浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 基本圖形(二)第27講 圖形與變換 第2課時 圖形平移與旋轉(zhuǎn)講解篇

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1、 第2課時　圖形平移與旋轉(zhuǎn) 1．圖形的平移 考試內(nèi)容 考試 要求 定義 在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個 移動一定的 ，這樣的圖形運(yùn)動稱為平移． a 性質(zhì) 1.對應(yīng)線段____________________(或共線)且相等，對應(yīng)點(diǎn)連線____________________且平行(或共線)； 2．平移前后的圖形形狀和大小都沒有發(fā)生變化(即兩個圖形 )． c 畫平移 圖形　 必須找出平移的方向和距離，其依據(jù)是平移的性質(zhì)． 2.圖形的旋轉(zhuǎn) 考試內(nèi)容 考試 要求 定義 在平面內(nèi)，將一個圖形繞著一個定點(diǎn)沿

2、某個方向轉(zhuǎn)動一個角度的圖形運(yùn)動稱為旋轉(zhuǎn)．這個定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角． a 性質(zhì) 1.對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離____________________； 2．任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于____________________； 3．旋轉(zhuǎn)前后的圖形 ． c 旋轉(zhuǎn) 作圖 步驟 (1)分析題目要求，找出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角； (2)分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點(diǎn)； (3)沿一定的方向，按一定的角度，通過截取線段的方法，作出各個關(guān)鍵點(diǎn)； (4)連結(jié)作出的各個關(guān)鍵點(diǎn)，并標(biāo)

3、上相應(yīng)字母； (5)寫出結(jié)論． 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 思想 運(yùn)動變換思想，以局部帶整體，先找出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)行圖形變換． c 1．如圖，把三角板的斜邊緊靠直尺平移，一個頂點(diǎn)從刻度“5”平移到刻度“10”，則頂點(diǎn)C平移的距離CC′＝____________________. 2．(2017·金華)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4)． (1)作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的△A1B1C1； (2)作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，若把點(diǎn)A′向右平移a個單位長度后落在△A1B1C1的內(nèi)

4、部(不包括頂點(diǎn)和邊界)，求a的取值范圍． 【問題】如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)． (1)將△ABC向左平移6個單位長度得到△A1B1C1； (2)將△ABC繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2； (3)通過(1)、(2)作圖，你認(rèn)為利用旋轉(zhuǎn)變換、平移變換作圖要注意哪些？ 【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理旋轉(zhuǎn)變換、平移變換，以及利用旋轉(zhuǎn)變換、平移變換作圖． 類型一　識別(畫)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)變換 　(1)(2016·荊門)兩個全等的三角尺重疊放在△ACB的位置，將其

5、中一個三角尺繞著點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△DCE的位置，使點(diǎn)A恰好落在邊DE上，AB與CE相交于點(diǎn)F.已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，則CF＝　　　　　　　　cm. 【解后感悟】此題是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，正確得出∠AFC的度數(shù)是解題關(guān)鍵． (2)如圖，在方格紙中，△ABC的三個頂點(diǎn)和點(diǎn)P都在小方格的頂點(diǎn)上，按要求畫一個三角形，使它的頂點(diǎn)在方格的頂點(diǎn)上． ①將△ABC平移，使點(diǎn)P落在平移后的三角形內(nèi)部，在圖甲中畫出示意圖； ②以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P落在旋轉(zhuǎn)后的三角形內(nèi)部，在圖乙中畫出示意圖． 【解后感悟】本題利用旋轉(zhuǎn)變換作

6、圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵． 1． (1)(2015?永州)在等腰△ABC中，AB＝AC，則有BC邊上的中線，高線和∠BAC的平分線重合于AD(如圖1)．若將等腰△ABC的頂點(diǎn)A向右平行移動后，得到△A′BC(如圖2)，那么，此時BC邊上的中線、BC邊上的高線和∠BA′C的平分線應(yīng)依次分別是 　　　　(填A(yù)′D、A′E、A′F)． (2)(2016?吉林模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的位置如圖所示(每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形)． ①將△ABC沿x軸方向向左平移6個單位，畫出平移后得到的△A1B1C1； ②將△ABC繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)9

7、0°，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△AB2C2，并直接寫出點(diǎn)B2、C2的坐標(biāo)． 類型二　網(wǎng)格、平面直角坐標(biāo)系中的圖形變換 　如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，Rt△ABC的三個頂點(diǎn)A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)． (1)將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，得到△A1B1C，請畫出△A1B1C的圖形； (2)平移△ABC，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A2坐標(biāo)為(－2，－6)，請畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2的圖形； (3)若將△A1B1C繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)． 【解后感悟】本題是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圖形的平移等知識運(yùn)用，根據(jù)題

8、意得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵． 2．(2017·溫州模擬)如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC為格點(diǎn)三角形(即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上)． (1)把△ABC沿BA方向平移后，點(diǎn)A移到點(diǎn)A1，在網(wǎng)格中畫出平移后得到的△A1B1C1； (2)把△A1B1C1繞點(diǎn)A1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B2C2； (3)如果網(wǎng)格中小正方形的邊長為1，求點(diǎn)B經(jīng)過(1)、(2)變換的路徑總長． 類型三　平移、旋轉(zhuǎn)變換解決路徑、面積等問題 　(2017·麗水模擬)如圖，將邊長為12的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′，當(dāng)兩個三角

9、形重疊的面積為32時，它移動的距離AA′等于________． 【解后感悟】解決本題的關(guān)鍵是抓住平移后圖形的特點(diǎn)，利用方程方法解題． 3．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC.把△ABC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△AB′C′，若AB＝2，則線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分(陰影部分)的面積是　　　　　　　　　.(結(jié)果保留π) 4．(2015·張家界)如圖，在邊長均為1的正方形網(wǎng)絡(luò)紙上有一個△ABC，頂點(diǎn)A、B、C及點(diǎn)O均在格點(diǎn)上，請按要求完成以下操作或運(yùn)算： (1)將△ABC向上平移4個單位，得到△A1B1C1(不寫作法，但要標(biāo)出字母)；

10、 (2)將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到△A2B2C2(不寫作法，但要標(biāo)出字母)； (3)求點(diǎn)A繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A2所經(jīng)過的路徑長． 【經(jīng)驗(yàn)積累題】 【提出問題】 (1)如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C)，連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN.求證：∠ABC＝∠ACN； 【類比探究】 (2)如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長線上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)C)，其他條件不變，(1)中結(jié)論∠ABC＝∠ACN還成立嗎？請說明理由； 【拓展延伸】 (3)如圖3，在等腰△ABC中，BA＝BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)B

11、、C)，連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN＝∠ABC.連結(jié)CN.試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 　　 　　　　　　 【方法與對策】這是一道從特殊到一般設(shè)置的題型，通過基礎(chǔ)圖形等邊三角形到等腰三角形，步步深入設(shè)置問題，其實(shí)解決問題的策略也是從簡單到復(fù)雜，即全等三角形到相似三角形解決問題，通過前面方法來解決后面問題，在學(xué)習(xí)上是經(jīng)驗(yàn)積累．這是中考熱門題型． 【考慮不全，出現(xiàn)漏解】 如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，將△AEF繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BE＝DF時，∠BAE的大小是________

12、． 參考答案 第2課時　圖形平移與旋轉(zhuǎn) 【考點(diǎn)概要】 1．方向　距離　平行　相等　全等　2.相等　旋轉(zhuǎn)角 全等 【考題體驗(yàn)】 1．5　2.(1)如圖所示，△A1B1C1即為所求； (2)∵點(diǎn)A′坐標(biāo)為(－2，2)，由圖可知，平移4個單位和6個單位時，剛好落在△A1B1C1的邊界上，∴若要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的內(nèi)部，即4＜a＜6. 【知識引擎】 【解析】(1)將點(diǎn)A、B、C分別向左平移6個單位長度，得出對應(yīng)點(diǎn)，即可得出△A1B1C1. 如圖所示：△A1B1C1，即為所求； (2)將點(diǎn)A

13、、B、C分別繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得出對應(yīng)點(diǎn)，即可得出△A2B2C2.如圖所示：△A2B2C2，即為所求．(3)畫平移圖形，必須找出平移的方向、距離；畫旋轉(zhuǎn)圖形，必須找出旋轉(zhuǎn)中心、方向、角度．運(yùn)用圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，要根據(jù)已知得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵． 【例題精析】 例1　(1)∵將其中一個三角尺繞著點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△DCE的位置，使點(diǎn)A恰好落在邊DE上，∴DC＝AC，∠D＝∠CAB，∴∠D＝∠DAC，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，∴∠D＝∠CAB＝60°，∴∠DCA＝60°，∴∠ACF＝30°，可得∠AFC＝90°，∵AB＝8cm，∴AC＝4cm，∴FC＝

14、4cos30°＝2(cm)．故答案為：2.　(2)①平移后的三角形如圖1； ②如圖2，旋轉(zhuǎn)后的三角形如圖所示． 例2　(1)如圖所示：△A1B1C即為所求；(2)如圖所示：△A2B2C2即為所求；(3)旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)(0，－2)． 例3　設(shè)AC交A′B′于H，∵∠A＝45°，∠D＝90°，∴△A′HA是等腰直角三角形，設(shè)AA′＝x，則陰影部分的底長為x，高A′D＝12－x，∴x·(12－x)＝32，∴x＝4或8，即AA′＝4或8. 【變式拓展】 1．(1)A′D、A′F、A′E　(2)①如圖，△A1B1C1即為所求；?、谌鐖D，△AB2C2即為所求，點(diǎn)B2(4，－

15、2)，C2(1，－3)． 2．(1)如圖；　(2)如圖； (3)BB1＝＝2；弧B1B2的長＝＝.點(diǎn)B所走的路徑總長＝2＋π. 　3. 4．(1)△A1B1C1如圖所示；　(2)△A2B2C2如圖所示； (3)∵OA＝4，∠AOA2＝180°，∴點(diǎn)A繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A2所經(jīng)過的路徑長為＝4π. 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】(1)利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結(jié)論．證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN.

16、 (2)也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結(jié)論，和(1)的思路完全一樣．解：結(jié)論∠ABC＝∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN. (3)首先得出∠BAC＝∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到＝，根據(jù)∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，得到∠BAM＝∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結(jié)論． 結(jié)論：∠ABC＝∠ACN.理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，頂角∠ABC＝∠AMN

17、，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴＝，又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN. 【錯誤警示】15°或165°①當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD的內(nèi)部時，如圖1，∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，BE＝DF，∵AB＝AD，AE＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝30°，∴∠BAE＝∠FAD＝15°.②當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD的外部時，如圖2，∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，BE＝DF，AB＝AD，AE＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD，∵∠EAF＝60°，∴2∠BAE－∠EAF＋90°＝360°，∴∠BAE＝165°.故答案為15°或165°. 圖1　 圖2 　 12