3、
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,1)，如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y= –1.
（1）求拋物線的解析式;
（2）在l上是否存在一點(diǎn)P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
（3）知F(x0,y0)為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M(m,n)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo)。
類型2 探究面積問(wèn)題
（2018·遂寧）
（2018·玉林）
（2018·建設(shè)兵團(tuán)）
25．（2018·東營(yíng)）(本題滿分12分)
如圖，拋物線y
4、=a（a0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上另有一點(diǎn)C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求線段OC的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)直線BC與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)C是BM的中點(diǎn)時(shí)，求直線BM和拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
25．(本題滿分12分)
解：（1）由題可知當(dāng)y=0時(shí)，a =0
解得：x1=1，x2=3
則A（1,0），B（3,0）于是OA=1，OB=3
∵△OCA∽△OBC ∴OC∶OB=OA∶OC …………………2分
5、
∴OC2=OA?OB=3即OC=……………………………3分
（2）因?yàn)镃是BM的中點(diǎn)
∴OC=BC從而點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為
又OC=，點(diǎn)C在x軸下方∴C…………………5分
設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，
(第25題答案圖1)
因其過(guò)點(diǎn)B（3，0），C，
則有
∴，
∴……………………5分
又點(diǎn)C在拋物線上,代入拋物線解析式，
解得a=……………………6分
∴拋物線解析式為：……………………7分
（3）點(diǎn)P存在.……………………8分
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，），過(guò)點(diǎn)P作PQx軸交直線BM于點(diǎn)Q，
則Q（x,）,
PQ=……………
6、………9分
當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積最大
……………………10分
(第25題答案圖2)
當(dāng)時(shí)，有最大值，四邊形ABPC的面積最大，…11分
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為……………………12分
（2018·荊門）
25.（2018·黃石）（本小題10分）已知拋物線過(guò)點(diǎn)（3，1），D為拋物線的頂點(diǎn).
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)B、C均在拋物線上，其中點(diǎn)B（0，），且∠BDC=90°，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）如圖，直線與拋物線交于P、Q兩點(diǎn).
①求證：∠PDQ=90°；
②求△PDQ面積的最小值.
24.
7、（2018·恩施）如圖，已知拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn).
（1）求拋物線的解析式；
（2）為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若拋物線上有且僅有三個(gè)點(diǎn)、、使得、、的面積均為定值，求出定值及、、這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).
（2018·涼山州）
27.（2018·鹽城）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn).
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖②，用寬為4個(gè)單位長(zhǎng)度的直尺垂直于軸，并沿軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），連接，在線段上方拋物
8、線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接、.
（Ⅰ）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）直尺在平移過(guò)程中，面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.
（2018·婁底）
28.（2018·白銀）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn).點(diǎn)是直線上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接，，并把沿軸翻折，得到四邊形.若四邊形為菱形，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的最大面積.
（2018·衡陽(yáng)）
（2018·棗莊）
（201
9、8·寧波）
（2018·甘肅）
（2018·麗水）
22.（本題10分）
如圖，拋物線（a≠0）過(guò)點(diǎn)E（10,0）, 矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)C,D在拋物線上.設(shè)A(t,0)，當(dāng)t=2時(shí)，AD=4.
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線.當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G,H，且直線GH平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離.
D
C
E
B
A
O
y
x
第22題圖
10、
（2018·內(nèi)江）
類型3 探究特殊三角形的存在性問(wèn)題
（2018·吉林）
（2018·沈陽(yáng)）
（2018·安順）
（2018·德陽(yáng)）
（2018·邵陽(yáng)）
（2018·湖州）
（2018·蘭州）
（2018·龍東）
（2018·臨沂）
（2018·海南）
（2018·大慶）
（2018·懷化）
26．（2018·眉山）(本小題滿分11分）如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對(duì)
稱軸為直線l：x=2，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線
11、于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)
動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.
（1）求拋物線的解析式；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；
（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
（2018·泰安）
（2018·重慶B）
類型4 探究特殊四邊形的存在性問(wèn)題
（2018·河南）
（2018·濟(jì)寧）
（2018·齊齊哈爾）
12、
（2018·岳陽(yáng)）
26.（本題滿分14分）（2018·自貢）
如圖，拋物線過(guò)，直線交拋物線于點(diǎn),點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).
⑴.求直線及拋物線的解析式；
⑵.過(guò)點(diǎn)的直線垂直于軸，交拋物線于點(diǎn) ,求線段 的長(zhǎng)度與的關(guān)系式，為何值時(shí)，最長(zhǎng)？
⑶.在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)）,使得為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.
（2018·重慶A）
26. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上,且橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為
（1） 求線段的長(zhǎng)
13、；
（2） 點(diǎn)為線段上方拋物線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的最小值；
（3） 在（2）中，取得最小值時(shí)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到,過(guò)點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
【答案】（1）
（2） =
（3） (-1，3+)；(-1，3-)；(5，3)；(-1，8)
【解析】解：（1）由題意得(1，3) (3，3） (2，4)
(0，3) (1，1)
則
14、
（2） 延長(zhǎng)，交于點(diǎn)
(3，3)，(1，1)
直線的解析式為:
設(shè)(，)，,則(m，m)
分析可得，當(dāng)取最大值時(shí)，取最大值
當(dāng)，PN取最大值
∴(，)，(，)
構(gòu)造與軸夾角為的直線OM，如圖所示
M
則，即,
當(dāng)時(shí)，
（3）∵OM的解析式為,HM⊥OM,且HM過(guò)點(diǎn)H
∴HM的解析式為:
∴(0
15、，3-）
又∵(0，3)
在中，
(-1，3)
①以為邊,此時(shí)(-1，3-)；(5，3)；(-1，3+)；
②以為對(duì)角線， 此時(shí)(-1，8)
（2018·南充）
（2018·曲靖）
類型5 探究全等、相似三角形的存在性問(wèn)題
（2018·廣安）
（2018·銅仁）
（2018·烏魯木齊）
（2018·十堰）
16、
27.（2018·畢節(jié)）(本題16分)如圖,以D為頂點(diǎn)的拋物線交軸于A、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)C,直線BC的表達(dá)式為.
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)在直線BC上有一點(diǎn)P,使PO+PA的值最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
24．（2018·武漢）（本題12分）拋物線L：y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，1)，與它的對(duì)稱軸直線x＝1交于點(diǎn)B
(1) 直接寫出拋物線L的解析式
(2) 如圖1，過(guò)定點(diǎn)的直線y＝kx－k＋4（k＜0）與拋物線L交于點(diǎn)M、N．若△BMN
17、的面積等于1，求k的值
(3) 如圖2，將拋物線L向上平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點(diǎn)D．F為拋物線L1的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，P為線段OC上一點(diǎn)．若△PCD與△POF相似，并且符合條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，求m的值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)
（2018·濰坊）
（2018·巴中）
（2018·隨州）
25.（2018·常德）如圖13，已知二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn),,與軸交于另一點(diǎn),且對(duì)稱軸是直線.
（1）求該二次函數(shù)的解
18、析式；
（2）若是上的一點(diǎn)，作交于,當(dāng)面積最大時(shí)，求的坐標(biāo)；
（3）是軸上的點(diǎn)，過(guò)作軸，與拋物線交于,過(guò)作軸于.當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與、、為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).
（2018·衡陽(yáng)）
（2018·綿陽(yáng)）
（2018·德州）
（2018·連云港）
類型6 反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合
（2018·貴陽(yáng)）
（2018·泰州）
24.（2018·宜昌）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,.過(guò)點(diǎn)的雙曲線與矩形的邊交于點(diǎn).
(1)填空：_____,_____,
19、點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________；
(2)當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是過(guò)兩點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn).
①當(dāng)點(diǎn)在雙曲線上時(shí)，求證：直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)；
②當(dāng)拋物線與矩形有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，求的值；
③當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)隨著的變化同時(shí)向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍，并求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中直線在四邊形中掃過(guò)的面積.
類型7 其他問(wèn)題
（2018·成都）
（2018·綿陽(yáng)）
（2018·濱州）
（2018·衢州）
（2018·廣州）
（2018·宿遷）
（2018·揚(yáng)州）
20、
（2018·江西）
（2018·寧波）
（2018·天津）
26、（2018·株洲）（本題滿分12分）如圖，已知二次函數(shù)的圖象拋物線與軸相交于不同的兩點(diǎn)，,且,
(1)若拋物線的對(duì)稱軸為求的值；
（2）若，求的取值范圍；
（3）若該拋物線與軸相交于點(diǎn)D，連接BD，且∠OBD＝60°，拋物線的對(duì)稱軸與軸相交點(diǎn)E，點(diǎn)F是直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為，連接AF，滿足∠ADB＝∠AFE，求該二次函數(shù)的解析式。
27.（2018·南通）已知，正方形 ，，拋物線
(為常數(shù))，頂點(diǎn)為
（1）拋物
21、線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)是 ，頂點(diǎn)的坐標(biāo)（用的代數(shù)式表示）是 ；
（2）若拋物線(為常數(shù))與正方形的邊有交點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）若時(shí)，求的值.
（2018·荊州）
（2018·孝感）
（2018·郴州）
23．（2018·深圳）如圖11，頂點(diǎn)為的拋物線經(jīng)過(guò),兩點(diǎn)。
（1）試求拋物線的解析式；
（2）如圖12，連接，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)。若在直線上有一點(diǎn)，使得，試求的面積；
（3）如圖13，若點(diǎn)是折線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作∥軸，過(guò)點(diǎn)作∥軸，直線QN與直線EN交于點(diǎn)N，連接QE，將沿QE翻折得到。若點(diǎn) 落在軸上
22、，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)。
圖11
圖12
圖13
（2018·福建）
23. (本小題滿分10分)（2018·張家界）
如圖,已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1) 求值并寫出二次函數(shù)表達(dá)式；
(2) 求值；
(3) 設(shè)直線與二次函數(shù)圖象交于兩點(diǎn),過(guò)作垂直軸于點(diǎn),
試證明:；
(4) 在（3）的條件下，請(qǐng)判斷以線段為直徑的圓與軸的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
解（1）
…………………1分
…………………2分
（2） …………………3分
23、 …………………4分
（3）過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)E，
設(shè) ………………5分
………………6分
……………………………7分
（4） 相切 ……………………………8分
過(guò)點(diǎn)N作軸于D，取MN的中點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)H，交PF于點(diǎn)P.
由（3）知
……………………………9分
又
24、
以MN為直徑的圓與軸相切 ………………10分
（其他方法只要合理參照給分）
25．（滿分12分）（2018·仙桃）拋物線y與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．將拋物線位于直線l：yt（）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個(gè)“M”形的新圖象．
（1）點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別為 ， ， ；
（2）如圖①，拋物
25、線翻折后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處．當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)（含邊界）時(shí)，求t的取值范圍；
（3）如圖②，當(dāng)t0時(shí)，若Q是“M”形新圖象上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
圖①
l
E
y
A
B
O
D
C
·
·
圖②
（第25題圖）
O
A
C
B
x
y
·
D
x
（2018·遵義）
（2018·長(zhǎng)春）
26. （2018·桂林）（本題滿分12分）如圖，已知
26、拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C.
（1） 求拋物線y的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2） 點(diǎn)M為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若MA=MB=MC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3） 在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使∠ABE=∠ACB？若存在，求出滿足條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
26.（本題12分）
（1）
（2）M（-1，）
（3）①過(guò)點(diǎn)A作交y軸于點(diǎn)F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D
∵∠ACO+∠CAO=90°,∠DAO+∠CAO=90°
∴∠DAO=∠ACO
∵∠ACO=∠ACO
∴ΔAOE∽ΔCOA
∴ ∴
∵OA=3,OC=6
∴ ∴
直線AE的解析式為：
直線BC的解析式為：
∴，解得 ∴
∴
∴∠ACB=
∵∠ABE=∠ACB
∴∠ABE=2
過(guò)點(diǎn)A作軸，連接BM交拋物線于點(diǎn)E
∵AB=4，∠ABE=2
∴AF=8
∴F（-3，8）
直線BM的解析式為：
∴，解得
∴y=6 ∴E（-2，6）
②當(dāng)點(diǎn)E在x軸下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作，連接BE，設(shè)點(diǎn)E
∴∠ABE=2
∴m=-4或m=1（舍去）
可得E（-4，-10）
綜上所訴∴E1（-2，6），E2（-4，-10）
81
全國(guó)2018年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編 專題復(fù)習(xí)（八）函數(shù)與幾何圖形綜合探究題（答案不全）
