(新人教A)高三數(shù)學教案全集之 已知三角函數(shù)值求角

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1、課 題：411已知三角函數(shù)值求角（1） 教學目的： 1．要求學生初步（了解）理解反正弦、反余弦函數(shù)的意義，會由已知角的正弦值、余弦值求出范圍內(nèi)的角，并能用反正弦，反余弦的符號表示角或角的集合 2．掌握已知三角函數(shù)值求角的解題步驟． 教學重點：已知三角函數(shù)值求角 教學難點：誘導公式與利用三角函數(shù)值求角的綜合運用 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復(fù)習引入： 誘導公式一（其中）: 用弧度制可寫成 公式二： 用弧度

2、制可表示如下： 公式三： 公式四： 用弧度制可表示如下： 公式五： 用弧度制可表示如下： 誘導公式6： sin(90° -a) = cosa, cos(90° -a) = sina tan(90° -a) = cota, cot(90° -a) = tana sec(90° -a) = cs

3、ca, csc(90° -a) = seca 誘導公式7： sin(90° +a) = cosa, cos(90° +a) = -sina tan(90° +a) = -cota, cot(90° +a) = -tana sec(90° +a) = -csca, csc(90°+a) = seca 誘導公式8： sin(270° -a) = -cosa, cos(270° -a) = -sina tan(270° -a) = cota, cot(270° -a) = tana sec(27

4、0° -a) = -csca, csc(270°-a) = seca 誘導公式9： sin(270° +a) = -cosa, cos(270° +a) = sina tan(270° +a) = -cota, cot(270° +a) = -tana sec(270° +a) = csca, csc(270°+a) = -seca 誘導公式應(yīng)用廣泛，不僅已知任意一個角，(角必須屬于這個函數(shù)的定義域)，可以求出它的三角函數(shù)值，而且反過來，如果已知一個三角函數(shù)值，也可以求出與它對應(yīng)的角．這就是本節(jié)課的主要內(nèi)容． 二、講解新課：

5、 簡單理解反正弦，反余弦函數(shù)的意義： x y 0 由 1°在R上無反函數(shù) 2°在上， x與y是一一對應(yīng)的，且區(qū)間比較簡單 在上，的反函數(shù)稱作反正弦函數(shù)， 記作，（奇函數(shù)） x y 0 同理，由 在上，的反函數(shù)稱作反余弦函數(shù)， 記作 已知三角函數(shù)求角： 首先應(yīng)弄清：已知角求三角函數(shù)值是單值的;已知三角函數(shù)值求角是多值的 三、講解范例： 例1 (1)已知，求x 解：在上正弦函數(shù)是單調(diào)遞增的，且符合條件的角只有一個 ∴（即） (2)已知 解：，是第

6、一或第二象限角 即（） (3)已知 解：x是第三或第四象限角 （即 或 ） 這里用到是奇函數(shù) 例2 (1)已知，求 解：在上余弦函數(shù)是單調(diào)遞減的，且符合條件的角只有一個 (2)已知，且，求x的值 解：，x是第二或第三象限角 (3)已知，求x的值 解：由上題： 介紹：∵ ∴上題 四、課堂練習： 1若α是三角形的一個內(nèi)角，且sinα＝，則α等于( ) A．30° Ｂ．30°或150° Ｃ．60° Ｄ．120°或60° 2若0＜α＜2π，則滿足5sin2α－

7、4＝0的α有( ) A．1個 Ｂ．2個 Ｃ．3個 Ｄ．4個 3滿足sin2x＝的x的集合是( ) A．｛x｜x＝ｋπ＋（－1）ｋ，ｋ∈Z｝Ｂ．｛x｜x＝2ｋπ±，ｋ∈Z｝ Ｃ．｛x｜x＝ｋπ＋，ｋ∈Z｝ Ｄ．｛x｜x＝＋，ｋ∈Z｝ 4若sin2x＝－，且0＜x＜2π，則x= 5若sin2x＝，則x＝ 6若sinα＝sin，α∈R，則α＝ 7已知sinx＋cosx＝，x∈（0，），求x 8已知sin2x＝sin2，求x 9已知方程sinx＋c

8、osx＝ｍ在［0，π］內(nèi)總有兩個不同的解，求m的范圍 參考答案： 1B 2D 3D 4 5 ＋kπ或＋kπ，k∈Z 6，k∈Z 7 8x＝＋2kπ或x＝或x＝－＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z 91＜ｍ＜ 五、小結(jié) 求角的多值性法則：1、先決定角的象限2、如果函數(shù)值是正值，則先求出對應(yīng)的銳角x； 如果函數(shù)值是負值，則先求出與其絕對值對應(yīng)的銳角x，3、由誘導公式，求出符合條件的其它象限的角 六、課后作業(yè)： 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記： 課 題：411已知三角函數(shù)值求角（2） 教學目的： 1．要求學生初步（了解）理解反正切

9、函數(shù)的意義，會由已知角的正弦值、余弦、正切值求出范圍內(nèi)的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符號表示角或角的集合 2．掌握已知三角函數(shù)值求角的解題步驟． 教學重點：已知三角函數(shù)值求角 教學難點：誘導公式與利用三角函數(shù)值求角的綜合運用 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復(fù)習引入： 1．反正弦，反余弦函數(shù)的意義： x y 0 由 1°在R上無反函數(shù) 2°在上， x與y是一一對應(yīng)的，且區(qū)間比較簡單 在上，的反函數(shù)稱作反正弦函數(shù)， 記作，（奇函數(shù)）

10、 x y 0 同理，由 在上，的反函數(shù)稱作反余弦函數(shù)， 記作 2．已知三角函數(shù)求角： 求角的多值性法則：1、先決定角的象限2、如果函數(shù)值是正值，則先求出對應(yīng)的銳角x； 如果函數(shù)值是負值，則先求出與其絕對值對應(yīng)的銳角x，3、由誘導公式，求出符合條件的其它象限的角 x 0 y 二、講解新課： 反正切函數(shù) 1°在整個定義域上無反函數(shù) 2°在上的反函數(shù)稱作反正切函數(shù)， 記作（奇函數(shù)） 三、講解范例： 例1 （1）已知，求x（精確到） 解：在區(qū)間上是增函數(shù)，符合條件的角是唯一的 （2）已知且，求x的取值集合

11、 解： 所求的x的集合是（即） （3）已知，求x的取值集合 解：由上題可知：， 合并為 例2已知，根據(jù)所給范圍求： 1°為銳角 2°為某三角形內(nèi)角 3°為第二象限角 4° 解：1°由題設(shè) 2°設(shè)，或 3° 4°由題設(shè) 例3 求適合下列關(guān)系的x的集合 1° 2° 3° 解：1° 所求集合為 2°所求集合為 3° 例4 直角銳角A，B滿足： 解：由已知： 為銳角，

12、 例5 1°用反三角函數(shù)表示中的角x 2°用反三角函數(shù)表示中的角x 解：1° ∵ ∴ 又由 得 ∴ ∴ 2° ∵ ∴ 又由 得 ∴ ∴ 例6已知，求角x的集合 解：∵ ∴ 由 得 由 得 故角x的集合為 例7求的值 解：arctan2 = a, arctan3 = b 則tana = 2， tanb = 3 且， ∴ 而 ∴a + b = 又arctan1 = ∴= p 例8求y =

13、 arccos(sinx), ()的值域 解：設(shè)u = sin x ∵ ∴ ∴ ∴所求函數(shù)的值域為 四、課堂練習： 1若cosx＝0，則角x等于( ) A．ｋπ，（ｋ∈Z） Ｂ．＋ｋπ，（ｋ∈Z） Ｃ．＋2ｋπ，（ｋ∈Z） Ｄ．－＋2ｋπ，（ｋ∈Z） 2若tanx＝0，則角x等于( ) A．ｋπ，（ｋ∈Z） Ｂ．＋ｋπ，（ｋ∈Z） Ｃ．＋2ｋπ，（ｋ∈Z） Ｄ．－＋2ｋπ，（ｋ∈Z） 3已知cosx＝－，π＜x＜2π，則x等于( ) A． Ｂ． Ｃ．

14、 Ｄ． 4若tan（3π－x）＝－，則x= 5滿足tanx＝的x的集合為 6在閉區(qū)間［0，2π］上，適合關(guān)系式cosx＝－0．4099的角有 個,用0．4099的反余弦表示的x值是 ___________；用－04099的反余弦表示的x的值是 _________ 參考答案： 1B 2A 3A 4x＝＋kπ，k∈Z 5｛x｜x＝arctaｎ＋kπ，k∈Z｝ 6兩 π－arccos04099 π＋arccos04099 arccos(－04099) 2π－arccos(

15、－04099) 五、小結(jié)：反正切函數(shù)的有關(guān)概念，并能運用知識已知三角函數(shù)值求角 六、課后作業(yè)： 1方程cosx＝a（｜a｜＜1，x∈［0，2π的解的集合是( ) A．｛arccosa，－arccosa｝ Ｂ．｛arccosa｝ Ｃ．｛arccosa，π－arccosa｝ Ｄ．｛arccosa，2π－arccosa｝ 2適合cosx＝－，x∈（－π，－）的x值是( ) A． arccos（－） Ｂ．π－arccos Ｃ．－arccos（－） Ｄ．－arccos 3若tanα＝8，且α∈（，），則α等

16、于( ) A．a(chǎn)rctan8 Ｂ．a(chǎn)rctan8－π Ｃ．π－arctan8 Ｄ．π＋arctan8 4已知3tan2x＝1，x是第三象限角，則x的集合是 5若tanθ＝88，且tan83°31′＝88，則θ的集合為 6若cos2x＝－且0＜x＜2π，則x等于 7求滿足sinxcosx－sinx－cosx－1＝0的x 8已知sinx＋cosx＝1，求． 9求滿足cos（πsinx）＝的x的集合 參考答案： 1D 2C 3D 4x＝＋2kπ，k∈Z 5｛θ｜θ＝83°

17、31′＋k·180°，k∈Z｝ 6 7x＝－＋2kπ或x＝π＋2kπ，k∈Z 81 9｛x｜x＝±arcsin＋kπ，k∈Z｝ 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記： 課 題：44同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（一） 教學目的： ⒈掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義； 2 通過運用公式的訓練過程，培養(yǎng)學生解決三角函數(shù)求值、化簡、恒等式證明的解題技能，提高運用公式的靈活性； 3 注意運用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問題；在解決三角函數(shù)化簡問題過程中，注意培養(yǎng)學生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學過程中，注意培養(yǎng)學生分

18、析問題的能力，從而提高邏輯推理能力． 教學重點：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 教學難點：(1)已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時正負號的選擇；(2)三角函數(shù)式的化簡；(3)證明三角恒等式． 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析： ?? ?本節(jié)主要涉及到三個公式，均由三角函數(shù)定義推出．在教學過程中，要注意引導學生理解每個公式，懂得公式的來龍去脈，并能靈活運用、掌握各種恒等變形的技能、技巧．要給學生提供展示自己思路的平臺，營造自主探究解決問題的環(huán)境，把鼓勵帶進課堂，把方法帶進課堂，充分發(fā)揮學生的主體作用． 教材中給出了

19、同角三角函數(shù)間的三個基本關(guān)系式．其實根據(jù)這三個基本關(guān)系還可以變形得到一些基本關(guān)系． 如:由 得:, 同樣可以有: ， ，等等,可以引導學生和用三個基本關(guān)系進行轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學生的自主學習習慣． 教材中的3個基本關(guān)系式，只有：sin2+cos2=1是絕對恒等式，即對于任意實數(shù)都成立,另外兩個公式,僅當取使關(guān)系式的兩邊都有意義的值時才能成立．因此，在運用這些公式進行恒等變形時，角的允許值范圍有時會發(fā)生變化是不奇怪的，在教學中可經(jīng)常提醒學生注意這一點． 這組公式的靈活運用是本節(jié)教學的難點．靈活運用的前提是熟練掌握公式．弄清它們的來籠去脈是解決這一問題的有效方法．從“左”到“右”或從“右”到“左

20、”運用公式，最后達到靈活運用，同時要明確它們成立的先決條件．教材中指出：“在第二個式子中時，式子兩邊都有意義；在第三個式子中，α的終邊不在坐標軸上,這時，式子兩邊都有意義，”并指出：“除特殊注明的情況外，也都假定是在使兩邊都有意義的情況下的恒等式．”這段話學生是不太容易理解的，教師應(yīng)適當加以解釋．首先應(yīng)讓學生分析等式兩邊的三角式的取值范圍，并從中發(fā)現(xiàn)，兩邊的取值范圍經(jīng)常是不相同的，如果一個等式在這兩個數(shù)值集合的交集上總能保持相等，那么這個等式就是恒等式．因此，每一個恒等式并不是對任何值都能保持相等，所以可以認為，這組公式的成立也是有條件的，公式后面括號里給出條件是不容忽視的． 教學過程：

21、一、復(fù)習引入： 1設(shè)是一個任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y） 則P與原點的距離 2．任意角的三角函數(shù)的定義及其定義域 R R 以上六種函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù) 3 三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號規(guī)律： 第一象限全為正,二正三切四余弦 4 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等 誘導公式一（其中）: 用弧度制可寫成 這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0～2π間角的三角函數(shù)值問題．

22、 二、講解新課： 1．公式: 2．采用定義證明： 3．推廣：這種關(guān)系稱為平方關(guān)系,類似的平方關(guān)系還有： 這種關(guān)系稱為商數(shù)關(guān)系,類似的商數(shù)關(guān)系還有： 這種關(guān)系稱為倒數(shù)關(guān)系類似的倒數(shù)關(guān)系還有： 4．點題：三種關(guān)系，八個公式，稱為同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 5．注意： 1°“同角”的概念與角的表達形式無關(guān)， 如： 2°上述關(guān)系（公式）都必須在定義域允許的范圍內(nèi)成立 3°據(jù)此，由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的其余各三角函數(shù)值，且因為利用“平方關(guān)系”公式，最終需求平方根，會出現(xiàn)兩解，因此應(yīng)盡

23、可能少用,若使用時,要注意討論符號 6．這些關(guān)系式還可以如圖樣加強形象記憶： ①對角線上兩個函數(shù)的乘積為1(倒數(shù)關(guān)系) ②任一角的函數(shù)等于與其相鄰的兩個函數(shù)的積(商數(shù)關(guān)系) ③陰影部分，頂角兩個函數(shù)的平方和等于底角函數(shù)的平方(平方關(guān)系) 三、講解范例： 例1． 已知，并且是第二象限角，求的其他三角函數(shù)值． 分析：由平方關(guān)系可求cos的值，由已知條件和cos的值可以求tan的值，進而用倒數(shù)關(guān)系求得cot的值． 解：∵sin2α+cos2α=1，是第二象限角 例2．已知，求sin、tan的值． 分析：∵cosα＜0　　∴是第二或第三象限角．因此要對所在

24、象限分類． 當是第二象限角時， 當是第三象限時 提問：不計算sin的值，能否算得tan的值？ 由于而在Ⅱ或III象限 例3．已知tan為非零實數(shù)，用tan表示sin，cos． 解：由 即 而 四、課堂練習： 1．已知 ， 求的值． 解法1： ∵， ∴在Ⅰ、Ⅳ象限， 當α在Ⅰ象限時， ∴ 當在Ⅳ象限時 ∴ 解法2： 當在Ⅰ象限時， 當在Ⅳ象限時 2．已知，求的值 解∵ tan = 2 > 0，∴在Ⅰ、Ⅲ象限 ①當在Ⅰ象限時． 　　?、诋斣冖笙笙迺r ,

25、 注意：此題在求出cos的值以后，若直接用平方關(guān)系求sin的值，有符號判斷問題，需要再分類，就出現(xiàn)二次分類增添了解決問題的復(fù)雜性．本題采用了商數(shù)關(guān)系，避開了引用平方關(guān)系求sin值，使得問題輕松獲解． 3．已知tan=－3，則sin= ，cot = ． 思路分析：由tan＝－3＜0知，在第二或第四象限， ∴可分類后用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解．（略） 由于這是一個填空題， ∴可先將角視為銳角，求出sin和cot的值，然后具體的再看角所在象限得出sin、cot的符號． 將視為銳角′，則有tan′=3， ∴′= cot′=, ∴在第Ⅱ或第Ⅳ象限． ∴

26、 五、小結(jié)與總結(jié) 已知角的一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時，應(yīng)用平方關(guān)系確定符號是個難點，一般地說，這類計算題可分為以下三種情況：⑴已知象限，由象限定符號；⑵已知值，由值分情況討論；⑶值是字母，開平方時，分情況討論 六、課后作業(yè)： 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記： 思考題：1已知，求下列各式的值 ①sin3α＋cos3α ②sin4α＋cos4α ③sin6α＋cos6α 分析：由兩邊平方，整理得 然后將各式化成關(guān)于sinα＋cosα，sinαcosα的式子將上兩式的值代入即可求得各式的值答案：① ② ③ 注意：sinα＋cosα、sin

27、α·cosα稱為關(guān)于角α的正弦和余弦的基本對稱式，關(guān)于sinα、cosα的所有對稱式都可以用基本對稱式來表示 2已知sinα·cosα＝，且，則cosα－sinα的值是多少? 分析：由sinα·cosα＝得2sinαcosα＝ sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－ （cosα－sinα）2＝ ∵，∴cosα＜sinα， 即cosα－sinα＜0 ∴cosα－sinα＝－ 課 題：44同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（二） 教學目的： ⒈掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義； 2 通過運用公式的訓練過程，培養(yǎng)學生解

28、決三角函數(shù)求值、化簡、恒等式證明的解題技能，提高運用公式的靈活性； 3 注意運用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問題；在解決三角函數(shù)化簡問題過程中，注意培養(yǎng)學生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學過程中，注意培養(yǎng)學生分析問題的能力，從而提高邏輯推理能力． 教學重點：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 教學難點：(1)已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時正負號的選擇；(2)三角函數(shù)式的化簡；(3)證明三角恒等式． 授課類型：新授課 課時安排：2課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復(fù)習引入： 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式:

29、 1°“同角”的概念與角的表達形式無關(guān)，如： 2°上述關(guān)系（公式）都必須在定義域允許的范圍內(nèi)成立 3°由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的其余各三角函數(shù)值，且因為利用“平方關(guān)系”公式，最終需求平方根，會出現(xiàn)兩解，因此應(yīng)盡可能少用,若使用時,要注意討論符號 這些關(guān)系式還可以如圖樣加強形象記憶： ①對角線上兩個函數(shù)的乘積為1(倒數(shù)關(guān)系) ②任一角的函數(shù)等于與其相鄰的兩個函數(shù)的積(商數(shù)關(guān)系) ③陰影部分，頂角兩個函數(shù)的平方和等于底角函數(shù)的平方(平方關(guān)系) 二、講解范例： 例1化簡： 解：原式 例2 已知 解： （

30、注意象限、符號） 例3求證： 分析：思路1．把左邊分子分母同乘以，再利用公式變形；思路2：把左邊分子、分母同乘以（1+sinx）先滿足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需將分子轉(zhuǎn)化為零；思路4：用作商法，但先要確定一邊不為零；思路5：利用公分母將原式的左邊和右邊轉(zhuǎn)化為同一種形式的結(jié)果；思路6：由乘積式轉(zhuǎn)化為比例式；思路7：用綜合法． 證法1：左邊=右邊， ∴原等式成立 證法2：左邊=＝ ＝右邊 證法3： ∵， ∴ 證法4：∵cosx≠0，∴1+sinx≠0，∴≠0， ∴＝＝＝1， ∴． ∴左邊=右邊 ∴原等式成立． 證

31、法6：∵＝＝＝ ∴． 證法7：∵， ∴= 例4已知方程的兩根分別是， 求 解： （化弦法） 例5已知， 求 解： 例6消去式子中的 解：由 由 （平方消去法） 例7已知 解：由題設(shè)： ① ② ①/②： ③ ①+③： 三、、課堂練習： 1．已知cot=2，求α的其余三個三角函數(shù)值． 分析：由于cot=2＞0，因此分在第Ⅰ、III象限時，討論． 解：∵cot=2＞0 ∴α在第Ⅰ、III象限 當在第Ⅰ象限時， ，

32、 ∴， ∴ 當在第II象限時， 2．已知：且，試用定義求的其余三個三角函數(shù)值． 分析：題目要用定義求三角函數(shù)值，則解決問題的關(guān)鍵應(yīng)找到終邊的所在象限． 解：∵，而 ∴在第二象限 設(shè)點P(x，y)為角終邊上任一點 由，可設(shè)，則． ∴ ，，． 3．已知角的終邊在直線y=3x上，求sin和cos的值． 解：由題意可知 ∵角的終邊在直線y=3x上 ∴設(shè)P(a，3a)(a≠0)為角終邊上的任一點． 當在第一象限時，a＞0 ∴ 當在第三象限， ∴ 4．已知 求cot的值 分析：由題意可知cos＞0，∴分在Ⅰ、Ⅳ象限討論．利用平方關(guān)系可求正弦值，利用商

33、的關(guān)系，即可求余切值． 解：∵ m＞1 ∴，∴在第I、IV象限 當α在第I象限時 ∴ 當在第IV象限時， 5．已知，求tan和sin的值． 分析：由已知條件可知cos的值可能正可能負, ∴要分別討論分子為正、為負的情形． 解：(1)若│m│＞│n│＞0 則cos＞0 ∴在Ⅰ、Ⅳ象限 當在第Ⅰ象限時 當在第Ⅳ象限時 (2)若0＜│m│＜│n│時，則cos＜0 ∴在第II、III象限 當在第Ⅱ象限時 當在第III象限時 (3)若n=0、m≠0時，tan =0，sin =0 (4) 若m=0、n≠0時，tan =0，sin =0

34、 說明：已知某角的一個三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值時要注意： (1) 角所在的象限； (2) 用平方關(guān)系求值時，所求三角函數(shù)的符號由角所在的象限決定； (3)若題設(shè)中已知角的某個三角函數(shù)值是用字母給出的，則求其他函數(shù)值時，要對該字母分類討論． 6．已知tan =3，求下列各式的值 分析：思路1，可以由tan =3求出sin、cos的值，代入求解即可； 思路2，可以將要求值的表達式利用同角三角函數(shù)關(guān)系，變形為含tan的表達式． 解：(1)原式分子分母同除以得， 原式= (2)原式的分子分母同除以得： 原式= (3) 用“1”的代換 原式= (4)原式= (

35、5) ＝＝ ＝ ∴ (6)同(5) ∴ (7) (8)= = == === 說明：數(shù)字“1”的代換，表面上看增加了運算，但同時它又可以將原表達式整體結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，給解決問題帶來方面，故解題時，應(yīng)給于足夠的認識． 7 化簡下列各式 1． 2． 3． 分析：在化簡前應(yīng)先復(fù)習“”以及絕對值的概念． 解：（１）原式＝ ＝ ＝ （２）原式＝ ＝ ＝ 說明：在三角式的化簡或恒等變形中，正確處理算術(shù)根和絕對值問題是個難點．這是由于算術(shù)根和絕對值的概念在初中代數(shù)階段是一個不易理解和掌握的基本概念，現(xiàn)在又以三角式的形式

36、出現(xiàn)，就更增加了它的復(fù)雜性和抽象性，所以形成新的難點．為處理好這個問題，要先復(fù)習算術(shù)根和絕對值的定義． 8．求證： 證明：可先證： （※） 右式＝＝ ＝＝＝左式 ∴（※）式成立，即原等式成立． 9．已知 證：由題設(shè)： 四、小結(jié) 幾種技巧 五、課后作業(yè)： 六、板書設(shè)計（略） 七、課后記： 1已知sinα＋cosα＝，且0＜α＜π，則tanα的值為( ) 2若sin4θ＋cos4θ＝1，則sinθ＋cosθ的值為( ) A0 B1

37、 C－1 D±1 3若tanθ＋cotθ＝2，則sinθ＋cosθ的值為( ) A0 B C－ D± 4若＝10，則tanα的值為 5若tanα＋cotα=2，則sin4α＋cos4α＝ 6若tan2α＋cot2α＝2，則sinαcosα＝ 7求證 8已知tanθ＋sinθ＝ｍ，tanθ－sinθ＝ｎ 求證：(1)cosθ＝ （2） 9已知tanθ＋cotθ＝2

38、，求sin3θ－cos3θ的值 參考答案：1A 2D 3D 4－2 5 6± 7 (略) 8略 90 課 題：45正弦、余弦的誘導公式（一） 教學目的： 1．通過本節(jié)內(nèi)容的教學，使學生掌握180o+，-，180o-，360o－角的正弦、余弦的誘導公式及其探求思路，并能正確地運用這些公式進行任意角的正弦、余弦值的求解、簡單三角函數(shù)式的化簡與三角恒等式的證明； 2．通過公式的應(yīng)用，培養(yǎng)學生的化歸思想，以及信息加工能力、運算推理能力、分析問題和解決問題的能力； 3．通過公式二、三、四、五的探求，培養(yǎng)學生思維的嚴密性與科學性等思維品質(zhì)以及孜孜以求

39、的探索精神等良好的個性品質(zhì)． 教學重點：誘導公式 教學難點：誘導公式的靈活應(yīng)用 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析： ?? ?誘導公式溝通了任意角三角函數(shù)值與銳角三角函數(shù)值以及終邊有特殊位置關(guān)系的角的三角函數(shù)值之間的聯(lián)系．在求任意角的三角函數(shù)值，解決有關(guān)的三角變換等方面有重要的作用． 由角的終邊的某種對稱性，導致終邊與單位圓的交點也具有相應(yīng)的對稱性，這樣就產(chǎn)生了“”、“”、“”等誘導公式，我們知道，角的終邊與角的終邊關(guān)于y軸對稱；角的終邊與角的終邊關(guān)于原點對稱，，角的終邊與角的終邊關(guān)于x軸對稱，所以、、、各角的三角函數(shù)值與角的三角

40、函數(shù)值的絕對值相同，符號由各角所在象限的原三角函數(shù)的符號來確定，誘導公式看起來很多，但是抓住終邊的對稱性及三角函數(shù)定義，明白公式的來龍去脈也就不難記憶了． 誘導公式可以幫助我們把任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，在求任意角的三角函數(shù)值時起很大作用，但是隨著函數(shù)計算器的普及，誘導公式更多地運用在三角變換中，特別是誘導公式中的角可以是任意角，即，它在終邊具有某種對稱性的角的三角函數(shù)變換中，應(yīng)用廣泛，如后續(xù)課中，畫余弦曲線就是利用誘導公式把正弦曲線向左平移個長度單位而得到的． 在教學中，提供給學生的記憶方法一定要重在理解、重在邏輯、重在思考，以達到優(yōu)化思維品質(zhì)的功效． 用一句話歸納概括誘導公式

41、一、二、三、四、五并能正確理解這句話中每一詞語的含義，是本節(jié)教材的難點．講清每一組公式的意義及其中符號語言的特征，并把公式與相應(yīng)圖形對應(yīng)起來，是突破這個難點的關(guān)鍵． 教學過程： 一、復(fù)習引入： 誘導公式一: （其中） 用弧度制可寫成 （其中） 誘導公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化為0o―360o之間角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0o―360o內(nèi)找出與角終邊相同的角，再把它寫成誘導公式（一）的形式，然后得出結(jié)果 這組公式可以統(tǒng)一概括為的形式，其特征是：等號

42、兩邊是同名函數(shù)，且符號都為正 由這組公式還可以看出，三角函數(shù)是“多對一”的單值對應(yīng)關(guān)系，明確了這一點，為今后學習函數(shù)的周期性打下基礎(chǔ) 3．運用公式時，注意“弧度”與“度”兩種度量制不要混用，如寫成，是不對的． 二、講解新課： 公式二： 用弧度制可表示如下： 它刻畫了角180o+與角的正弦值（或余弦值）之間的關(guān)系，這個關(guān)系是：以角終邊的反向延長線為終邊的角的正弦值（或余弦值）與角的正弦值（或余弦值）是一對相反數(shù)．這是因為若設(shè)的終邊與單位圓交于點P( x，y)，則角終邊的反向延長線

43、，即180o+角的終邊與單位圓的交點必為P′(-x，-y)（如圖4-5-1）．由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sin=y， cos=x, sin(180o+)=-y, cos(180o+)=-x, 所以 :sin(180o+)=-sin，cos(180o+)=-cos． 公式三： 它說明角-與角的正弦值互為相反數(shù)，而它們的余弦值相等．這是因為，若沒的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則角-的終邊與單位圓的交點必為P′(x，-y)（如圖4-5-2）．由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得 sin=y， cos=x, sin(-)=-y, cos

44、(-)=x, 所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cosα 公式二、三的獲得主要借助于單位圓及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義．根據(jù)點P的坐標準確地確定點P′的坐標是關(guān)鍵，這里充分利用了對稱的性質(zhì)．事實上，在圖1中，點P′與點P關(guān)于原點對稱，而在圖2中，點P′與點P關(guān)于x軸對稱．直觀的對稱形象為我們準確寫出P′的坐標鋪平了道路，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學思想的優(yōu)越性． 公式四： 用弧度制可表示如下： 公式五： 這兩組公式均可由前面學過的誘導公式

45、直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），體現(xiàn)了把未知問題化為已知問題處理這一化歸的數(shù)學思想．公式的推導并不難，然而推導中的化歸意識和策略是值得我們關(guān)注的． 五組誘導公式可概括為： +k·360o（k∈Z），-，180o±，360o-的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號． 這里的“同名三角函數(shù)值”是指等號兩邊的三角函數(shù)名稱相同；“把看成銳角”是指原本是任意角，這里只是把它視為銳角處理；“前面加上一個……符號”是指的同名函數(shù)值未必就是最后結(jié)果，前面還應(yīng)添上一個符號（正號或負號，主要是負號，正號可省略），而這個符號是把任意角視為銳角情況

46、下的原角原函數(shù)的符號．應(yīng)注意講清這句話中每一詞語的含義，特別要講清為什么要把任意角α看成銳角．建議通過實例分析說明． 三、講解范例： 例1．下列三角函數(shù)值： （1）cos210o； (2)sin 分析：本題是誘導公式二的鞏固性練習題．求解時，只須設(shè)法將所給角分解成180o+或（π+），為銳角即可． 解：（1）cos210o=cos(180o+30o)=－cos30o=－； （2）sin=sin()=－sin=－ 例2．求下列各式的值： （1）sin(－)；(2)cos(－60o)－sin(－210o) 分析：本題是誘導公式二、三的鞏固性練習題．求解時一般先用誘導公式三把負

47、角的正弦、余弦化為正角的正弦、余弦，然后再用誘導公式二把它們化為銳角的正弦、余弦來求． 解：（1）sin(－)=－sin()=sin=； （2）原式=cos60o+sin(180o+30o)=cos60o－sin30o=－=0 例3．化簡 分析：這是誘導公式一、二、三的綜合應(yīng)用．適當?shù)馗淖兘堑慕Y(jié)構(gòu)，使之符合誘導公式中角的形式，是解決問題的關(guān)鍵． 解 例4．已知cos(π+)=－ ，<<2π，則 nqin(2π－)的值是（ ）． （A） (B) (C)－ (D)± 分析：通過本題的求解，可進一步熟練誘導公式一、二、三的運用．求解時先用誘導公式二把已知條件

48、式化簡，然后利用誘導公式一和三把sin(2π－)化成－sin,再用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可． 事實上，已知條件即cos=，于是 sin(2π－)=－sin=－(－)== 因此選A 四、課堂練習： 1．求下式的值：2sin(－1110o) －sin960o+ 答案：－2 提示：原式=2sin(－30o)+sin60o－=－2 選題目的：通過本題練習，使學生熟練誘導公式一、二、三的運用． 使用方法：供課堂練習用． 評估：求解本題時，在靈活地進行角的配湊，使之符合誘導公式中角的結(jié)構(gòu)特點方面有著較高的要求．若只計算一次便獲得準確結(jié)果，表明在利用誘導公式一、二、三求解三角函數(shù)式的值

49、方面已達到了較熟練的程度． 2．化簡sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的結(jié)果是（ ） （A）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1 答案：C 選題目的：熟練掌握誘導公式一、二、三及同角三角函數(shù)關(guān)系中商數(shù)關(guān)系的靈活運用． 使用方法：供課堂練習用． 評估：本題不僅涉及了誘導公式一、二、三，而且還涉及了同角三角函數(shù)的關(guān)系，此外還出現(xiàn)了如“sin(－2)”這樣的學生較為陌生的三角函數(shù)值，求解時若只計算一次便獲得準確結(jié)果，表明在新知識的運用和舊知識的記憶方面都達到了較好的程度． 五、小結(jié) 通過本節(jié)課的教學，我們獲得了誘導公式．值得注意

50、的是公式右端符號的確定．在運用誘導公式進行三角函數(shù)的求值或化簡中，我們又一次使用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．通過進行角的適當配湊，使之符合誘導公式中角的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)了我們思維的靈活性． 六、布置作業(yè)： 1．求下列三角函數(shù)值： （1）； (2)；(3)；(4) 2．化簡： 3．當時，的值是____． 作業(yè)的答案與提示： 1．（1）－ （2）－ （3） （4） 2．提示：原式==1 3． ．提示：原式==－ 當時，原式=－= 補充題： １．求值： ２．化簡： ３．已知，，則的值是_____． ４．設(shè)f (θ)=，求f ()的值． 補

51、充題的答案與提示： １．- 提示：原式==－ ２．sinα 提示：原式=＝sinα ３． 提示：已知條件即，故 ４． 提示： = = = 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記： 課 題：45正弦、余弦的誘導公式（二） 教學目的： 能熟練掌握誘導公式一至五，并運用求任意角的三角函數(shù)值，并能應(yīng)用，進行簡單的三角函數(shù)式的化簡及論證 教學重點：誘導公式 教學難點：誘導公式的靈活應(yīng)用 授課類型：新授課 課時安排：2課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復(fù)習引入： 誘導公式一（其中）: 用弧度制可

52、寫成 公式二： 用弧度制可表示如下： 公式三： 公式四： 用弧度制可表示如下： 公式五： 用弧度制可表示如下： 二、講解范例： 例1．求下列三角函數(shù)的值 (1) sin240o； (2)；(3) cos(-252o)；(4) s

53、in（-） 解：（1）sin240o=sin(180o+60o)＝－sin60o= (2) =cos==； (3) cos(-252o)=cos252o= cos(180o+72o)=－cos72o=－03090； (4) sin（-）=－sin=－sin=sin= 說明：本題是誘導公式二、三的直接應(yīng)用．通過本題的求解，使學生在利用公式二、三求三角函數(shù)的值方面得到基本的、初步的訓練．本例中的（3）可使用計算器或查三角函數(shù)表． 例2．求下列三角函數(shù)的值 (1)sin(-119o45′)；(2)cos；(3)cos(-150o)；(4)sin 解：(1)sin(－119o45′)=

54、－sin119o45′=－sin(180o-60o15′) = －sin60o15′=－08682 (2)cos=cos()=cos= (3)cos(-150o)=cos150o=cos(180o-30o) =－cos30o=； (4)sin=sin()=－sin= 說明：本題是公式四、五的直接應(yīng)用，通過本題的求解，使學生在利用公式四、五求三角函數(shù)的值方面得到基本的、初步的訓練．本題中的（1）可使用計算器或查三角函數(shù)表． 例3．求值：sin－cos－sin 略解：原式=-sin-cos-sin =-sin-cos+sin =sin+co

55、s+sin =++03090=13090 說明：本題考查了誘導公式一、二、三的應(yīng)用，弧度制與角度制的換算，是一道比例1略難的小綜合題．利用公式求解時，應(yīng)注意符號． 例4．求值：sin(-1200o)·cos1290o+cos(-1020o)·sin(-1050o)+tan855o 解：原式＝－sin(120o+3·360o)cos(210o+3·360o) +cos(300o+2·360o)[-sin(330o+2·360o)]+tan(135o+2·360o) ＝－sin120o·cos210o－cos300o·sin330o+tan135o ＝－sin(180o－60o)·c

56、os(180o+30o) － cos(360o－60o)·sin(360o-30o)+ =sin60o·cos30o+cos60o·sin30o－tan45o=·+·-1=0 說明：本題的求解涉及了誘導公式一、二、三、四、五以及同角三角函數(shù)的關(guān)系．與前面各例比較，更具有綜合性．通過本題的求解訓練，可使學生進一步熟練誘導公式在求值中的應(yīng)用． 例5．化簡： 略解：原式===1 說明：化簡三角函數(shù)式是誘導公式的又一應(yīng)用，應(yīng)當熟悉這種題型． 例6．化簡： 解：原式= = = = 說明：本題可視為例5的姐妹題，相比之下，難度略大于例5．求解時應(yīng)注意從所涉及的角中分離出

57、2的整數(shù)倍才能利用誘導公式一． 例7．求證： 證明：左邊= = == =， 右邊==， 所以，原式成立． 例8．求證 證明：左邊＝ ＝＝tan3α＝右邊， 所以，原式成立． 說明：例7和例8是誘導公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式在證明三角恒等式中的又一應(yīng)用，具有一定的綜合性．盡管問題是以證明的形式出現(xiàn)的，但其本質(zhì)是等號左、右兩邊三角式的化簡． 例9．已知．求：的值． 解：已知條件即， 又， 所以：= 說明：本題是在約束條件下三角函數(shù)式的求值問題．由于給出了角的范圍，因此，的三角函數(shù)的符號是一定的，求

58、解時既要注意誘導公式本身所涉及的符號，又要注意根據(jù)的范圍確定三角函數(shù)的符號． 例10．已知,求: 的值 解：由，得 ， 所以 故 = =1＋tan＋2tan2 =1+ 說明：本題也是有約束條件的三角函數(shù)式的求值問題，但比例9要復(fù)雜一些．它對于學生熟練誘導公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用．提高運算能力等都能起到較好的作用． 例11．已知的值． 解：因為， 所以：=＝－m 由于所以 于是：=， 所以：tan(= 說明：通過觀察，獲得角與角之間的關(guān)系式=-（），為順利利用誘導公式求cos()的值奠定了基礎(chǔ)，這是求解本題的關(guān)鍵，我們應(yīng)當善于引導學生觀察，充分挖掘的隱

59、含條件，努力為解決問題尋找突破口，本題求解中一個鮮明的特點是誘導公式中角的結(jié)構(gòu)要由我們通過對已知式和欲求之式中角的觀察分析后自己構(gòu)造出來，在思維和技能上顯然都有較高的要求，給我們?nèi)碌母杏X，它對于培養(yǎng)學生思維能力、創(chuàng)新意識，訓練學生素質(zhì)有著很好的作用． 例12．已知cos，角的終邊在y軸的非負半軸上，求cos的值． 解：因為角的終邊在y軸的非負半軸上， 所以：=， 于是 2（）= 從而 所以 === 說明：本題求解中，通過對角的終邊在y軸的非負半軸上的分析而得的=，還不能馬上將未知與已知溝通起來．然而，當我們通過觀察，分析角的結(jié)構(gòu)特征，并將它表示為2（）后，再將=代入

60、，那么未知和已知之間隨即架起了一座橋梁，它為利用誘導公式迅速求值掃清了障礙．通過本題的求解訓練，對于培養(yǎng)學生的觀察分析能力以及思維的靈活性和創(chuàng)造性必將大有裨益． 三、課堂練習： 1．已知sin(+π)＝ －，則的值是（ ） （A） (B) －2 (C)－ (D)± 2．式子的值是 （ ） （A） (B) (C) (D)- 3．，β，γ是一個三角形的三個內(nèi)角，則下列各式中始終表示常數(shù)的是（ ） （A）sin(+β)+sinγ (B)cos(β+γ)- cos (C)sin(+γ)-cos(-β)tanβ (D)cos(2β+γ)+

61、cos2 4．已知：集合，集合 ，則P與Q的關(guān)系是 （ ）． （A）PQ (B)PQ (C)P=Q (D)P∩Q=φ 5．已知對任意角均成立．若f (sinx)=cos2x，則f(cosx)等于（ ）． （A）-cos2x (B)cos2x (C) -sin2x (D)sin2x 6．已知，則的值等于 ． 7．= ． 8．化簡：所得的結(jié)果是 ． 9．求證． 10．設(shè)f(x)=， 求f ()的值． 答案與提示1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．± 7．0 8．－2cosα 9．提示：左邊利用誘導公式及平方關(guān)系，得，右邊利用倒數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，得，所以左邊=右邊． 10．． 提示：分n=2k，n=2k+1(k∈z)兩種情況討論，均求得f(x)=sin2x．故f()=． 四、小結(jié) 應(yīng)用誘導公式化簡三角函數(shù)的一般步驟：1°用“- a”公式化為正角的三角函數(shù)；2°用“2kp + a”公式化為[0，2p]角的三角函數(shù)；3°用“p±a”或“2p - a”公式化為銳角的三角函數(shù) 五、課后作業(yè)： 六、板書設(shè)計（略） 七、、課后記：