2020年中考數(shù)學(xué)專題培優(yōu) 二次函數(shù)綜合應(yīng)用

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1、2020年中考數(shù)學(xué)專題培優(yōu) 二次函數(shù)綜合應(yīng)用 一、解答題（共有7道小題） 1.如圖，直線與x軸教育點(diǎn)A，切經(jīng)過點(diǎn)B(4，m)。點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，滿足OA=OC，拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，且與x軸的另一交點(diǎn)為D。 （1）球拋物線的解析式。 （2）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+ PC的和最小。求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。 2.如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0，3)，與x軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B(3，0)．點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)． (1)求二次函數(shù)的表達(dá)式； (2)連接PO，PC，并把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C．若四邊形

2、POP′C為菱形，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ACPB的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積． 3.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A(－1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0，－3)． (1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式； (2)若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC． ①求線段PM的最大值； ②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，

3、二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P，連接PA、AC、CP，過點(diǎn)C作y軸的垂線l． (1)求點(diǎn)P，C的坐標(biāo)； (2)直線l上是否存在點(diǎn)Q，使△PBQ的面積等于△PAC的面積的2倍？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 5.如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0，3)，與x軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B(3，0)．點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)． (1)求二次函數(shù)的表達(dá)式； (2)連接PO，PC，并把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C．若四邊形POP′C為菱形，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置

4、時(shí)，四邊形ACPB的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積． 6.如圖，直線與x軸教育點(diǎn)A，切經(jīng)過點(diǎn)B(4，m)。點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，滿足OA=OC，拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，且與x軸的另一交點(diǎn)為D。 （1）球拋物線的解析式。 （2）在y軸上是否存在一點(diǎn)G，似的 的值最大？若存在，求出點(diǎn)G的左邊；若不存在，請說明理由。 7.已知頂點(diǎn)為A拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)． (1)求拋物線的解析式； (2)如圖1，直線AB與x軸相交于點(diǎn)M，y軸相交于點(diǎn)E，拋物線與y軸相交于點(diǎn)F，在直線AB上有一點(diǎn)P

5、，若，求△POE的面積； (3)如圖2，點(diǎn)Q是折線A－B－C上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QN∥y軸，過點(diǎn)E作EN∥x軸，直線QN與直線EN相交于點(diǎn)N，連接QE，將△QEN沿QE翻折得到，若點(diǎn)落在x軸上，請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)． 參考答案 一、解答題（共有7道小題） 1.（1）解：把y=0代入，得x=-1，所以A(-1，0) 由OA=OC可得C(0，-1) 將B(4，m)代入可得m=5，所以B(4，5) 所以，將A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入可得 ，解得 ，進(jìn)而， （2） 所以，函數(shù)的對稱軸為直線，點(diǎn)A(-1，0)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為

6、A’(2，0)。A’C與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P。 設(shè)A’C所在直線解析式為，進(jìn)而可得 當(dāng)時(shí) 所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 2.解：(1)將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得 ， 解得， 二次函數(shù)的解析是為； (2)若四邊形POP′C為菱形，則點(diǎn)P在線段CO的垂直平分線上， 如圖1，連接PP′，則PE⊥CO，垂足為E， ∵C(0，3)， ∴E(0，)， ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)， 當(dāng)y＝時(shí)，即， 解得，(不合題意，舍)， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)； (3)如圖2， P在拋物線上，設(shè)P(m，－m2＋2m＋3)， 設(shè)直線

7、BC的解析式為y＝kx＋b， 將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得 ， 解得． 直線BC的解析為y＝－x＋3， 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，－m＋3)， PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m． 當(dāng)y＝0時(shí)，－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， OA＝1， AB＝3－(－1)＝4， ＝AB?OC＋PQ?OF＋PQ?FB ＝×4×3＋(－m2＋3m)×3 ＝， 當(dāng)m＝時(shí)，四邊形ABPC的面積最大． 當(dāng)m＝時(shí)，－m2＋2m＋3＝，即P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)． 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)時(shí)，四邊形ACPB的最大面積值為． 3.解：(1)將A，B，C代入函數(shù)

8、解析式，得 ， 解得， 這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝x2－2x－3； (2)設(shè)BC的解析式為y＝kx＋b， 將B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得 ， 解得， BC的解析式為y＝x－3， 設(shè)M(n，n－3)，P(n，n2－2n－3)， PM＝(n－3)－(n2－2n－3)＝－n2＋3n＝－(n－)2＋， 當(dāng)n＝時(shí)，PM最大＝； ②當(dāng)PM＝PC時(shí)，(－n2＋3n)2＝n2＋(n2－2n－3＋3)2， 解得n1＝n2＝0(不符合題意，舍)，n3＝3， n2－2n－3＝－0， P(3，0)． 當(dāng)PM＝MC時(shí)，(－n2＋3n)2＝n2＋(n－3＋3)2， 解得n1＝0(不符合題

9、意，舍)，n2＝3－，n3＝3＋(不符合題意，舍)， n2－2n－3＝2－4， P(3－，2－4)； 綜上所述：P(3－，2－4)． 4.解：(1)∵y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4， ∴頂點(diǎn)P(3，4)， 令x＝0得到y(tǒng)＝－5， ∴C(0．－5)． (2)令y＝0，x2－6x＋5＝0，解得x＝1或5， ∴A(1，0)，B(5，0)， 設(shè)直線PC的解析式為y＝kx＋b，則有， 解得， ∴直線PC的解析式為y＝3x－5，設(shè)直線交x軸于D，則D(，0)， 設(shè)直線PQ交x軸于E，當(dāng)BE＝2AD時(shí)，△PBQ的面積等于△PAC的面積的2倍， ∵AD＝， ∴BE＝，

10、 ∴E(，0)或E′(，0)， 則直線PE的解析式為y＝－6x＋22， ∴Q(，－5)， 直線PE′的解析式為y＝－x＋， ∴Q′(，－5)， 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q(，－5)，Q′(，－5)． 5.解：(1)將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得 ， 解得， 二次函數(shù)的解析是為； (2)若四邊形POP′C為菱形，則點(diǎn)P在線段CO的垂直平分線上， 如圖1，連接PP′，則PE⊥CO，垂足為E， ∵C(0，3)， ∴E(0，)， ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)， 當(dāng)y＝時(shí)，即， 解得，(不合題意，舍)， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)； (3)如圖2， P在拋物線上，設(shè)P(m，－m

11、2＋2m＋3)， 設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b， 將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得 ， 解得． 直線BC的解析為y＝－x＋3， 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，－m＋3)， PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m． 當(dāng)y＝0時(shí)，－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， OA＝1， AB＝3－(－1)＝4， ＝AB?OC＋PQ?OF＋PQ?FB ＝×4×3＋(－m2＋3m)×3 ＝， 當(dāng)m＝時(shí)，四邊形ABPC的面積最大． 當(dāng)m＝時(shí)，－m2＋2m＋3＝，即P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)． 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)時(shí)，四邊形ACPB的最大面積值為． 6.（1

12、）解：把y=0代入，得x=-1，所以A(-1，0) 由OA=OC可得C(0，-1) 將B(4，m)代入可得m=5，所以B(4，5) 所以，將A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入可得 ，解得 ，進(jìn)而， （2）連接BD并延長，交y軸于點(diǎn)G，則點(diǎn)G即為所求。 設(shè)BD所在直線解析式為，代入B(4，5)，D(2，0)進(jìn)而可得。 當(dāng)x時(shí) 所以，存在這樣的點(diǎn)G(0，-5) 7.解：(1)把點(diǎn)代入， 解得：a＝1， ∴拋物線的解析式為：； (2)由知A(，－2)， 設(shè)直線AB解析式為：y＝kx＋b，代入點(diǎn)A，B的坐標(biāo)， 得：， 解得：， ∴直線AB的解析式為：y＝－

13、2x－1， 易求E(0，1)，，， 若∠OPM＝∠MAF， ∴OP∥AF， ∴△OPE∽△FAE， ∴， ∴， 設(shè)點(diǎn)P(t，－2t－1)，則： 解得，， 由對稱性知；當(dāng)時(shí)，也滿足∠OPM＝∠MAF， ∴，都滿足條件， ∵△POE的面積＝?OE?|t|， ∴△POE的面積為或． (3)若點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)，如圖1， 設(shè)Q(a，－2a－1)，則NE＝－a、QN＝－2a， 由翻折知QN′＝QN＝－2a、N′E＝NE＝－a， 由∠QN′E＝∠N＝90°易知△QRN′∽△N′SE， ∴，即＝2， ∴QR＝2、ES＝， 由NE＋ES＝NS＝QR可得－a＋＝2， 解得：a＝－， ∴Q(－，)； 若點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，且Q在y軸左側(cè)，如圖2， 設(shè)NE＝a，則N′E＝a， 易知RN′＝2、SN′＝1、QN′＝QN＝3， ∴QR＝、SE＝－a， 在Rt△SEN′中，(－a)2＋12＝a2， 解得：a＝， ∴Q(－，2)； 若點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)Q在y軸右側(cè)，如圖3， 設(shè)NE＝a，則N′E＝a， 易知RN′＝2、SN′＝1、QN′＝QN＝3， ∴QR＝、SE＝－a， 在Rt△SEN′中，(－a)2＋12＝a2， 解得：a＝， ∴Q(，2)． 綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－，)或(－，2)或(，2)． 13