x＝時，6x－2≠0， ∴x＝是原分式方程的解． 方法三：移項，得－＝1. 通分，得＝1. 由分式的性質(zhì)，得6x－2＝1. 解得x＝. 檢驗：當(dāng)x＝時，6x－2≠0， ∴x＝是原分式方程的解． 歸納：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再按照解整式方程的步驟解題，不同的是解分式方程需要驗根． 考點2：分式方程的應(yīng)用 【例題2(2018·吉林)如圖是學(xué)習(xí)分式方程應(yīng)用時，老師板書的問題和兩名同學(xué)所列的方程． 解分式方程：甲、乙兩個工程隊，甲隊修路400米與乙隊修路600米所用時間相等，乙

4、隊每天比甲隊多修20米，求甲隊每天修路的長度． 冰冰：＝ 慶慶：－＝20 根據(jù)以上信息，解答下列問題． (1)冰冰同學(xué)所列方程中的x表示甲隊每天修路的長度； 慶慶同學(xué)所列方程中的y表示甲隊修路400米所用時間； (2)兩個方程中任選一個，并寫出它的等量關(guān)系； (3)解(2)中你所選擇的方程，并回答老師提出的問題． 【解析】：(2)冰冰用的等量關(guān)系是：甲隊修路400米所用時間＝乙隊修路600米所用時間； 慶慶用的等量關(guān)系是：乙隊每天修路的長度－甲隊每天修路的長度＝20米(選擇一個即可)． (3)選冰冰的方程：＝，解得x＝40. 經(jīng)檢驗，x＝40是原方程的根． 答：甲隊每天

5、修路的長度為40米． 選慶慶的方程：－＝20，解得y＝10. 經(jīng)檢驗，y＝10是原方程的根． ∴＝40. 答：甲隊每天修路的長度為40米． 歸納：列方程解實際問題時，必須驗根，既要檢查所求解是否為分式方程的增根，又要檢查看是否滿足應(yīng)用題的實際意義． 考點3：分式方程與其它問題的綜合應(yīng)用 【例題3】（2019?山東濰坊?10分）扶貧工作小組對果農(nóng)進行精準(zhǔn)扶貧，幫助果農(nóng)將一種有機生態(tài)水果拓寬了市場．與去年相比，今年這種水果的產(chǎn)量增加了1000千克，每千克的平均批發(fā)價比去年降低了1元，批發(fā)銷售總額比去年增加了20%． （1）已知去年這種水果批發(fā)銷售總額為10萬元，求這種水果今年每千克

6、的平均批發(fā)價是多少元？ （2）某水果店從果農(nóng)處直接批發(fā)，專營這種水果．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每千克的平均銷售價為41元，則每天可售出300千克；若每千克的平均銷售價每降低3元，每天可多賣出180千克，設(shè)水果店一天的利潤為w元，當(dāng)每千克的平均銷售價為多少元時，該水果店一天的利潤最大，最大利潤是多少？（利潤計算時，其它費用忽略不計．） 【分析】（1）由去年這種水果批發(fā)銷售總額為10萬元，可得今年的批發(fā)銷售總額為10（1﹣20%）＝12萬元，設(shè)這種水果今年每千克的平均批發(fā)價是x元，則去年的批發(fā)價為（x+1）元，可列出方程：，求得x即可 （2）根據(jù)總利潤＝（售價﹣成本）×數(shù)量列出方程，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性

7、即可求最大值． 【解答】解：（1）由題意，設(shè)這種水果今年每千克的平均批發(fā)價是x元，則去年的批發(fā)價為（x+1）元，今年的批發(fā)銷售總額為10（1﹣20%）＝12萬元 ∴ 整理得x2﹣19x﹣120＝0 解得x＝24或x＝﹣5（不合題意，舍去） 故這種水果今年每千克的平均批發(fā)價是24元． （2）設(shè)每千克的平均售價為m元，依題意 由（1）知平均批發(fā)價為24元，則有 w＝（m﹣24）（×180+300）＝﹣60m2+4200m﹣66240 整理得w＝﹣60（m﹣35）2+7260 ∵a＝﹣60＜0 ∴拋物線開口向下 ∴當(dāng)m＝35元時，w取最大值 即每千克的平均銷售價為35元時，

8、該水果店一天的利潤最大，最大利潤是7260元 歸納：最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，根據(jù)每天的利潤＝一件的利潤×銷售件數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題． 一、選擇題： 1. （2019，山東淄博，4分）解分式方程﹣2時，去分母變形正確的是（　　） A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2） C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2） 【答案】D 【解答】解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）， 故選：D． 2. （2019?山東省聊城市?3分）如

9、果分式的值為0，那么x的值為（　?。? A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0 【答案】B 【解答】解：根據(jù)題意，得 |x|﹣1＝0且x+1≠0， 解得，x＝1． 故選：B． 3. （2018海南）（3.00分）分式方程=0的解是（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．無解 【答案】B 【解答】兩邊都乘以x+1，得：x2﹣1=0， 解得：x=1或x=﹣1， 當(dāng)x=1時，x+1≠0，是方程的解； 當(dāng)x=﹣1時，x+1=0，是方程的增根，舍去； 所以原分式方程的解為x=1， 故選：B． 4. （2019?湖南株洲?3分）關(guān)于x的分式方程﹣＝0的解為（　?。? A

10、．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：去分母得：2x﹣6﹣5x＝0， 解得：x＝﹣2， 經(jīng)檢驗x＝﹣2是分式方程的解， 故選：B． 5. 若數(shù)使關(guān)于x的不等式組有且只有四個整數(shù)解，且使關(guān)于y的方程的解為非負(fù)數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)的和為( ) A． -3 B． -2 C．1 D．2 【答案】C 解析：解不等式，由于不等式有四個整數(shù)解，根據(jù)題意 A點為，則，解得。解分式方程得，又需排除分式方程無解的情況，故且.結(jié)合不等式組的結(jié)果有a的取值范圍為，又a為整數(shù),所以a的取值為,和為1.故選C

11、二、填空題： 6. （2019?湖南岳陽?4分）分式方程的解為x＝　1?。? 【答案】1． 【解答】解：方程兩邊同乘x（x+1）， 得x+1＝2x， 解得x＝1． 將x＝1代入x（x+1）＝2≠0． 所以x＝1是原方程的解． 7. （2018黑龍江齊齊哈爾）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為　 ． 【答案】﹣1或5或﹣． 【解答】解：去分母得：x+4+m（x﹣4）=m+3， 可得：（m+1）x=5m﹣1， 當(dāng)m+1=0時，一元一次方程無解， 此時m=﹣1， 當(dāng)m+1≠0時， 則x= =±4， 解得：m=5或﹣， 綜上所述：m=﹣1或5或﹣， 故答案為：﹣1

12、或5或﹣． 8. （2019，四川巴中，4分）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為　1?。? 【答案】1 【解答】解：方程兩邊都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2） ∵原方程有增根， ∴最簡公分母x﹣2＝0， 解得x＝2， 當(dāng)x＝2時，m＝1 故m的值是1， 故答案為1 三、解答題： 9. 解分式方程：＝1＋. 【解析】：方程兩邊同乘(x－5)，得x＋1＝x－5＋2x， 整理得，2x＝6， 解得x＝3. 檢驗：當(dāng)x＝3時，x－5≠0，則x＝3是原分式方程的解 10. (2018·宜賓)我市經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)某智能手機有限公司接到生產(chǎn)300萬部智能手機的訂單，為了盡

13、快交貨，增開了一條生產(chǎn)線，實際每月生產(chǎn)能力比原計劃提高了50%，結(jié)果比原計劃提前5個月完成交貨，求每月實際生產(chǎn)智能手機多少萬部． 【解析】：設(shè)原計劃每月生產(chǎn)智能手機x萬部，則實際每月生產(chǎn)智能手機(1＋50%)x萬部，根據(jù)題意，得 －＝5，解得x＝20. 經(jīng)檢驗，x＝20是原方程的解，且符合題意． ∴(1＋50%)x＝30. 答：每月實際生產(chǎn)智能手機30萬部． 11. (2018·河北模擬)甲、乙兩地相距72千米，嘉嘉騎自行車往返兩地一共用了7小時，已知他去時的平均速度比返回時的平均速度快，求嘉嘉去時的平均速度是多少？ 下框是淇淇同學(xué)的解法． 解：設(shè)嘉嘉去時的平均速度是x千米/時

14、，則回時的平均速度是(1－)x千米/時，由題意，得 ＋＝7，… 你認(rèn)為淇淇同學(xué)的解法正確嗎？若正確，請寫出該方程所依據(jù)的等量關(guān)系，并完成剩下的步驟；若不正確，請說明原因，并正確地求出嘉嘉去時的平均速度． 【解析】：淇淇同學(xué)的解法不正確；因為“去時的平均速度比返回時的平均速度快”并不等于“返回時的平均速度比去時的平均速度慢”． 設(shè)嘉嘉返回時的平均速度是x千米/時，則去時的平均速度是(1＋)x千米/時， 由題意得＋＝7， 解得x＝18.經(jīng)檢驗，x＝18是方程的解，且符合題意． (1＋)x＝24.所以嘉嘉去時的平均速度是24千米/時． 12. （2018?邵陽）某公司計劃購買A，B兩

15、種型號的機器人搬運材料．已知A型機器人比B型機器人每小時多搬運30kg材料，且A型機器人搬運1000kg材料所用的時間與B型機器人搬運800kg材料所用的時間相同． （1）求A，B兩種型號的機器人每小時分別搬運多少材料； （2）該公司計劃采購A，B兩種型號的機器人共20臺，要求每小時搬運材料不得少于2800kg，則至少購進A型機器人多少臺？ 【分析】（1）設(shè)B型機器人每小時搬運x千克材料，則A型機器人每小時搬運（x+30）千克材料，根據(jù)A型機器人搬運1000kg材料所用的時間與B型機器人搬運800kg材料所用的時間相同建立方程求出其解就可以得出結(jié)論． （2）設(shè)購進A型機器人a臺，根據(jù)每

16、小時搬運材料不得少于2800kg列出不等式并解答． 解析：（1）設(shè)B型機器人每小時搬運x千克材料，則A型機器人每小時搬運（x+30）千克材料， 根據(jù)題意，得=， 解得x=120． 經(jīng)檢驗，x=120是所列方程的解． 當(dāng)x=120時，x+30=150． 答：A型機器人每小時搬運150千克材料，B型機器人每小時搬運120千克材料； （2）設(shè)購進A型機器人a臺，則購進B型機器人（20﹣a）臺， 根據(jù)題意，得150a+120（20﹣a）≥2800， 解得a≥． ∵a是整數(shù)， ∴a≥14． 答：至少購進A型機器人14臺． 13. （2019?山東威海?7分）列方程解應(yīng)用題：

17、小明和小剛約定周末到某體育公園打羽毛球．他們兩家到體育公園的距離分別是1200米，3000米，小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時到達，則小明需提前4分鐘出發(fā)，求小明和小剛兩人的速度． 【分析】直接利用小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時到達，則小明需提前4分鐘出發(fā)，進而得出等式求出答案． 【解答】解：設(shè)小明的速度是x米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是3x米/分鐘，根據(jù)題意可得： ， 解得：x＝50， 經(jīng)檢驗得：x＝50是原方程的根，故3x＝150， 答：小明的速度是50米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是150米/分鐘． 14. （2018?寧波）某商場購

18、進甲、乙兩種商品，甲種商品共用了2000元，乙種商品共用了2400元．已知乙種商品每件進價比甲種商品每件進價多8元，且購進的甲、乙兩種商品件數(shù)相同． （1）求甲、乙兩種商品的每件進價； （2）該商場將購進的甲、乙兩種商品進行銷售，甲種商品的銷售單價為60元，乙種商品的銷售單價為88元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)甲種商品銷量不好，商場決定：甲種商品銷售一定數(shù)量后，將剩余的甲種商品按原銷售單價的七折銷售；乙種商品銷售單價保持不變．要使兩種商品全部售完后共獲利不少于2460元，問甲種商品按原銷售單價至少銷售多少件？ 解：：（1）設(shè)甲種商品的每件進價為x元，則乙種商品的每件進價為（x+8）元． 根據(jù)題意，

19、得， =， 解得 x=40． 經(jīng)檢驗，x=40是原方程的解． 答：甲種商品的每件進價為40元，乙種商品的每件進價為48元； （2）甲乙兩種商品的銷售量為=50． 設(shè)甲種商品按原銷售單價銷售a件，則 （60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460， 解得 a≥20． 答：甲種商品按原銷售單價至少銷售20件． 15. （2018·湖北省孝感·10分）“綠水青山就是金山銀山”，隨著生活水平的提高，人們對飲水品質(zhì)的需求越來越高，孝感市槐蔭公司根據(jù)市場需求代理A，B兩種型號的凈水器，每臺A型凈水器比每臺B型凈水器進價多200元，用5萬元購進A型凈水

20、器與用4.5萬元購進B型凈水器的數(shù)量相等． （1）求每臺A型、B型凈水器的進價各是多少元？ （2）槐蔭公司計劃購進A，B兩種型號的凈水器共50臺進行試銷，其中A型凈水器為x臺，購買資金不超過9.8萬元．試銷時A型凈水器每臺售價2500元，B型凈水器每臺售價2180元，槐蔭公司決定從銷售A型凈水器的利潤中按每臺捐獻a（70＜a＜80）元作為公司幫扶貧困村飲水改造資金，設(shè)槐蔭公司售完50臺凈水器并捐獻扶貧資金后獲得的利潤為W，求W的最大值． 【分析】（1）設(shè)A型凈水器每臺的進價為m元，則B型凈水器每臺的進價為（m﹣200）元，根據(jù)數(shù)量=總價÷單價結(jié)合用5萬元購進A型凈水器與用4.5萬元購進B

21、型凈水器的數(shù)量相等，即可得出關(guān)于m的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論； （2）根據(jù)購買資金=A型凈水器的進價×購進數(shù)量+B型凈水器的進價×購進數(shù)量結(jié)合購買資金不超過9.8萬元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，由總利潤=每臺A型凈水器的利潤×購進數(shù)量+每臺B型凈水器的利潤×購進數(shù)量﹣a×購進A型凈水器的數(shù)量，即可得出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題． 【解答】解：（1）設(shè)A型凈水器每臺的進價為m元，則B型凈水器每臺的進價為（m﹣200）元， 根據(jù)題意得：， 解得：m=2000， 經(jīng)檢驗，m=2000是分式方程的解， ∴m﹣200=1800． 答：A型凈水器每臺的進價為2000元，B型凈水器每臺的進價為1800元． （2）根據(jù)題意得：2000x+180（50﹣x）≤98000， 解得：x≤40． W=（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x）﹣ax=（120﹣a）x+19000， ∵當(dāng)70＜a＜80時，120﹣a＞0， ∴W隨x增大而增大， ∴當(dāng)x=40時，W取最大值，最大值為（120﹣a）×40+19000=23800﹣40a， ∴W的最大值是（23800﹣40a）元． 11