江蘇省2018中考數(shù)學(xué)試題研究 第一部分 考點(diǎn)研究 第三章 函數(shù) 第14課時(shí) 二次函數(shù)的應(yīng)用試題（5年真題）

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1、 函數(shù) 第14課時(shí) 二次函數(shù)的應(yīng)用 江蘇近5年中考真題精選(2013～2017) 命題點(diǎn)1二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(鹽城1考，淮安1考，宿遷1考) 考向一　最大利潤(rùn)問題 1. (2016徐州26題8分)某賓館擁有客房100間，經(jīng)營(yíng)中發(fā)現(xiàn)：每天入住的客房數(shù)y(間)與房?jī)r(jià)x(元)(180≤x≤300)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分對(duì)應(yīng)值如下表： x(元) 180 260 280 300 y(間) 100 60 50 40 (1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式； (2)已知每間入住的客房，賓館每日需支出各種費(fèi)用100元；每間空置的客房，賓館每日需支出各種費(fèi)用60元．當(dāng)房?jī)r(jià)為多少

2、元時(shí)，賓館當(dāng)日利潤(rùn)最大？求出最大利潤(rùn)．(賓館當(dāng)日利潤(rùn)＝當(dāng)日房費(fèi)收入－當(dāng)日支出) 2. (2013鹽城25題10分)水果店王阿姨到水果批發(fā)市場(chǎng)打算購(gòu)進(jìn)一種水果銷售，經(jīng)過還價(jià)，實(shí)際價(jià)格每千克比原來少2元，發(fā)現(xiàn)原來買這種水果80千克的錢，現(xiàn)在可買88千克． (1)現(xiàn)在實(shí)際購(gòu)進(jìn)這種水果每千克多少元？ (2)王阿姨準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)這種水果銷售，若這種水果的銷售量y(千克)與銷售單價(jià)x(元/千克)滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系． ①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； ②請(qǐng)你幫王阿姨拿個(gè)主意，將這種水果的銷售單價(jià)定為多少時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？(利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨金額) 第2題圖 3. (2

3、017揚(yáng)州27題12分)農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價(jià)格收購(gòu)一批農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行銷售，為了得到日銷售量p(千克)與銷售價(jià)格x(元/千克)之間的關(guān)系，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查獲得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表： 銷售價(jià)格x(元/千克) 30 35 40 45 50 日銷售量p(千克) 600 450 300 150 0 (1)請(qǐng)你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)確定p與x之間的函數(shù)表達(dá)式； (2)農(nóng)經(jīng)公司應(yīng)該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格，才能使日銷售利潤(rùn)最大？ (3)若農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出a元(a＞0)的相關(guān)費(fèi)用，當(dāng)40≤x≤45時(shí)，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利

4、的最大值為2430元，求a值．(日獲利＝日銷售利潤(rùn)－日支出費(fèi)用) 考向二　費(fèi)用問題 4. (2016宿遷24題8分)某景點(diǎn)試開放期間，團(tuán)隊(duì)收費(fèi)方案如下：不超過30人時(shí)，人均收費(fèi)120元；超過30人且不超過m(30＜m≤100)人時(shí)，每增加1人，人均收費(fèi)降低1元；超過m人時(shí)，人均收費(fèi)都按照m人時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)．設(shè)景點(diǎn)接待有x名游客的某團(tuán)隊(duì)，收取總費(fèi)用為y元． (1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式； (2)景點(diǎn)工作人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)接待某團(tuán)隊(duì)人數(shù)超過一定數(shù)量時(shí)，會(huì)出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費(fèi)用反而減少這一現(xiàn)象．為了讓收取的總費(fèi)用隨著團(tuán)隊(duì)中人數(shù)的增加而增加，求m的取值范圍． 考向三　幾何圖形面積問題 5.

5、 (2014淮安25題10分)用長(zhǎng)為32 m的籬笆圍一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，設(shè)圍成的矩形一邊長(zhǎng)為x m，面積為y m2. (1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)x為何值時(shí)，圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)面積為60 m2? (3)能否圍成面積為70 m2的養(yǎng)雞場(chǎng)？如果能，請(qǐng)求出其邊長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說明理由． 6. (2013連云港23題10分)小林準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長(zhǎng)為40 cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個(gè)正方形． (1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58 cm2，小林該怎么剪？ (2)小峰對(duì)小林說：“這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48 cm2.”他的說法對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由． 命題

6、點(diǎn)2 　二次函數(shù)的綜合應(yīng)用(鹽城必考，淮安2考，宿遷必考) 7. (2016淮安27題12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，8)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－4，0)． (1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，4)，點(diǎn)F為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD、CF，以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF，設(shè)平行四邊形CDEF的面積為S. ①求S的最大值； ②在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)E落在該二次函數(shù)圖象上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)S的值． 第7題圖 8. (2013南京26題9分)已知

7、二次函數(shù)y＝a(x－m)2－a(x－m)(a、m為常數(shù)，且a≠0)． (1)求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)； (2)設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D. ①當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，求a的值； ②當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)，求m的值． 9. (2016宿遷26題10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將二次函數(shù)y＝x2－1的圖象M沿x軸翻折，把所得到的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后再向上平移8個(gè)單位長(zhǎng)度，得到二次函數(shù)圖象N. (1)求N的函數(shù)表達(dá)式； (2)設(shè)點(diǎn)P(m，n)是以點(diǎn)C(1，4)為圓心、1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)

8、，二次函數(shù)的圖象M與x軸相交于兩點(diǎn)A、B，求PA2＋PB2的最大值； (3)若一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則該點(diǎn)稱為整點(diǎn)．求M與N所圍成封閉圖形內(nèi)(包括邊界)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 第9題圖 10. (2013宿遷27題12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3(a，b是常數(shù))的圖象與x軸交于點(diǎn)A(－3，0)和點(diǎn)B(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C.動(dòng)直線y＝t(t為常數(shù))與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q. (1)求a和b的值； (2)求t的取值范圍； (3)若∠PCQ＝90°，求t的值． 第10題圖 答案 1. 解：(1)設(shè)y＝kx＋b，將(180，100)

9、，(260，60)代入得： ， 解得，(2分) ∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為 y＝－x＋190(180≤x≤300)；(4分) (2) 設(shè)利潤(rùn)為w， w＝y(tǒng)·x－100y－60(100－y) ＝x(－x＋190)－100(－x＋190)－60[100－(－x＋190)] ＝－x2＋210x－13600 ＝－(x－210)2＋8450， ∵180<210<300， (6分) ∴當(dāng)x＝210時(shí)，w最大＝8450(元)， 答：當(dāng)房?jī)r(jià)為210元時(shí)，賓館當(dāng)日利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為8450元．(8分) 2. 解：(1)設(shè)現(xiàn)在實(shí)際購(gòu)進(jìn)這種水果每千克a元，則原來購(gòu)進(jìn)這種水果每千克(a＋

10、2)元，根據(jù)題意，得 80(a＋2)＝88a， 解得a＝20. 答：現(xiàn)在實(shí)際購(gòu)進(jìn)這種水果每千克20元； (2)①設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y＝kx＋b， 將(25，165)，(35，55)代入， 得， 解得， 故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y＝－11x＋440； ②設(shè)這種水果的銷售單價(jià)為x元時(shí)，所獲利潤(rùn)為w元， 則w＝(x－20)y ＝(x－20)(－11x＋440) ＝－11x2＋660x－8800 ＝－11(x－30)2＋1100， ∵a＝－11＜0， ∴當(dāng)x＝30時(shí)，w有最大值1100. 答：將這種水果的銷售單價(jià)定為30元時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是

11、1100元． 3. 解：(1)p與x之間滿足一次函數(shù)關(guān)系p＝kx＋b(k≠0)， 因?yàn)辄c(diǎn)(50，0)，(30，600)在圖象上， 所以， 解得， ∴p與x之間的函數(shù)表達(dá)式為 p＝－30x＋1500(30≤x≤50)； (2)設(shè)日銷售價(jià)格為x元/千克，日銷售利潤(rùn)為w元，依題意得 w＝(－30x＋1500)(x－30) ＝－30x2＋2400x－45000(30≤x≤50)， ∵a＝－30<0， ∴w有最大值， 當(dāng)x＝－＝40 (元/千克)時(shí)，w有最大值，即最大值為 w最大＝＝3000(元)； 答：銷售價(jià)格為40元/千克時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大； (3)∵w＝p(x－30

12、－a)＝－30x2＋(2400＋30a)x－(1500a＋45000)， 對(duì)稱軸為x＝－＝40＋a， ①若a>10，當(dāng)x＝45時(shí)取最大值，(45－30－a)×150＝2250－150a<2430(舍去)， ②若a<10，當(dāng)x＝40＋a時(shí)取最大值，將x＝40＋a代入，得 w＝30(a2－10a＋100)， 令w＝2430，則30(a2－10a＋100)＝2430， 解得a＝2或a＝38(舍去)． 綜上所述，a＝2. 4. 解：(1)由題意得， y＝；(4分) (2)由(1)知當(dāng)0＜x≤30或m＜x≤100時(shí)， 函數(shù)值都是隨著x的增大而增大， 當(dāng)30＜x≤m時(shí)， y＝x[

13、120－(x－30)] ＝x(150－x) ＝－x2＋150x ＝－(x2－150x＋752－752) ＝－(x－75)2＋752， ∴當(dāng)30＜m≤75時(shí)，收取的總費(fèi)用隨著團(tuán)隊(duì)中人數(shù)的增加而增加．(8分) 5. 解：(1)已知圍成的矩形一邊長(zhǎng)為x m，則矩形的鄰邊長(zhǎng)為(32÷2－x) m．依題意得： y＝x(32÷2－x)＝－x2＋16x， ∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是 y＝－x2＋16x；(3分) (2)由(1)知y＝－x2＋16x， 當(dāng)y＝60時(shí)，－x2＋16x＝60， 即(x－6)(x－10)＝0， 解得 x1＝6，x2＝10， 即當(dāng)x是6 m或10 m時(shí)，圍成的

14、養(yǎng)雞場(chǎng)面積為60 m2；(5分) (3)不能圍成面積為70 m2的養(yǎng)雞場(chǎng)．(6分) 理由如下： 由(1)知，y＝－x2＋16x， 當(dāng)y＝70時(shí)，－x2＋16x＝70， 即x2－16x＋70＝0，(8分) ∵b2－4ac＝(－16)2－4×1×70 ＝－24＜0， ∴該方程無(wú)解； 即不能圍成面積為70 m2的養(yǎng)雞場(chǎng)．(10分) 6. 解：(1)設(shè)剪成的較短的一段為x cm，較長(zhǎng)的一段就為(40－x)cm，由題意得： 2＋()2＝58， 解得x1＝12，x2＝28， 當(dāng)x＝12時(shí)，較長(zhǎng)的為40－12＝28 cm， 當(dāng)x＝28時(shí)，較長(zhǎng)的為40－28＝12＜28(舍去)，

15、 ∴較短的一段為12 cm，較長(zhǎng)的一段為28 cm； (2)設(shè)剪成的較短的一段為m cm，較長(zhǎng)的一段就為(40－m)cm，由題意得： ()2＋()2＝48， 變形為：m2－40m＋416＝0， ∵b2－4ac＝(－40)2－4×416 ＝－64＜0， ∴原方程無(wú)實(shí)數(shù)根， ∴小峰的說法正確，這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48 cm2. 7. 解：(1)∵二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c過A(0，8)、B(－4，0)兩點(diǎn)， ∴， 解得， ∴二次函數(shù)的解析式為 y＝－x2＋x＋8， 當(dāng)y＝0時(shí)，解得x1＝－4，x2＝8， ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(8，0)； (2)①如解圖，連接D

16、F、OF，設(shè)F(m，－m2＋m＋8)， 　第7題解圖 ∵S四邊形OCFD＝S△CDF＋S△OCD＝S△ODF＋S△OCF， ∴S△CDF＝S△ODF＋S△OCF－S△OCD， ＝×4×m＋×8×(－m2＋m＋8)－×8×4 ＝2m－m2＋4m＋32－16 ＝－m2＋6m＋16 ＝－(m－3)2＋25， ∴當(dāng)m＝3時(shí)，△CDF的面積有最大值，最大值為25， ∵四邊形CDEF為平行四邊形， ∴S四邊形CDEF＝2S△CDF＝50， ∴S的最大值為50； ②18. 【解法提示】∵四邊形CDEF為平行四邊形， ∴CD∥EF，CD＝EF， ∵點(diǎn)C向左平移8個(gè)單位，再向上

17、平移4個(gè)單位得到點(diǎn)D， ∴點(diǎn)F向左平移8個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)E，即E(m－8，－m2＋m＋12)， ∵E(m－8，－m2＋m＋12)在拋物線上， ∴－(m－8)2＋(m－8)＋8 ＝－m2＋m＋12， 解得m＝7， 當(dāng)m＝7時(shí)，S△CDF＝－(7－3)2＋25＝9， ∴此時(shí)S四邊形CDEF＝2S△CDF＝18. 8. (1)證明：y＝a(x－m)2－a(x－m)＝ax2－(2am＋a)x＋am2＋am. ∵當(dāng)a≠0時(shí)，[－(2am＋a)]2－4a(am2＋am)＝a2>0. ∴方程ax2－(2am＋a)x＋am2＋am＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴不論a與m為

18、何值且a≠0時(shí)，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；(3分) (2)解：①y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－)2－， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，－)． 當(dāng)y＝0時(shí)，a(x－m)2－a(x－m)＝0，解得x1＝m，x2＝m＋1， ∴AB＝1. 當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，有×1×|－|＝1， ∴×1×(－)＝1，或×1×＝1， ∴a＝－8或a＝8；(6分) ②當(dāng)x＝0時(shí)，y＝am2＋am，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，am2＋am)， 當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)， ×1×|－|＝×1×|am2＋am|； 即||＝|am2＋am|， ∵a≠0， ∴＝|m2＋m|， ∴m

19、2＋m＝±， 即m2＋m＋＝0或m2＋m－＝0， ∴m＝－或m＝ 或m＝.(9分) 9. 解：(1)由題意得N的函數(shù)表達(dá)式為y＝－(x－2)2＋9；(3分) (2)∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，n)，點(diǎn)A為(－1，0)，點(diǎn)B為(1，0)， ∴PA2＋PB2＝(m＋1)2＋(n－0)2＋(m－1)2＋(n－0)2＝m2＋2m＋1＋n2＋m2－2m＋1＋n2＝2m2＋2n2＋2＝2(m2＋n2)＋2＝2OP2＋2， ∴當(dāng)PA2＋PB2最大時(shí)，要滿足OP最大，即滿足直線OP經(jīng)過點(diǎn)C，(5分) 又∵點(diǎn)P(m, n)是以點(diǎn)C(1，4)為圓心、1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)， ∴CP＝1， ∵OC＝＝，

20、 ∴OP＝＋1， ∴PA2＋PB2＝2OP2＋2＝2(＋1)2＋2＝38＋4；(7分) (3)由得兩二次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)，(3，8)． 兩曲線圍成的封閉圖形如解圖所示， 第9題解圖 縱坐標(biāo)的取值范圍為：－1≤y≤9，橫坐標(biāo)的取值范圍－1≤x≤3， ∴M與N所圍成封閉圖形內(nèi)(包括邊界)的整點(diǎn)有：(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(0，4)，(0，5)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2

21、，8)，(2，9)，(3，8)共25個(gè)．(10分) 10. 解：(1)將點(diǎn)A(－3，0)、點(diǎn)B(1，0)坐標(biāo)代入y＝ax2＋bx－3中可得： ， 解得； (2)由(1)知拋物線的解析式為 y＝x2＋2x－3，動(dòng)直線y＝t，聯(lián)立兩個(gè)解析式可得：x2＋2x－3＝t，即x2＋2x－(3＋t)＝0. ∵動(dòng)直線y＝t(t為常數(shù))與拋物線交于不同的兩點(diǎn)， ∴b2－4ac＝4＋4(3＋t)＞0， 解得t＞－4； (3)∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， ∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－1， 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－3， ∴C(0，－3)． 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，t)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2－m，t)， 如解圖，設(shè)PQ與y軸交于點(diǎn)D， 第10題解圖 則CD＝t＋3，DQ＝m，DP＝m＋2， ∵∠PCQ＝∠PCD＋∠QCD＝90°， ∠DPC＋∠PCD＝90°， ∴∠QCD＝∠DPC， 又∵∠PDC＝∠QDC＝90°， ∴△QCD∽△CPD， ∴＝， 即＝， 整理得：t2＋6t＋9＝m2＋2m， ∵Q＝(m，t)在拋物線上， ∴t＝m2＋2m－3， ∴m2＋2m＝t＋3， ∴t2＋6t＋9＝t＋3， 化簡(jiǎn)得t2＋5t＋6＝0， 解得t＝－2或t＝－3， 當(dāng)t＝－3時(shí)，動(dòng)直線y＝t經(jīng)過點(diǎn)C，故不合題意，舍去，∴t＝－2. 15