研究生課程《現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)》試題.doc

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研究生課程進(jìn)修班試卷封面 姓 名： 單　　位： 專 業(yè)： 考試科目： 考試分?jǐn)?shù)： 年 月 日 東北師范大學(xué)研究生課程進(jìn)修班考試試卷評(píng)分表 課程名稱 姓 名 單　　位 專 業(yè) 年　　 月　　 日 題 號(hào) 分 數(shù) 簽 名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總 分 評(píng)閱教師簽字： 年 月 日 現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué) 考試卷 一、(10分) 對(duì)下列各式，判斷其對(duì)錯(cuò)，或加以證明，或舉出反例 （1） （2） 解：（1）錯(cuò) 1,x＞0 例如f(x)＝ g(x)＝-2x,h(x)＝x -1,x＜＝0 （2）正確 (g＋f)oh(x)＝(g＋f)(h(x))＝f(h(x))＋g(h(x))＝foh(x)＋goh(x) 二、（10分） 若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，計(jì)算 （1） （2） 解：（1）原式= 三、（10分） 求一函數(shù)，其曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)且曲線上每一點(diǎn)切線斜率是該點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍。 解：根據(jù)題意可設(shè)，切點(diǎn)坐標(biāo)為則，，故，所以 四、（10分）證明：若，則 五、 （10分）求頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的錐面與平面所圍成的錐體的體積。 c2 y2 b2z2 ＝ c2 x2 a2z2 ＋ 答：任取z∈(0,c)，過點(diǎn)(0,0,z)作垂直于z軸的平面，截面為橢圓，其方程為 1， c 0 πab c2 0 c2 πab z2 ， z2dz ， c 橢圓面積S(z)＝ ， V＝∫S(z)dz＝ ∫ ＝πabc. 六、（10分） 甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.3,0.6。今各投2次。求甲比乙投中次數(shù)多的概率。 解：(1)甲中1次乙中0次的概率為： p1＝20.3(1－0.3)(1－0.6)2＝0.0672； (2)甲中2次乙中1次的概率為： p2＝0.30.320.6(1－0.6)＝0.0432； (3)甲中2次乙中0次的概率為： p3＝0.30.3(1－0.6)2＝0.0144； 所以甲比乙投中次數(shù)多的概率為： P＝0.0672＋0.0432＋0.0144＝0.1248 七、（10分） 要研究某種物質(zhì)致癌性質(zhì)，用小白鼠做試驗(yàn)。假定把50只小白鼠隨機(jī)地分成10組，每組5只，對(duì)每只小白鼠注射該物質(zhì)，經(jīng)過一段時(shí)間后，觀察每組小白鼠患癌的個(gè)數(shù)，得到，則，這里就是這種物質(zhì)致癌的概率。試導(dǎo)出的最大似然估計(jì)值的計(jì)算公式。 答：設(shè)事件A發(fā)生的概率P(A)＝p，定義隨機(jī)變量 1，若在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生， X＝ 0，若在一次試驗(yàn)中事件A不發(fā)生. 則，X～B(1,p),它的分布律為： P(X＝x)＝px(1－p)1-x，x＝0,1. n 現(xiàn)有樣本X1,X2,…,Xn，故似然函數(shù)為 i＝1 ∏ n n－∑xi pxi(1－p)1-xi ＝p i=1 (1－p) i＝1 n ∑xi i＝1 L(p)＝ (∑xi)㏒p n (n－∑xi)㏒(1－p) n i＝1 i＝1 它的對(duì)數(shù)為：㏒L(p)＝ ＋ 似然方程 ， 1－p i＝1 (n－∑xi) n ∑xi n dp d㏒L(p) i＝1 p 似然方程為 ＝ － ＝0， X 5 則方程的解 p＝ . 八、（10分） 甲同學(xué)在他的盒子中放了200個(gè)玻璃球（盒子中黑球、白球究竟各有多少他并未告訴其他任何人），甲同學(xué)當(dāng)眾宣布：他的這些球中黑球所占比例p=3%，乙同學(xué)從甲同學(xué)的盒子中任意取若干個(gè)球（比如：10個(gè)），觀察并記錄取到球的顏色。該實(shí)驗(yàn)的結(jié)果有多種可能。（1）假如乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)他任取的10個(gè)球中2個(gè)黑球，問此時(shí)乙同學(xué)能否相信甲同學(xué)的說法？（2）假如乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)他任取的10個(gè)球沒有黑球，問此時(shí)乙同學(xué)對(duì)甲同學(xué)的說法又應(yīng)做何反應(yīng)？ 解：(1)可以相信甲的說法。 (2)對(duì)甲的說法產(chǎn)生很大懷疑用的是最大似然法。 九、（10分） 用選主元素的Gauss消元法求解 請(qǐng)指明消元、回代過程。 解：如果從第二個(gè)方程中減去第一個(gè)方程的倍，再從第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程的倍，則得等價(jià)方程組： x2＋x3 ＝13， 3x1＋2x2＋x3 ＝39， x2＋x3 ＝8， (1e) 其中第二、三個(gè)方程中變?cè)獂1已被消去了。類似地，從方程組(1e)的第三個(gè)方程中減去第二個(gè)方程的倍，即可消去(1e)中第三個(gè)方程的變?cè)獂2，最后得到與原方程組等價(jià)的如下方程組 3x1＋2x2＋x3 ＝39， x3 ＝. x2＋x3 ＝8， (1f) 方程組(1f)很容易求解，可按如下方式進(jìn)行。由(1f)的第三個(gè)方程直接解出x3 ＝，將其代入(1f)的第二個(gè)方程可解出x2 ＝，最后將x3, x2 共同代入(1f)的第一個(gè)方程解出x1 ＝。 十、（10分） 使用二分法求解于[1,2]內(nèi)的根，二分3次即可。 解：令f(x)＝x2－2， ∵f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝4－2＞0， ∴f(x)在區(qū)間[1,2]上存在零點(diǎn)， (1)、取區(qū)間[1,1.5]， ∵f(1)＜0，f(1.5)＞0，∴ f(x)在區(qū)間[1,1.5]上存在零點(diǎn)， (2)、取區(qū)間[1.25,1.5]， ∵f(1.25)＜0，f(1.5)＞0，∴ f(x)在區(qū)間[1.25,1.5]上存在零點(diǎn)， (3)、取區(qū)間[1.375,1.5]， ∵f(1.375)＜0，f(1.5)＞0，∴ f(x)在區(qū)間[1.375,1.5]上存在零點(diǎn)， ∴方程x2－2＝0在區(qū)間[1,2]上的根近似為1.375.